2023-2024学年高二数学单元速记-导数及其应用（知识归纳+题型突破）（解析版）

第五章导数及其应用(知识归纳+题型突破)

基础知识归纳

1、平均变化率

(1)变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.

(2)平均变化率

一般地，函数/(X)在区间上，/］上的平均变化率为：:二.

(3)如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出Ay=/(x2)-/(xj和Ax=%-西

Ay/(x)-/(x)

②作商：对所求得的差作商，即j二J2，八L

2、导数的概念

(1)定义：函数/(X)在X=/处瞬时变化率是lim电=lim/(/+.)-/(X。),我们称它为函数

心一。Ax以一0Ax

^^/("在工二/处的导数八己作/'々。)或山门即/(%)=lim电=lim/(/+&)­/(/).

°-oAx-。Ax

(2)定义法求导数步骤：

①求函数的增量：A_y=/(x0+Ax)-/(x0)；

4一Ay/(x+Ax)-/(x)

2求平均变化率：—=2-L-n2-----..---n-；

AxAx

x

3求极限，得导数：/'(x0)=lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

-Ax以―。Ax

3、导数的几何意义

函数y=/(x)在点x=x。处的导数的几何意义，就是曲线y=/(x)在点P(飞,为)处的切线的斜率左，即

左=/'(%).

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

/(X)=c(c为常数)/'(x)=0

/(x)=x"(〃eR)/'(x)=〃X"T

f(x)=sinx/'(x)=cosx

f(x)=cosXf\x)=-sinx

/(X)=e'/'(X)=e，

/(x)=/(a>0)f\x)-ax\na

/(x)=lnxr(x)=-

X

/(x)=log；(a〉0,awl)/'(X)=

xina

/(x)=Vx

/w=-/'(X)=__T

XX

5、导数的运算法则

若/'(X)，g'(x)存在,则有

⑴[/(X)土g(x)]'=7'(x)土g'(x)

(2)[/(%)•g(x)]'=/'(X)・g(x)+/(x)•g'(x)

...「/(x)YJ(x)・g(x)-/(x)•g'(X)

(3)W=Pw

6、复合函数求导

复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/Q),u=g(x)的导数间的关系为久=立4,即V对x的导数等

于y对M的导数与M对X的导数的乘积.

7、曲线的切线问题

(1)在型求切线方程

已知：函数/(X)的解析式.计算：函数/(X)在X=X。或者(4,/(%))处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/(%)(方法：把X=X。代入原函数/(X)中)，切点(4,/(%)).

第二步：计算切线斜率《=/'(》).

第三步：计算切线方程.切线过切点(%,/(%)),切线斜率左=/'(4)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：J-/(XO)=/'(x0)(x-x0).

(2)过型求切线方程

已知：函数/(X)的解析式.计算：过点4(占,%)(无论该点是否在v=/(x)上)的切线方程.

步骤：第一步：设切点片(玉),外)

第二步：计算切线斜率左=/'(/);计算切线斜率左=近二比；

X］-%

第三步：令：后=/'(%)=乂电,解出/，代入左=/'(%)求斜率

石一/

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'Mx-x0).

8、函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)

条件恒有结论

r(x)>oJ=/(X)在(a,b)内单调递增

函数V=/(x)在区

r(x)<oV=/(x)在伍,瓦)内单调递减

间(a,Z?)上可导

r(x)=oV=/(x)在伍力)内是常数函数

9、求已知函数(不含参)的单调区间

①求了=/(x)的定义域

②求/'(X)

③令/'(x)〉0,解不等式，求单调增区间

④令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'(x)〉0(或/'(x)<0)不跟等号.

10、函数的极值

一般地，对于函数y=/(x),

(1)若在点》=。处有/'(a)=0,且在点x=a附近的左侧有/'(x)<0,右侧有/'(x)〉0,贝I］称x=a

为/(x)的极小值点，/(a)叫做函数/(x)的极小值.

(2)若在点x=b处有/'(b)=0,且在点x=b附近的左侧有/'(X)〉0,右侧有了'(X)<0,则称x=b

为/(x)的极大值点，/3)叫做函数/(x)的极大值.

