上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）（含答案解析）

上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

（一模）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.将抛物线y=3/沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是（）

A.y=x2+lB.y=x2-1C.y=3x2+1D.y=3x2-1

2.在RtAABC中，已知/ACB=9O。，tanB=1,BC=3,那么AC的长等于（）

A.1B.9C.V1OD.3710

3.下列关于抛物线y=2d和抛物线y=_2f的说法中，不正确的是（）

A.对称轴都是y轴B.在y轴左侧的部分都是上升的

C.开口方向相反D.顶点都是原点

4.已知。、b是非零向量，如果”=-3。，下列说法中正确的是（）

A.a+3b=QB.a-3b=QC.同=1|D.3同=1|

5.如图，在四边形ABCD中，如果AB=DC,ZABC=/DCB,那么下列结论中不一

定成立的是（）

A.AC^BDB.AD〃BCC.NDAB=ZADC

D.ZABD=NDBC

6.如图，ABC和DCB都是直角三角形，ZBAC=ZBCD=90°,AB^AC,AC.BD

相交于点。，如果4®C=30。，那么OC：AC的值是（）

A/3-1

D.V3-1

2

二、填空题

「八了5

7.已知一二不，那么--=.

y2y一

8.已知正比例函数y的值随着自变量X的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析

式可以是.（只需写一个）

9.化简：2（。+6）-。=

10.已知二次函数y=f+3x+2的图像与〉轴的交点在正半轴上，那么加的取值范

围是•

11.如图，点。、E分别在cASC的边C4、胡的延长线上，且上〃3C,如果AB=6,

AE=3,CD=5,那么AC=

12.如图，在ABC中，ZACB^90°,C3是4B边上的高，如果AC=5,8=4,那

么,ACD与△CBD的相似比左=

13.已知点A在抛物线y=（x-l『+2上，点H与点A关于此抛物线的对称轴对称，如

果点A的横坐标是-1,那么点A的坐标是

14.如图，抛物线y=-f+4x的顶点为尸，A/为对称轴上一点，如果=那

么点、M的坐标是

15.已知点P为等边三角形ABC的重心，。为ABC一边上的中点，如果这个等边三

角形的边长为2,那么PD=.

试卷第2页，共6页

16.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、。、E都在小正方形顶点的位置

上，连结A3、相交于P,根据图中提示添加的辅助线，可以得到cosZBPC的值等

17.ABC中，点。在边BC上，DC=2BD,WE、歹分别在边AB、AC上，

SABDE=SABDF=3S，如果3C=6,那么EE=-----------

18.如图，矩形A3CD中，AB=6,BC=9,E为边CD的中点，联结AE、BE,尸为

边AD上一点，将AB尸沿3P翻折，如果点A的对应点A恰好位于.ABE内，那么AP

的取值范围是.

三、解答题

7cot45°

19.计算：sin245°+3cot60°----------------------.

tan600-2sin30°

20.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别是A。、BC的中点，BD与EF

交于点G,。为2。上一点，OF〃DC.

OF

⑴求益的值;

(2)设BA=a，DC=b，如果DE:昉=1:3,那么F0=,EG=.(用

向量a、6表示）

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x的图像与反比例函数

y=-(k^O)的图像交于点A(l,相).

(1)求这个反比例函数的解析式；

⑵点8在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点8作轴，垂足为点如

果ZAOH=NOBH,求点B的坐标.

22.如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡的坡度，但由于山坡

A8前有小河阻碍，无法直接从山脚8处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了

如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37。；

第二步：从C处后退30米，在。处测得山顶A的仰角为26.6。；

第三步：测得小河宽8C为33米.

已知点8、C、。在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡的坡度.

(参考数据:sin22.6°a0.45,cos26.6°»0.89,tan26.6°®0.5,sin37°«0.6,cos37°«0.8,

tan37°«0.75)

23.已知：如图，在,.ABC中，点。在边8c上，ZADE=NB,NEAF=NFDC,DE

与AC交于点足

试卷第4页，共6页

(2)连接防，如果Ab2=AP-AC,求证：ADBC=AEBF.

24.综合实践

结合教材图形给出

九年级第一学期教材第2页

新定义

对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形MCD,得到

四边形A用G2；放大四边形ABCD,得到四边形4层G2.如图，对于两个多

<一边形，如果它们的

.次伍/.\-—....对应顶点的连线相

交于一点，并且这

…监二代二

f―…―点与对应顶点所连

(---.线段成比例，那么

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小这两个多边形就是

后，就得到与它形状相同的图形.图中，四边形4gG2和四边形位似多边形，这个

&B[CQ2都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图点就是位似中心.

