河南省开封市2024届高三第一次模拟考试 数学试卷（含解析）

开封市2024届高三年级第一次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、

考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复平面内，复数（1-2以2+，）的对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量。=（八-1）,6=（1,机+2）,若q//b，贝！|"7=（）

A.-1B.1C.-1-72D.-1+72

3.记S“为等比数列｛4｝的前w项和，若q+?+qul,a2+a3+a4=2,则臬=（）

A.6B.8C.9D.12

4.^log2G+log2/?=3,则4+8的最小值为（）

A.272B.4A/2C.276D.476

5.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4x100m接力赛，已知甲确定参加比

赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（）

A.84B.108C.132D.144

6.a,6为实数，则是“a+lnb>6+lna”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知。为坐标原点，过抛物线C：V=8x焦点尸的直线与C交于A,B两点,若

\AF\=\AO\,则|幽=（）

A.5B.9C.10D.18

8.记了'（X）,g'（x）分别为函数/Xx）,g（x）的导函数.若存在％wR,满足了（%）=8（%）

且『'5）=g'（%）,则称不为函数/（X）与g（尤）的一个“S点”.若函数f（x）=/_1与

g（x）=ln（or）存在“S点”，则。=（）

12

A.eB.2eC.—D.—

ee

二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要.求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.设集合&=「卜2_4=0},8={小=彳2-4},则（）

A.AnB=0B.AB=AC.A<JB=BD.AB={-2,2}

10.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃,现有

甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据的部分信息（记录数据都是正整

数）.依据以下信息，能确定进入夏季地区的选项有（）

A.甲地5个数据的中位数为24,众数为22

B.乙地5个数据的中位数为25,平均数为24

C.丙地5个数据的平均数为22,众数为22

D.丁地5个数据中有一个数据是28,平均数为24,方差为4.8

11.已知圆M:（无-l>+（y+2）2=2,直线/:x-3y+3=0,P是直线/上的动点，过点P

作圆〃的切线M，切点为A,则切线长IP*取最小值时，下列结论正确的是（）

A.\PA\=2A/2B.IPA|=A/10

C.RI的方程可以是y=-尤+1D.E4的方程可以是y=7x+l

12.函数/。）=3"+。（。>0）的图象向左平移5个单位长度后与原图象关于无轴

对称，则下列结论一定正确的是（）

B./⑺的一个周期是兀

D・小）在［。,琮）上单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数个）=鬻是奇函数，且出）总则的）=

14.已知双曲线dr冲2=1（〃7>0）的左、右焦点分别为匕，F2,垂直于x轴的直线/经

过耳且与双曲线交于A、8两点，若|物=2,贝lJcos/然".

2

15.记ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,若cosC="a=3b,则

cosA=.

16.已知点S,A,B,。均在半径为2的球面上，一ABC是等边三角形，SAL平面A5C,

则四面体SABC体积的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.记—ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=f,且.「=2.

3smn+sinC

⑴求。；

(2)若，IBC的面积为无，求J1BC的周长.

2

18.已知数列为等差数列,%-3%=6,且%=6.

⑴求右;

(2)记S,为数列的前”项和,求s“.

19.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AqGR中，E为线段的中点.

(1)求四面体4片。石的体积；

(2)求平面AB}E与平面AB,C夹角的余弦值.

20.已知直线/：＞=日+2叱0)与椭圆C：\+方=1(。＞6＞0)在第一象限交于A,B两

点，E为线段A2的中点，。为坐标原点，直线AB,OE的斜率之积为

(1)求椭圆C的离心率;

⑵若直线/与x轴，》轴分别相交于N两点，且IMARNBI,|AB|=后，求椭圆C

的方程.

21.已知函数/(x)=aln%-%+l且/(%)(。.

⑴求。的值；

⑵证明：当时，exsinx-x>f{x).

22.某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众

多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初

次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有］的人计划只参加“菊花文化

节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两

个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参

加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.

(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期

望；

⑵2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，

该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客

甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的

41

概率为工，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为了，若

前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为:，如此往复.