(3)极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大(小)值点，不是一个点，是一个数.

11、函数的最大(小)值

一般地，如果在区间切上函数>=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数/(x)在［a向上连续，在伍/)内可导，求/(x)在［a向上的最大值与最小值的步骤为：

(1)求/(x)在(见人)内的极值；

(2)将函数/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

个是最小值.

重要题型

题型一：平均变化率与瞬时变化率

例题1.（2023下•上海普陀•高二上海市晋元高级中学校考期中）函数y=/卜），其中/（x）=2Y,函数/（x）

在区间民,%+-］上的平均变化率为左，在［x0-Ax,%］上的平均变化率为左2，则匕与匕的大小关系是

【答案】k［>k2

22

【详解】依题意％=2（/+AX）-2X；=4x0Ax+2Ar=,

x0+AX-X0AX

k2=2"干。”『=4小-2"=4%_2Ax,

xQ-（x0-Ax）Ax

所以左-左2=4AX,而AX>0,所以色.

故答案为：K>k2

例题2.（2023上•高二课时练习）自由落体运动的位移”（单位：m）与时间/（单位：s）满足函数关系d=

（g为重力加速度）.

⑴分别求［4,4』、［4,4.01］、［4,4.001］这些时间段内自由落体的平均速度；

（2）求”4时的瞬时速度；

（3）求公时的瞬时速度；

（4）借助（3）的结果，求f=g时的瞬时速度.

【答案】（l）4.05gm/s；4.005gm/s；4.0005gm/s

（2）4gm/s；

（3）agm/s；

5

（4）-gm/s；

【详解】（1）在［4,4』时间内，平均速度一一gg（4」）2一gg（4『m/s；

在［4,4.01］时间内，平均速度一.2g（4°l）〈2g（4）2m/s；

'%=加N=4.00匆

在［4,4.001］时间内，平均速度及鼻（4。叫一—-（4）；000m/s；

3-4.001-4一・田

A2

⑵瞬时速度-由理=1mJgS')Tg’〔Hm且也+%L丽L%",；

4fo△/加-oAZ加-o\t4-0［2)

所以"4时瞬时速度为4gm/s；

(3)由(2)知，/=。(。>0)时的瞬时速度为"=8，=咫111/5；

(4)当/=1■时的瞬时速度丫=8/=1^m/s；

例题3.(2023上•高二课时练习)从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度力(单位：m)和时

间，(单位：s)近似满足函数关系力=-5〃+15/+12.问：

(1)小球的初始高度是多少？

(2)小球在f=0至1卜=1这段时间内的平均速度是多少？

(3)小球在t=1时的瞬时速度是多少？

(4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？

【答案】(l)12m；

(2)10m/s；

(3)5m/s；

93

(4)最高高度为了m,在1.5秒时达到.

【详解】(1)当f=0时，"0)=12,即初始高度为12m；

(2)当f=l时，A(l)--5xl2+15xl+12=22,

所以平均速度为"=彳22-存12=10m/s；

1-0

+-5(1+A/)2+15(1+A42^2/、

(3)由lim」----lim—-------------------------------------1------------lini-&t将)苔，

Af->0A/△tTAZA心,

即f=1时的瞬时速度是5m/s；

1593

(4)由〃=一5产+15/+12可得，当'=-可书=L5时，4Mx=/?(L5)=1,

小球的最高高度为”93m,在1.5秒时达到.

4

巩固训练

1.(2023上•高二课时练习)自由落体运动中，物体下落的距离4(单位：m)与时间，(单位：s)近似满

足函数关系d=5».

⑴求物体在［2,4］时间段内的平均速度；

(2)求物体在t=3时的瞬时速度；

(3)求物体在/时的瞬时速度.