形说成是相似的图形，或者就说是相似形.

(1)填空：在上图中位似中心是点；多边形是特殊的多边

形.(填“位似”或“相似”)

(2)在平面直角坐标系尤6中(如下图)，二次函数y=的图像与x轴交于点A,

点8是此函数图像上一点(点A、8均不与点。重合)，已知点8的横坐标与纵坐标相

等，以点。为位似中心，相似比为〜将OA3缩小，得到它的位似片.

②直线y="(%>0)与二次函数y=；/-3x的图像交于点M,与①中的抛物线交于点N,

请判断△O4N和4Q4M是否为位似三角形，并根据新定义说明理由.

25.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是边2c延长线上一点，过点3作

BMVDE,垂足为点M,联结CM,设CE=a(O<a<D.

(1)求证：ADCEsABME；

(2)/CME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出./CME的正切值；如果不是,

那么用含字母。的代数式表示NCME的正切值；

(3)尸是边AD上一动点(不与点A、£>重合)，联结PB、PM.随着点尸位置的变化，在

.PBM中除ZBPM外的两个内角是否会有与ACME相等的角，如果有，请用含字母a的

代数式表示此时线段AP的长；如果没有，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解.

【详解】解：将抛物线y=3/沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是

y=3x2+1,

故选：C.

2.A

【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出-3的正切即可解决问题.

【详解】解：在RtABC中，

AC

tanBn=-----,

BC

又因为tan8=LBC=3,

3

所以g=竽

解得AC=1.

故选：A.

3.B

【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确，从而可以解答本题.

【详解】解：抛物线y=2x?和抛物线y=-2f,

它们的对称轴都是>轴，故选项A不符合题意；

抛物线y=2/在y轴左侧的部分是下降的，抛物线y=-2/在y轴左侧的部分都是上升的,

故选项B符合题意；

它们的开口方向相反，故选项C不符合题意；

顶点都是原点，故选项D不符合题意；

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解.

【详解】解：:-3。，

•**A.〃+3。=0，故该选项不正确，不符合题意；

答案第1页，共20页

B.a-3b=-6b，故该选项不正确，不符合题意；

C.同=3网，故该选项正确，符合题意；

D.：同=忖，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

5.D

【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质及判定，三角形的外角的性

质，利用SAS证明△ASC丝△OC6,然后根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质及判

定，三角形的外角的性质逐项进行判断，是解决问题的关键.

【详解】解：设AC与助交于点0,

VAB=DC,ZABC=NDCB,BC=CB,

：..ABC乌DCB(SAS),

AAC^BD,ZACB=ZDBC,NBAC=/CDB,故A正确;

则03=0C,

AC-OC=BD-OB,则。4=0。，

ZOAD=ZODA,

由三角形的外角可知：ZAOB=ZOAD+ZODA=ZACB+ZDBC,

：.Z.OAD=ZODA=ZACB=NDBC,

AAD//BC,故B正确；

VZOAD=ZODA,ZBAC=ZCDB,

贝！|ZOAD+ZBAC=ZODA+ZCDB,

AZDAB=ZADC,故C正确；

若ZABD=/DBC,

"：ZDBC=ZADO,

：.ZABD=ZADO,

：.AB=AD,但A8于AD不一定相等，

答案第2页，共20页

则NASD与/D3C不一定相等，故D不一定正确;

故选：D.

6.D

【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性

质；过点。作OE，3c于点E,证OCE是等腰直角三角形，得OE=CE,OC=近OE,

设OE=CE=a,则OC=0a,再由勾股定理得然后求出AC,即可解决问题.

【详解】解：如图，过点。作OEL3c于点E,

则NOE3=/OEC=90。，

ZBAC=90°,AB^AC,

:.ZACB=45°,BC=yjAB2+AC2=^2AC

：.OCE是等腰直角三角形，

:.OE=CE,

:.OC=y/OE2+CE2=y/2OE

设OE=CE=a,

则OC=04,

/DBC=30。,

OB=2OE=2〃，

BE=4OB2-OE。=yl（2a）2-a2=6a,

.-.BC=BE+C£=（A/3+1）O,

,AC=%C=*M+I）”（"丁）"

OC_~j2a_rr

一耘=祈+码a一，

2

故选：D.