(i)求甲第二天选择“单车自由行”的概率；

(ii)求甲第〃"=1,2,L,16)天选择“单车自由行”的概率匕，并帮甲确定在2024

年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.

1.D

【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.

【详解】由题得(1-2，)(2+，)=4-3+

所以在复平面内该复数对应的点的坐标为(4,-3),该点在第四象限.

故选：D

【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义,

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2.A

【分析】根据平面向量共线的充要条件及向量坐标运算即得.

【详解】由a〃6可得〃如〃z+2)=-1,解得机=-1.

故选：A.

3.C

【分析】由4+%+/=1，a2+a3+a4=2,求得4=；,4=2,代入等比数歹ij前”项和公式求

解.

【详解】解：设等比数列｛%｝的公比为q,

因为4+々2+4=1，a2+a3+=2,

所以%(1+4+/)=1,44(l+q+/)=2,

解得q=~^1q=2,

所以S-26)

61-q1-2

故选：C

4.B

【分析】根据对数运算法则可得或=8,继而利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】H^/log2«+log2Z?=log2ab=3,

所以次2=8且々＞0力＞0,

所以〃+Z?22sjab=4A/2,

当且仅当a=/?=2^/^时，等号成立，

故。+6的最小值为4A历，

故选：B.

5.B

【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.

【详解】当甲跑第1棒时，则有A；=60种选择方法；

当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有A；A”24种选择方法，乙不参加比赛则有A：=24种选择

方法.

故合适的选择方法种数为60+24+24=108种.

故选：B

6.A

【分析】令，(x)=x-lnx,xe(O,+w),利用导数说明函数的单调性，再结合充分条件、必

要条件的定义判断即可.

【详解】令〃x)=x-lnx,XG(0,+OO),

1_1

则k(x)=l=彳r，所以当0<x<l时r(x)<0,当x>l时网x)>0,

即/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以当0>。>1时可以得至f(b),即a-lna>》一lnb成立，

即a+lnZ?>Z?+ln〃成立，故充分性成立，

当OVIVZJVI时>/(人),即a-lna>Z?—lnh成立，即a+lnb>Z?+ln〃成立，

所以由a+lnZ?>Z?+lna推不出。>人>1,故必要性不成立，

所以“〃>/?>1"是“〃+1!16>/?+111〃”的充分不必要条件.

故选：A

7.B

【分析】由IA尸1=1A0及抛物线方程可求出A点坐标，从而得直线A5的方程，联立抛物线

和直线方程，结合韦达定理求出王+W，由抛物线定义可得结果.

【详解】如图：由抛物线C：V=8x可知焦点坐标厂(2,0),取线段。尸中点。，即。(1,0),

又|AP|=|AO|,所以ADLO用故设A(l,%),因点A在抛物线上，得%=±20,

根据对称性取%=20,又因直线A5过焦点厂,

所以直线A3的方程为：y=-2®(x-2),

y1=8x

联立得f-5%+4=。①,

y=-2\/2(x-2)

设4(国,凶),3(々,为),则办，三为①式两根，所以占+%=5,

由抛物线定义可知|AB|=K+W+P=5+4=9,

8.D

【分析】设与为Ax)与g(x)的“S点”，根据题中定义可得出关于％的方程组，即可求得实数

。的值.

【详解】函数/(%)=依2T,g(x)=lnax,其中依＞0,

贝了(x)=2依，g'(x)=1,

竭-1=Inax

/(x())=g(xo)0

设为为f(x)与g(x)的“S点”,可得

2ax0=—

［册

XQ-------

解得2

2

a=­

e

7

因此，«=-.

e

故选：D.

【点睛】本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“S点”的定义得出方程进

行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.

9.BC

【分析】根据题意得到集合A,B,然后求交集和并集即可.

【详解】由题意得/={-2,2},B={y\y>-4],

所以AI8={_2,2}=A,A^B={y\y>-4}=B.

故选：BC.

10.AD

【分析】利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解.