【答案］⑴30m/s

⑵30m/s

(3)10«m/s；

【详解】(1)由d=5/可知，第4s时的距离为1(4)=5x42=80；

第2s时的星巨离为“(2)=5x2?=20；

所以平均速度为丫=一"(2)=辿二型=30m/s

4-24-2

(2)根据导数的定义可知

Ad5。+加y-5*10心+5(助2

v=lim——=lim-----------------=hm----------------=lim10Z+5Ar=10;

△—oxo2△一oM△小7

所以物体在，=3时的瞬时速度为v=10/=30m/s；

(3)由(2)的结论可知，物体在，="。＞0)时的瞬时速度v=10am/s；

2.(2023上•高二课时练习)已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间(单位：秒)的平方

成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒.

(1)求车轮转动前2秒的平均角速度；

(2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度.

【答案】⑴4兀

(2)12兀

【详解】(1)设车轮旋转的角度为V,车辆启动后车轮转动的时间为f秒，

贝!］y=kf,

由题意得f=l时，y=2n,

即2兀=F左，解得k=2n,

故y=2加2,车轮转动前2秒的平均角速度为2兀x2］：无＞。2=4兀,

(2)y-2nt2,y'=4KZ,

由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4兀x3=12兀.

3.(2023上•高二课时练习)将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散.

(1)当半径r从«增加到。＞0)时，求圆周长相对于半径的平均变化率；

(2)当半径厂=。时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率.

【答案】(1)2兀

(2)2死

【详解】(1)当半径『从。增加到。+〃(〃＞0)时，圆周长相对于半径的平均变化率为

2兀(°+〃)-2政

二2兀；

a+h-a

(2)当半径厂=。时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率为

2K(a+A)-27ra°

hm——---------------=hm2兀=2兀.

a+h-a2°

题型二：定义法求导数

例题1.(2023上•上海•高三上海中学校考期中)若/'(x)=Y+sin无，贝!HimZ^=.

…h----

【答案】1

【详解】因为/(乃=/+5出三所以〃0)=0,/'(x)=2x+cosx,

则lim"=lim/(A+0)-/(0)

=r(o)=i.

h->QhA-»0h

故答案为：1.

例题2.(2023上•高二课时练习)已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为［⑺=1。5+10=703户.

⑴求广(10)；

(2)/'(10)的实际意义是什么？

【答案】(1)-10000

(2)答案见解析

【详解】⑴解：由函数/■(，卜及+及”4/,

当人0时,在使用杀菌剂10小时附近的时间段［10,10+修仅＞0)内，

可得细菌数量关于时间的平均变化率为10°+牛八⑼

h

54325432432

10+10(10+/?)-10(10+A)-^0+10xl0-10xl0)_-10A-10A__jn4_,03A

hh,

当h趋近于0,就得到/,(10)=lim(-104-103A)=-104=-10000.

(2)解：(10)的实际意义是细菌数量在，=10时的瞬时变化率，它表明在"10附近，细菌数量大约以每

小时IO”的速率减少.

巩固训练

L(2。23下・上海松江・高二上海市松江一中校考阶段练习)计算：盛辿±"=()

A.0B.2cosxC.cos2xD.2cos2x

【答案】B

.sin(x+2/z)—sinxsin(x+2。-sinx,

【详解】由lim—--------1--------=2lim—--------1---------=2(sinv)=2cosc.

20hh-02h

故选：B

2.(2023下•上海浦东新•高二校考期末)设函数y=/(x)在x=x。处导数存在，若

hr。h

则;"(x°)=.

【答案】6

【详解】由导数的定义可得/'(%)=网〃*弋”=网小上，叫=6.

2°x0-(x0-h)2°h

故答案为：6.

题型三：导数的运算

例题1.(2023下•上海普陀•高二校考期末)下列求导运算正确的是()

A.=~+~TB・(x%)=2xex

C.(e“cos2x)=e'(cos2x—2sin2x)D.^ln—+\nx^'=2+—

【答案】C

【详解】flnx+-^=L_',A错；

IX)XX

(x2eT)'=(x2)V+x2(e)=2xex+x2e，B错；

(e*cos2x)=(ex),cos2x+ejr(cos2x),=excos2x-2-exsin2x=ex《os2x-2sin2x)>C正确；

1In；+Inx]=—>D错.