答案第3页，共20页

【分析】根据比例的性质，设尤=5°,则y=2a,代入原式即可求解.

x5

【详解】解：：一、，

y2

...设x=5a,则y=2a,

x+y2a+5a7

那么一:=—;---=--

y2a2

7

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y的值进而求解

是解题关键.

8.y=x

【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质

解答.

根据正比例函数的性质可知左>0,从而可以写出一个符合要求的函数解析式.

【详解】解：.••正比例函数y的值随着自变量X的值增大而增大，

k>0,

.•.这个正比例函数的解析式可以是〉=%

故答案为：y=x.

9.a+2b/2b+a

【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解.

【详解】解：2^a+b^-d=2a+2b-a=a+2b

故答案为：a+2b-

10.m>2

【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题；先求得二次函数y=Y+3x+”-2的图

像与，轴的交点，根据题意得出相-2>0,即可求解.

【详解】解：当尤=0,贝=即y=d+3x+m-2的图像与>轴的交点为（0,加一2）

（0,加-2）在正半轴上，

/.m—2>0,

m>2,

答案第4页，共20页

故答案为：相＞2.

【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据证明再利用

相似三角形对应边成比例，即可解题.

【详解】解：DE//BC,

ABCs,AED,

ACAB

"^D~~AE'

AB=6,AE=3,CD=5,

设AC=x,贝！|AD=5-x,

.•.上=9,解得x=W,gpAC=—.

5-x333

故答案为：.

3

12.-/0.75

4

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,

属于中考常考题型.

AD3

只要证明△ACDS^CBD,可得——=-,由此即可解决问题.

CD4

【详解】解：ZACB=90°,C。是A8边上的高，

:.ZADC=ZCDB=ZACB=90°,

:.AD=yjAC2-CD2=V52-42=3^

ZA+ZB=90°,ZA+ZACD=90°,

，ZACD=/B,

/.ZXACZ^ACBZ）,

.A。」

••—j

CD4

3

即左二L

4

、3

故答案为：—.

4

13.（3,6）

答案第5页，共20页

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先得出A的坐标为（-1,6）,抛物线的对称轴为

x=l,根据对称性，即可求解.

【详解】解：：点A在抛物线y=（尤-1F+2上，点A的横坐标是-1,

抛物线的对称轴为x=l,当x=-l时，7=6,则A的坐标为（T6）,

•••点A与点A关于此抛物线的对称轴对称，

A（3,6）,

故答案为：（3,6）.

【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得〃（2,4）,对称轴为直线尤=2,设

川（2,祇），根据正知=0知建立方程，解方程，即可求解.

【详解】解：,•*y——x2+4-x=—（x—2）+4,

/.P（2,4）,对称轴为直线尤=2,设“（2,祖）,

•/PM=OM,则加=0用2,

即（4-m）2-22+m2,

3

解得：〃?=5，

m，

故答案为：［2,|）.

15.3

3

【分析】本题主要考查了重心的概念，等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是

关键.延长AG交于点。，根据重心的概念得到=根据等边三角形的性质得到

根据勾股定理求出AD即可得到答案.

【详解】解：延长AG交BC于点O,

等边.ABC,

.-.AD1.BC,

D为ABC一边上的中点,

答案第6页，共20页

:.BD=DC=1,

:.AD=\IAB2-BD2=V22-l2=V3,

.点P为等边三角形ABC的重心，

:.PD=-AD=—.

33

16.此亡布

55

【分析】本题考查了勾股定理逆定理、求余弦值、平行四边形的判定及性质，由题意得由勾

股定理求得各边的长度，易知四边形DEBC是平行四边形，AB2^AE2+BE2^进而可知

CD//BE,ZAEB=90°,得ZBPC=ZABE,再结合余弦的定义进行求解是解决问题的关键.

【详解】解：由可知，A£=722+22=2y/2>AB=df+3。=M，

DE=BC=1,8E=C£>=JF+F=&,

.,•四边形DEBC是平行四边形，AB2=AE2+BE2>

CD//BE,ZAEB=90°,

ZBPC=ZABE,

贝（|cosZBPC=cosZABE=,

AB7105,

故答案为：号.

17.4

【分析】本题主要考查了是三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键掌握三角形面积

公式是解题的关键.利用麋.=5△皿=：%15c确定所于8C的关系，已知8c即可得到答

案.