【详解】对于A：因为众数为22、中位数为24,所以22出现了两次，

若有一天低于22,则中位数不可能为24,

所以另两个数据均大于24(且不相等)，故甲地一定进入夏季，故A正确；

对于B：若乙地区的数据从小到大依次为18、23、25、26、28,

满足中位数为25,平均数为24,但是乙地不一定进入夏季，故B错误；

对于C：若丙地区的数据从小到大依次为18、22、22、22、26,

满足平均数为22,众数为22,但是丙地不一定进入夏季，故C错误；

对于D：设其余4个数据分别为。、b、c、d(正整数)，则

24)2+(b-24)2+(c-24)2+(d-24)2+(28-24)1=4.8,

所以(a-24)2+(6-24)2+(c-24)2+(1-24)2=8)

若a、b、c、d(正整数)中有一个数据小于22，则(a-24f+仅-24)2+(c-24)2+(tZ-24)2>9,

不符合题意，

故。、b、。、d(正整数)均不小于22,故丁地区进入夏季，故D正确；

故选：AD

11.ACD

【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心M到直线/的距离d,即可求出|上4二，再求

出过点加。,-2)与直线/垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为尸点坐标，

再设切线方程为>=履+1,利用圆心到直线的距离等于半径，求出％,即可得解.

【详解】圆M：(x-l)2+(y+2)2=2圆心为2),半径厂=0,

则圆心M到直线/的距离〃=

因为尸是直线/上的动点，过点尸作圆加的切线B4,切点为A,

则切线长1尸川的最小值为|四四=」/一/=2应,故A正确，B错误;

设过点与直线/垂直的直线方程为3x+y+〃=0,则3-2+〃=0,解得〃=-1,

所以3x+y—1=0,

%-3y+3=0Ix=0/、

，解得「所以P(O,1),

3x+y-l=0

显然过点尸(0,1)的切线的斜率存在,

卜+3|广

设切线2的方程为>=履+1,则&2+(_]『=〃,解得％=_i或％=7,

所以切线外的方程为y=-x+i或y=7x+i.

故选：ACD

12.ABD

【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得。=2+4左水eN,即可得

/(x)=cosK2+4%)x+$],Z:eN,由此将x=g代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求

O2

出了卜-马的表达式结合偶函数定义判断C;结合X的范围，确定8+9但小，结合

余弦函数单调性，判断D.

【详解】函数Ax)=cos[ox+巳](。>0)的图象向左平移£个单位长度后得到

TTJT

y=cos[(a(x+彳)+二]的图象，

26

兀7F।71\(07171\71|

由题意可得COS[G(%+—)+—]=-cosa>x+—,即COS(GX+——+—)=-cosa)x+—,

26I6726I6J

故——=7r+2瓦,keZ故G=2+4匕左cZ,由于0>0,故口=2+4k#£N,

2

TT

故f(x)=cos[(2+4k)x+—],左£N,

6

对于A,f[二]=cos[(2+4^)--+—]=cos(兀+—)=-

A正确;

J2662

jrjr

对于B,于(x+7i)=cos[(2+4k)(x+7i)+—]=cos[(2+4k)x+—]=/(x),

66

即了(X)的一个周期是兀，B正确；

对于C,—丘j=cos[(2+4左)(%—立)+5]=cos[(2+4%)x---------+—]=cos[(2+4k)x--],

不妨取％=1,此时/[-5)=cos(6x-1),此时函数不是偶函数，

即/[一])不是偶函数，C错误；

对于D,当/(。,制时,8心力8+泊了力

由于尸cosx在]上单调递减，故/(X)在(0,曰上单调递减，D正确，

故选：ABD

2

13.-##0.4

5

【分析】根据奇函数的性质可求出6=0,根据=擀可求出a=l,从而可求出答案.

【详解】因为函数/(尤)的定义域为R,且为奇函数，

所以“0)=0,即6=0,

2

解得4=1,

5

此时，=满足,

X+1X+1

所以/(%)="X，所以/(2)=2L=2-

x+12+15

2

故答案为：—.