故选：C.

例题2.(2023上海•高二课时练习)已知g(x)=lnx,计算下列函数y=〃(x)在点x=1处的导

数值：

(l)/z(x)=3/(x)-5g(x)；

(2)/z(x)=/(x)g(x)；

(3)3)=猾

(4)A(x)=/(2x+1)+g(3x-1).

【答案】(l)3e-5

⑵e

(3)不存在

3

(4)2e3+-

【详解】(1)因为〃(x)=3/(x)-5g(x)=3e-51nx,

所以〃(无)=3e，-《，所以〃⑴=3e-5.

(2)因为/z(x)=e*Inx,

所以〃(x)=e'lnx+《，所以"6=e.

(3)因为％(x)=f—，定义域为(0,i)U(l,+8),

Inx

所以函数了="x)在点x=1处的导数值不存在.

(4)因为“x)=/(2尤+l)+g(3x-l)=e2'M+ln(3x-l),

所以\("=2/2+五、，所以〃(l)=2e3+].

例题3.(2023上海•高二课时练习)求下列函数y=f(x)的导数:

2

⑴〃x)=，sinx；(2)/(x)=-^(3)/(耳=('-

【答案】(l"'(x)=2xsinx+x2cosx

，/、X2+4X

(2)/3;中

(3)#(X)=2X-4

【详解】(1)/'(%)-(%?sinx)=(%2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx

2

/x2(J)(工+2)一%2(%+2)2x(x+2)-x2

X+4X

(2)r(x)=

、x+2(尤+2)2(X+2)2(x+)~2'

(3)/'(x)==(%2_4X+4)=(/)_(4x)'+4'=2x-4.

巩固训练

1.(2023下•上海黄浦・高二格致中学校考阶段练习)已知函数＞=/(力导函数为y=/(x),且

/(x)=2/(3)x-2x2+31nx,则/⑴=()

A.21B.20C.16D.11

【答案】B

a

【详解】由/(力=2/(3卜-2/+31!«,得/(力=2/13)-4x+：,

则/'⑶=2/'⑶一11,所以/■'(3)=11,贝！)/⑴=2〃3)-2=22-2=20,

故选：B

7

2.(2023下•上海黄浦•高三格致中学校考开学考试)已知函数/(尤)=2八3)，-§/+山，则/(1)=,

【答案】j

741

【详解】因为〃x)=2/⑶.x-^xz+lnx,所以/口)=2/")-2》+：,

则r(3)=2/(3)-§+针解得：/'⑶=1,

所以/(x)=2尤_g/+in尤，贝|]/(1)=2_§+1111=互.

故答案为：

3.(2023上•高二课时练习)求下列函数V=/(x)的导数：

(l)/(x)=2xe-e2；(2)/(x)=e'cosx；(3)/(x)=jX-^-；(4)/(x)=-^.

x-2smx

【答案】⑴/'(x)=2exi⑵F(x)=ex(cosx-sin龙)(3)/'(x)=-।2

Inx-cosx

(4)/'(无)=

xsinxsinx

【详解】(1)f\x)=(2xey-(e2)'=2e£/—o=2exe-1；

/'(%)=(ex)fcosx+ex(cosx)r=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx；

(x-l/(x-2)-(x-l)(x-2/_x-2-x+l

f

(Inx)sinx-Inx(sinx)'x1Inx-cosx

sinxxsi,nxsi,n2x

题型四：求切线方程

例题1.(2023上•上海普陀•高三上海市晋元高级中学校考期中)曲线j，=e'在点(l,e)处的切线斜率

为.

【答案】e

【详解】因为V=e"则j/=e，，

可知曲线广^在点(l,e)处的切线斜率斤=y'L=e.

故答案为：e.

例题2.(2023下•上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知曲线/卜)=2/_3无，过点(0,0)作

曲线的切线，则切线方程.