【详解】解：过点E作交BC于点过点尸作/WLBC,交8c于点N,设，ABC

中，以BC为底的高线为〃，

DC=2BD,

答案第7页，共20页

:.BD=-BC,

3

S/\BDE~S/\BDF=§^AABC，

S4BDE=3又BDXEM,

SmDF=gBDxFN,

^△ABC—2XBC*h,

:.EM=FN=-h

3f

二•E、尸分别是边AB、AC的三等分点，即笠=普AF==2,

ABAC3

.NEAF=/BAC,

ABCs.AEF,

.EF_2

••=一,

BC3

BC=6,

:.EF=4.

A

故答案为：4.

18.2VAp<2加-2

【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理；

根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得AP的最小值与

最大值，当时，4尸的值最小，当3尸平分4RE时，4尸最长，分别画出图形进行

计算即可.

【详解】解：如图1,当时，A尸的值最小，此时A点的对应点A落在4E上，

答案第8页，共20页

:.ZABP+ZBAF=90°,

四边形A3CD是矩形，

:.ZBAD=ZD=90°f即NB4F+NE4Q=90。,

.\ZABP=ZFAP,

ZBAD=ZADE=9Q°,

.,二BAPs-ADE,

.APBA

'~DE~ND

即j

39

解得：AP=2；

如图2,当3P平分NABE时，AP最长，此时A点的对应点A落在座上，连接PE,

BE=VBC2+EC2=3710

由翻折可知AB=4B=6,

A'E=BE-A'B=3A/10-6

设AP=x,则4/=无，PD=9-x,

在RfPDE中,PE1=PD2+DE2=（9-x）2+32,

在RtPEA中，PE2=A'P2+A'E2=x2+（3y/10-6^

答案第9页，共20页

(9-x)2+32=x2+卜加-6y

解得：x=2A/10-2

则此时4尸=2师-2,

综上所述，如果点A的对应点A，恰好位于内，那么AP的取值范围是2VAp<2师-2；

故答案为：2<AP<2y/lO-2.

19.

2

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解.

2cot45。

【详解】解:sin245°+3cot600-

tan60°-2sin30°

\2

+3x3-2x1

3y

2

+V3-

2A/3-1

/凤丁U+1)

=1+V3-(^+l)

2

OE1

20.(1)-----

AB2

(2)--Z?，-(b-a

28、

【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；

(1)由三角形中位线定理易得。/为，88的中位线，进而可得OE为一的中位线，于

星空，

AB2,

(2)根据题意可得尸0====根据三角形法则得出

2222

-Ir11

FE=FO+OE=—(a-b),证,DEGsBFG,得到上=—=一，进而EG=—EE,以此

2''FGBF34

即可得到答案.

【详解】(1)解:OF//CD,点尸为的中点，

答案第10页，共20页

:.0F为3co的中位线，

.••点。为的中点，

又，点E为AD的中点，

为上应(的中位线，

0E//AB>OE=—AB,即---=—

2AB2

⑵解：BA=a，DC=b，

FO=—CD=——b.OE=—BA=—a,

2222

FE=FO+OE=；(a-b),

AD//BC,

DEG^BFG,

.EGDE11“

.•==—艮JEG=—FG,

FGBF33

/.EG=-EF,

4

/.EG=——FE=—(b—a\,

48、)

故答案为：,^-{b-a\.

2X'/

21.(l)v=-

X

(2)(2,1)

【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，

熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)将点A的坐标代入一次函数求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；

(2)由锐角三角函数可求明=297,代入解析式即可求解.

【详解】(1)解：正比例函数y=2x的图像与反比例函数y=£(^wO)的图像交于点

二.2x1=2,

•••4(1,2),

将4(1,2)代入y=8(左/0)得上=1x2=2,

X

答案第11页，共20页

2

・••反比例函数的解析式为y=4；

x

(2)解：过点A作AC_Lx轴于点C,

A(l,2),

/.AC=2,CO=lf

tanZAOH=——=2,

OC

ZAOH=NOBH,

.-.tanZAOH=tanNOBH=2=—,

BH

OH=2BH,

点8在这个反比例函数位于第一象限的图像上,

:.OHBH=2,

:.OH=2,

22.山坡AB的坡度i=5:3

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角

函数的定义是解题的关键.过点A作交0c的延长线于点H,根据正切的定义

用AH表示出£>"、CH,进而出去AH,再求出出/，根据坡度的概念计算，得到答案.