14.-

9

令X=J1+L求出y,即可求出A、B

【分析】将双曲线方程化为标准式，求出。、6、。

Vm

坐标，由I•I求出加，再利用余弦定理计算可得.

2_2L_i

【详解】双曲线V-啊2=1(%>0)即Xr-丁一1,所以。=1

Vm

m

解得y=±‘,如图不妨令A

m

所以|4即=二=2,解得加=1,

m

则A(①1),B(72,-l),耳卜应,0),

所以|A耳|=忸耳|=3,

防「+忸町-体砰7

所以cos/A£2=

21A周9

,7

故答案为：—

x

»

15._旦#

66

【分析】利用余弦定理得到c=屈，再由余弦定理计算可得.

2

【详解】因为cosC=],a=3b,由余弦定理，=〃2+匕2-2〃)cosc,

9

所以。2=9/+/72—2X3MX§,所以。=痼，

二匚2.c+Z?-。6b+b-9b

所以cosA=-----------=-----―一

2bc2y/6b

V6

故答案为:

6

16.|

【分析】设.ABC的边长为&4=6仅＞0),求出ABC外接圆的半径乙则四面

从而得至!1；〃+；/=4,表示出SMC，再由

体SABC外接球的半径E==2，

匕A6c=1'ABC'SA得到％°=都26-/),再令“上⑵-.，(0<x<4)，利用导

数求出函数的最大值，即可得解.

【详解】设4ABe的边长为。(。＞0),SA=b(b＞0),

设..ABC外接圆的半径r=」^=^a,

sin6003

又SAJ_平面ABC,所以四面体SABC外接球的半径R=

113

即一片+一片=4,贝|/=12-则。<62<16,则。<6<4,

344

12

又SABC=—<3sin60°=^-a,

■ABC24

所以％BC=京八始'4=*。?=*6]12-/2)=*126-肘),

39

令/(%)=12x-,(0<工<4),则/⑺=12-1%2,

当0<x<#时*(x)>。，当¥^<x<4时/'(x)<0,

所以/(x)在上单调递增，在上单调递减,

所以〃尤)殍卜早，

即(126_：63=%且，当且仅当6=生叵时取等号,

max33

V332738

所以(LBCL=____V________—_

123-3

故答案为：g

【点睛】关键点睛：由外接球的半径得到*+*=4,从而得到心⑵-沙

再利用导数求出函数的最大值.

17.⑴百

⑵3+百

【分析】(1)已知条件由正弦定理得。=2sinA,可求。；

(2)由_ABC的面积得be,余弦定理求6+c,可得..ABC的周长.

【详解】⑴由正弦定理得.L二=2=二,贝。=2sinA=2x^=^.

sinn+sinCsinA2

(2)S=—Z?csinA=,得be=2,

ABC242

由余弦定理"-b2+c2-2bccosA-(b+c)~-3bc,

即3=(6+c)~-6,则方+c=3,所以a+6+c=3+6.

45c的周长为3+VL

18.(1)%=〃(〃+1);

⑵S“=%

n+1

【分析】(1)结合题意以及数列为等差数列，利用等差数列相关知识，建立方程组,

求解出首项和公差，表示出％的通项公式，再转化为凡即可；

n

(2)结合(1)问，表示出,以及S”，利用裂项相消法即可计算.

an

【详解】(1)因为数列［%］为等差数列，所以其前三项分别是?，?，等，并设公差为小

［孔J123

生^

一-£1-211-^=2

311-

所以

即

-6且-61

”0

-31

21-二3

解得所以QI的通项公式为：+(〃T)d=2+(〃-l)xl="+l,

即£=篦+1,所以

j___1_

(2)由(1)问可得：为=〃(〃+1),所以丁二加二

n及+1

01111

所以S〃=］+7+7++—,

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点£到平面阴。的距离人再由锥

体的体积公式计算可得；

(2)利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)如图建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),4(1,0,1),C(l,l,o),E(0，l，，，

所以期=(1,0,1),AC=(1,1,0),

设平面AB。的一个法向量为〃=(x,y,z),贝6,取〃

ACn=x+y=0

3

所以点E到平面明C的距离/匹吧_W_1，

同一有一2

又AB、=AC=B\C=叵,所以SABQ=gx（夜）xsin60°=,

所以四面体ABCE的体积V=LSABC-〃='X/X」I=L.