【答案】P-

【详解】设切点坐标为(%,-3%),

由〃x）=2/一3x,得/'（x0）=64一3,

所以曲线/（x）在点（%,2町-3%）处的切线方程为y-（2%-3%）=（6焉-3）（x-x。）.

因为切线过点（0,0）,所以一2x；+3x°=（6x；-3）（-%）,解得％=0.

所以切线方程为y=-3x.

故答案为:y=-3x.

例题3.（2023上•上海宝山•高三校考期中）已知〃x）=xlnx.

⑴求/（x）的导函数以及驻点.

（2）求平行于），=x-5的切线方程；

【答案】⑴/'（力=—,驻点为L

e

（2）y=x-i

【详解】（1）,.•/（x）=xlnx,.,./,（x）=l+lnx,

令无）=0即l+lnx=0,解得x=（,

所以函数〃x）的驻点为L

e

（2）由y=x-5,切线的斜率左=1,设切点坐标为（％,%）,

则/'伉）=1，解得%=1,

则No=xolnxo=0,切点坐标为（1,0）,

所以切线方程为y=x-i.

例题4.（2023•上海虹口•华东师范大学第一附属中学校考三模）已知函数〃x）=a/-6e-，-（a+l）x（。、

fteR）.

⑴当忻2,6=0时，求函数图象过点（0,7（0））的切线方程；

【答案】（l）x+y-2=0

【详解】⑴当。=2,6=0时,/（无）=2e-3xJ（x）=2d-3,

/（0）=-1,/（0）=2

所以切线方程为V-2=-（工-0）,即为x+y-2=0.

巩固训练

1.（2023下•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线/（x）=2/-3x,过点M（0,32）作

曲线的切线，则切线的方程为.

【答案】25-尸32=0

【详解】设切点坐标为N（%,2焉-3%）,/'（x）=6/-3,则切线的斜率上=/缶）=6X；-3,

故切线方程为y=（6x；-3）尤+32,又因为点N（尤°,2x；-3%）在切线上，

所以2月-3%=（6x；-3）%+32,整理得到x；=-8,

解得升=-2,所以切线方程为＞=21尤+32.

故答案为：21x-y+32=0.

2.（2023上•上海•高二校考阶段练习）（1）已知函数/（x）=/--一：/,（_］卜，求/'（-1）；

（2）已知曲线〃X）=X3-2X2+X,求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程.

【答案】⑴/（-1）=3；（2）5x-y-8=0.

【详解】解：⑴因为/（X）=X3_X2_：/（_1）尤，

等式两边求导可得/'（"=3/-

所以，r（-i）=3+2-jr（-i）,即）=5,解得八T=3；

（2）因为/'（尤）=X，-2尤2+x,贝！=3x?-4x+l,

所以，/（2）=23-2X22+2=2,/（2）=3X22-4X2+1=5,

所以，曲线V=/（x）在x=2处的切线方程为＞-2=5（》-2）,即5x-y-8=0.

3.（2023上•高二课时练习）已知/1x）=3尤2,分别求曲线y=/（x）在点尸和点。（1,3）处的切线方程.

【答案】〃无）在点尸（T3）处的切线方程为：6x+y+3=0;〃x）在点。（1,3）处的切线方程为：6x-y-3=0.

【详解】由题，/'（x）=6x,

\/（x）在点尸（T3）处的切线斜率为左==-6,

可得“X）在点尸（-1,3）处的切线方程为：y-3=-6（x+l）,即为6x+y+3=0；

同样，/（“在点0。,3）处的切线斜率为4=/''⑴=6,

可得“X）在点。（1,3）处的切线方程为：y-3=6（x-l）,即为6x7-3=0.

4.（2023下•上海浦东新•高二上海市川沙中学校考开学考试）（1）曲线y=l-二在点处的切线

方程.

（2）曲线/（x）=x3+x-2的一条切线平行于直线y=4x-l,求切点《的坐标.

【答案】（1）y=2x+l；（2）（1,0）或（一1,-4）

722?