【详解】解：如图，过点A作AHLDC,交OC的延长线于点“，

答案第12页，共20页

*.*tanZADH=-----

DH

AH

・・・DH=------------«2AH,

tanZADH

在RtACH中，ZACH=37°,

Aff

9：tanZACH=——

CH

：.CH=——«-AH,

tanZAC//3

,:DC=DH-CH,

4

2AH——AH=30,

3

解得：AH=45,

4

ACH=-AH=60（米），

3

:.BH=CH-CB=60-33=21f

・•・山坡A5的坡度为：45:27=5:3.

23.⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

(1)证明△"见"△Age,即可得出金g=；

ACAE

(2)先推导出当=当，证明得会=整，即可证明当进而得

ACABACBCAEBC

出结论.

【详解】(1)证明：^EAF=ZFDC,ZAFE=ZDFC,

ZEAF+ZAFE+ZE=180。=/FDC+/DFC+/C,

:"E=/C,

在VAD石和ABC中,

ZADE=NB

/E=NC

AADE^AABC,

.AB_AD

AC-AE；

(2)证明：如图:

答案第13页，共20页

E

AB2=AFAC,

.ABAF

**AC-AB?

•:ZBAF=ZCABf

:.AABFS/\ACB,

.ABBF

**AC-BC?

..ABAD

•~AC~~AE'

.AD_BF

・・瓦一法’

；・AD2BCAE1BF.

24.(1)尸；位似；相似

⑵①图形见解析；＞=3%；②△OA】N和△Q4"为位似三角形，理由见解析

【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解;

（2）①根据位似图形的定义，画出图形,再求出A、片的坐标,即可求解;②过点M作

轴于点。，过点N作轴于点C,联立求出点M,N的坐标，可得券=空=2,从

而得到OCNS’ONW,进而得到黑=黑=2,再由点A的坐标为（3,0）,点A的坐标为

（6,0）,可得71r=76=2,然后根据新定义，即可求解.

C//1.C/iV

【详解】（1）解：在上图中位似中心是点尸；位似多边形是特殊的相似多边形.

故答案为：P;位似；相似

（2）解：①如图，。4月即为所求;

答案第14页，共20页

令y=0,则0=4工2—3%,

2

解得：％=6或0,

；•点A的坐标为（6,0）,

设点B的坐标为（s,s）,

S=：S2-3S,解得：S=8或0,

.•.点B的坐标为（8,8）,

:以点。为位似中心，相似比为〜将.OAB缩小，得到它的位似一。4瓦,

•••点A的坐标为（3,0），点B,的坐标为（4,4）,

设经过。、4、用三点的抛物线的表达式为y=a%2+bx+c,

把点（3,0）,（4,4）,（0,0）代入得：

9a+3b+c=0a=l

<16a+4b+c=4,解得：<b=-3,

c=0c=0

...经过0、4、坊三点的抛物线的表达式为y=

②△OAN和为位似三角形，理由如下：

如图，过点/作必），》轴于点。，过点N作NCLx轴于点C,

答案第15页，共20页

y=-x2-3x%=6+2左Jx=0

联立得:2解得:y=6左+2左2或iy=O

y=kx

・••点M的坐标为（6+24,64+242）,

・・・QD=6+2左，MD=6k+2k2,,

同理点N的坐标为（3+k,3左+左2）,

AOC=3+k,CN=3k+k2,

.MD_OD_2

^~CN~~OC~'

•・・ZOCN=ZODM=90°,

：.OCNs>ODM,

.OMMD

"~ON~~CN~'

・・,点A的坐标为（3,0）,点A的坐标为（6,0）,

OA^=3,OA=6,

.OA_OM_2

9t~OA^~~ON~，

/.AOA\N和Z\OAM为位似三角形.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利

用数形结合思想解答是解题的关键.

25.(1)见解析

(2)tanZCME=g

答案第16页，共20页

【分析】(1)由矩形的性质得/OCE=4CD=90。，由于点得/3ME=90。，

则而所以

/OCE=/BME,NE=NE,DCE^tBME；

(2)连接2D,由相似三角形的性质得，变形为，因为NE=NE,所以CME^,DBE,则

ZCME=ZDBC,所以/CME的大小是一个确定的值，tan/CME=tan/OBC=g；

(3)分两种情况讨论，①/PBM=NCME,连接BD,作尸G,应)于点G,因为

11

/PDG=/DBC,所以——=trnZPDG=tmZDBC=-,则PG=—DG,再证明

DG22

/PBG=NEDC,则可求得即=行，进而求得DG,求得尸。=好。G,则AP=土工；

21+4

②/PMB=/CME,连接3。交尸M于点尸，可证明../YZ)s一跳得NDPF=N