313224

（2）设平面A5IE的法向量为根=（〃,仇c）,

ABX-m=a+c=0

则<1取加=（2,1,-2）,

AE•机=/7+—c=0

I2

所以k°s〃司=酬=2=$，

所以平面ABtE与平面ABtC夹角的余弦值为且.

3

20.⑴且

〃21

【分析】（1）利用点差法得到-与=-上，再由离心率公式计算可得；

a22

（2）依题意可得E为线段MN的中点，求出直线/与坐标轴的交点，即可得到E点坐标，从

而求出心E，由3-•后E=-g求出左，即可得到直线/方程，由（1）可得椭圆C

22

:泉+%=1（6>0）,联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出凡即可得

到椭圆方程.

【详解】（1）依题意可得左＜0,设A（占/），W9,%），

直线/与椭圆C交于A,8两点，线段的中点为E,

22

占

一+X

2=1

。F

22

强%

+

铲

〃=1

.也%+%%Fk_Mk_%+%

7—,，鼠48，KOE，

-XX+X

ax2+玉X2—%%2121

又直线AB与直线OE的斜率乘积为-;.

（2）因为直线/与x轴，y轴分别相交于M,N两点，S.\MA\=\NB\,

E为线段AB的中点，所以E为线段的中点,

直线/:＞=h+2（左¥0）与x轴，,轴的交点为知（一；0；N（0,2）,

又心二左。£=一;，即一公=一；，所以后=一孝或左=,（舍去）,

所以直线/:y=-@x+2,

-2

22

又椭圆C:0+2…'

1五9

y=----x+2

由＜「2，消去y整理得/一2岳+4-62=0,

工+上=1

2b2b2

由A=4伊一2）＞。，可得廿＞2,

又%+%2=2A/2,玉元2=4—〃，

2

所以[AB]=J1+左2J%—司=Q8—4(4—b)=,所以匕2=3,则/=6,

所以椭圆C的方程为m+?=1.

o3

21.(1)4=1

(2)证明见解析

【分析】(1)分类讨论，利用导数判断单调性，求出/'(x)的最大值，只需最大值等于零,

即符合"x)WO,进而求出。的值；

⑵由(1)知〃x)最大值为"1)=0,当x40,3时，e，sinx-x>/(x)转化为当

时，e，sin尤-尤>0,利用导数判断y=e*sinxr在10,《时的单调性即可得证.

【详解】(1)由题知，〃x)的定义域为(0,+动，

若〃“0,/(-)=-〃---F1>。，不满足题意；

ee

若〃>0,由/(%)=--1=--^知，

xx

当X£(0,a)时，>0,

当无£(。,中20)时，//(%)<0,

所以/(%)在(。㈤上单调递增，在(〃,+8)单调递减，

故工二夕是/(%)在(。,+")的唯一最大值点，

因为/⑴=0,所以当且仅当。=1时，/(x)<o,

综上所述，a=l.

(2)由(1)知，/(x)=lnx-x+l,

/(力最大值为"1)=0,

当，e'sinx—x〉/(x)恒成立，

故''[°'2卜寸'e*sinx-%>0恒成立，

令y=e*sinx-x,xe

贝Uy'=e"sinx+excosx-1

xx71

=e(sinx+cosx)—1=V2esinXH---1,

4

因为所以x+：71e713K

44,4

si"/,exel,e2

71

V2exsinY>1,V2exsin|九+二-l>0,

4

所以y=e'sinx-x在呵）上单调递增,

且x=0时,y=e°sin0-0=0,

所以当工£卜寸，e"sinx-x>0,

即当时，exsinx-x>f(x).

22.(1)4

⑵⑴|；

n—1

(ii)£=§+”•=,16)；2天

n1785i

【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；

（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率.；

（ii）由题意，求与与月」的关系，通过构造等比数列，求出与，再