【详解】（1）因为丁=1——所以了=1一右，所以左।＞2=2,所以曲线歹=1——^在点（―L—1）

x+2（x+2）（-1+2）X+2

处的切线方程为y-(-D=2[x-(-1)],即y=2x+1；

(2)设1的坐标为(冽,")，贝！］〃=疝+%-2,

f(x)=x3+x-2的导数为尸(x)=3/+1,在点《处的切线斜率为3川+1,

由切线平行于直线y=4x-l,可得3/+1=4,解得加=±1,

所以切点分的坐标为(1,0)或(T,-4).

题型五：根据切线的斜率求参数

例题1.(2023上•上海青浦•高三校考期中)已知aeR,曲线了=/卜)经过点(L2)且在该点处的切线方程

为ax+y-5=0,贝!］+~~-=_______.

〃->oh

【答案】-3

【详解】由点(L2)在直线以+y-5=0上，得。=3,又曲线y=/(x)在点(1,2)处的切线方程为以+y-5=0,

则((1)=一a=-3,而/(1)=2,所以1面-'(1+)-2=limAMzZO=/'(,=—.

20h20hV7

故答案为：-3

例题2.(2023下•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习)已知。,6为实数，函数y=lnx+@在x=l处的切

X

线方程为4y-x-b=0,则浦的值为.

3

【答案】1/1.5

【详解】因为y=ln无+巴，所以!一二，

XXX

则丹1=1一。，由X=1处的切线方程为4y-x-b=0,

得切线的斜率为左=所以1-。=：,得。=：，

444

所以y=lnx+：,当x=l时，y=|,所以切点为

4x4<4)

将［11代入切线方程得：4x|-l-/>=0,

解得6=2,所以附=：3x2=3；.

42

故答案为：!3

例题3.(2023上•上海嘉定•高三校考期中)已知函数〃x)=a(e'+a)-x.

⑴当“=1时，求函数尸f(x)的图像在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)讨论函数J，=〃x)的单调性；

【答案】⑴尸2.

(2)见解析.

【详解】(1)当。=1时，/(x)=er-x+l,所以_T(x)=e'-l.

得/(o)=2,点(0j(o))处的切线斜率为r(o)=0,

所以函数了=f(x)的图像在点(0,/(0))处的切线方程为：y=2.

(2)由/(x)="(e"+(7)-x得/<x)=ae*-l,

当aV0时，/''(》)<0恒成立，则/(x)在R上单调递减；

当。>0时，令/'(x)=0得x=ln^,

a

当*In：］时，r(x)<0,/(x)单调递减，

当xebn±+co］时，f\x)>0,/(x)单调递增.

综上所述，

当aVO时，/⑴在R上单调递减；

当a>0时，/⑴在卜co,In上单调递减，在(in：,+coj上单调递增.

巩固训练

1.(2023下•上海松江•高二上海市松江二中校考期中)已知函数了=/(无)的图象在点加(1,7(1))处的切线

方程是V=2x+1,贝!］/(1)+/(1)=.

【答案】5

【详解】由导数的几何意义可得/'⑴=2,将点/的坐标代入切线方程可得/⑴=2xl+l=3,

因此，/(l)+r(l)=5.

故答案为：5.

2.(2023・上海•高二专题练习)函数/'(x)=x3-ainx在点0J⑴)处的切线与直线2》+歹+1=0平行，则实

数a=•

【答案】5

【详解】♦••/(无)=xJaln尤，则/卜)=3/-£,

"⑴=3-a,

若切线与直线2x+y+l=0平行，贝!］/(1)=3-。=-2,解得a=5.

故答案为：5.

题型六：函数的单调性与图象

例题1.(2023上•上海松江•高三统考期末)函数>=/(x)的图象如图所示，y=/'(x)为函数］，=f(x)的

导函数，则不等式△»<()的解集为()

C.(-3,-l)u(0,l)D.(-甩-3)U(l,+s)

【答案】C

【详解】由图象可知，在区间(-8,-3),(-1,1)上/(力<0,

在区间(T一1),(1,+⑹上H(x)>0,

所以不等式△“<0的解集为(-3,-1)u(0,l).

X

故选：C

例题2.(2023下•高二单元测试)已知函数“X)的导函数/'(X)图像如图所示，则“X)的图像是图四个图

像中的().

【答案】A

【详解】由题意可知，当-2<x<0时，/%)>0,则〃x)在(-2,0)上单调递增,

当0<X<2时,r(x)<0,则〃x)在(0,2)上单调递减，

当-2〈尤<-1时，/(X)单调递增，则在(-2,-1)上增的越来越快，

当T<x<0时，/'(x)单调递减，则/(x)在(TO)上增的越来越慢，

当0<x<l时，/'(x)单调递减，则/⑺在(0,1)上减的越来越快，

当l<x<0时,r(无)单调递增，则“X)在(1,2)上减的越来越慢，

只有A选项符合.

故选：A.

例题3.(2022下•上海浦东新•高二校考期末)已知函数y=47x)的图象如图所示(其中/'(X)是函数/(x)

的导函数)，则下面四个图象中，了=/(力的图象大致是()

【详解】由题给函数y=M'(x)的图象，可得

当尤<-1时，矿(x)<0,则/'(x)>0,则"X)单调递增；

当-l<x<0时,当(x)>0,则/V)<0,则/(x)单调递减；

当0<x<l时,当(x)<0,则/(x)<0,则。(x)单调递减;

当x>l时，xf'(x)>0,则/*)>0,则/⑴单调递增；

则/(x)单调递增区间为(-甩-1),(1,+«)；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

巩固训练

1.(2023下•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习)定义在R上的函数的导函数为尸(x),

如图是/'(X)的图像，下列说法中不正确的是()

y/k

A.［T,3］为函数〃x)的单调增区间

B.［3,5］为函数的单调减区间

C.函数/(x)在尤=0处取得极大值

D.函数/(x)在x=5处取得极小值

【答案】C

【详解】对选项A：x«T,3］时,r(x)>0,单调递增，正确；

对选项B：xe［3,5］时，r(x)<0,/(x)单调递减，正确；

对选项C：xe［-l,3］时，“X)单调递增，错误；

对选项D：x«3,5］时，/(x)单调递减，当xe(5,+s)时，/(x)单调递增，函数/(x)在尤=5处取得极小

值，正确；

故选：C.

2.(2023下•上海松江•高二上海市松江一中校考期末)设函数的图像如图所示，则导函数/'(X)的图

【答案】c

【详解】解：由〃解的图像知:当时,“X)单调递减，r(x)<o,

当xe(l,4)时，“X)单调递增，户小)>0,

当xe(4,+e)时,〃x)单调递减，_f(x)<0,

由选项各图知：选项C符合题意，

故选：C.

3.(2023下•上海•高二专题练习)已知函数卜=-移。)的图象如图所示，其中/'(X)是函数"X)的导函数,

则函数y=/(x)的大致图象可以是

【答案】A

【详解】分析：讨论x<-1,-IVxVO,OVxVLx>l时，/'(X)的正负，从而得函数/(x)的单调性,

即可得解.

详解：由函数，=-矿(尤)的图象得到：

当xV-1时，F(x)<0,f(x)是减函数；

当-1<XV0时，r(x)>0,f(x)是增函数；

当0<x〈i时，r(x)>0,f(X)是增函数；

当x>i时，r(x)<o,f(x)是减函数.

由此得到函数y=f(x)的大致图象可以是A.

故选A.

题型七：根据函数的单调性求参数(小题)

例题1.(2023上•上海静安•高三上海市市西中学校考期中)函数/'("=尤3+"在区间卜2,3］上是单调函数,

则实数a的取值范围是.

【答案】（一叫一27］60,+劝

【详解】因为函数/（"=/+如在区间［-2,3］上是单调函数，

则/'⑺=3/+.在卜2,3］上有f\x）20或，（x）40恒成立，

2

当了'（x）20时，Bpfl>-3x,则aNO,

当/（无）40时，BP«<-3x2,贝！］aW-27,

综上：实数a的取值范围是（-甩-27］D［0,+8）.

故答案为：（-S,-27］U［0,+8）

例题2.（2019下•上海徐汇•高二上海市第二中学校考期末）已知函数j，=f-4ax在［1,3］上单调递增，则

实数。的取值范围.

【答案】,8，；

【详解】解：因为了=f-4ax,所以y'=2x-4a,

因为函数了=1-4依在［1,3］上单调递增,所以回=2x-4aN0在xe［l,3］恒成立,

即■在xe［l,3卜恒成立，

又当x=l时，］取最小值

即Q4—,

2

故答案为.

例题3.（2023上•上海•高三校考期中）若函数/（x）=sinx+acosx在（1,V［上是严格单调函数，则实数

a的取值范围为.

【答案】，百

【详解】/'（x）=cosx-tzsinx,

（27r7TTA

函数/（力=$也》+。85X在［7,可）上是严格单调函数，

所以/'（x）20,或/。）40,

当X=7t时，/'（无）=-1,/'（力20不符合题意；

由广（力40时，得d!sinx>cosx,

口时,(2兀

当xesinx>0,所以。2------在XG——,71上恒成立,

tanx(3

即求,因为所以tanxe(-6,0),」一e

v

Itanx41ax<3)'tanx13

所以a1";

3

当x/兀,?］时，sinx<0,所以aV」一在xe(兀,?］上恒成立，

I6JtanxI6J

即求a«(」一］,因为XJTI,?1,所以tanxe0,g,」一e(G,+oo),

即a«百;

综上所述，一如<avVL

3

故答案为：

例题4.（2023下・上海松江•高二上海市松江一中校考期末）函数了=》3+（"1）/+（后+5）x_1在他,3）上不

单调，则实数A的取值范围是.

【答案】（-5,-2）

【详解】因为了=X3+（"1.2+（左+5）x-l,所以/'（x）=3f+2（"l）x+（左+5）,

又因为函数“X）在区间（0,3）上不单调，所以/'（x）=0在（0,3）内有实数根，且无重根，

即3/+2（4-1）x+（万+5）=0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间（0,3）内，

①若/'（0）=左+5=0,贝!U=-5,/'（X）=3X2-12X=3X（X-4）,

方程/'（x）=0的两个实根0和4均不在区间（0,3）内，所以无〜5；

②若/'⑶=7左+26=0,则左=一空，/'（X）=3（X_3）、_；|,

方程/'（无）=0在区间（0,3）内有实根;，所以上可以为-2；

③若方程/（x）=0有一个实根在区间（0,3）内，另一个实根在区间［0,3］外，

则/'⑼了⑶<0，即优+5）（7无+26）〈0,-5<k<-i

④若方程/'（x）=0在区间（0,3）内有两个不相等的实根，

/⑶=7左+26>026

k7>-----

/（0）=左+5>07

则：；_k—\_k>—5

0<------<3

3一8<左<1

A=4（^-l）2-12（^+5）>0（左+2）（左一7）>0

综合①②③④得上的取值范围是(-5,-2).

故答案为：(-5,-2)

巩固训练

1.(2023下•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习)若函数了=-/+。尤在[1,+8)上严格减，则"

的取值范围是.

【答案】(F,3]

【详解】由题意知/'(耳=-3/+°,则/(同40在[1,+8)恒成立，即。V3/,故OW3.

故答案为：(F,3]

2.(2023上•上海浦东新•高三校考期中)已知函数〃x)=ae，-lnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值

为.

【答案】e-1/-

e

【详解】因为〃x)=ae-lnx(x>0),

所以/'(x)=ae-，

所以函数/(X)="e*-Inx在区间(1,2)上单调递增，

即/(无)20在(1,2)上恒成立，

显然。>0,所以问题转化为xe,N!在(1,2)上恒成立，

a

设g(x)=xe",xe(l,2),

所以g[x)=e、+xe，=(l+x)e'>0,

所以g(x)在(1,2)上单调递增，

所以g(x)>g(l)=e,

,,11

故eN—naN-,

ae

所以。的最小值为：

e

故答案为：

e

3.(