2024年高考模拟数学试卷6（新高考Ⅱ卷专用）（解析版）

备战2024年高考数学模拟卷06(新高考II卷专用)

第I卷(选择题)

一、单项选择题

1.已知集合4=｛%|^<0j,B=｛y\y=｝,则AClB=()

A.(0,2]B.[2,4]C.[0,4]D.(0,4]

K答案XD

K解析U因为a=卜I?<0j=｛x|0<x<4],B=｛y\y=V%-2｝=(y\y>0],

所以2CB=(0,4].

故选：D.

2.已知复数z满足|z-i|=|z|,则|z|的最小值为()

117

A.iB.-C.;D.1

K答案工B

K解析X设2=x+yi(x,yeR),

由|z—i|=|z|得：|x+(y—l)i|=|x+yi|,.・.x2+(y—l)2=x2+y2,

整理可得：y=i,/.z=x+1i,

|z|=Jx2+j>|(当且仅当X=0时取等号)，|z|的最小值为

故选：B.

3.已知数列｛aj满足：对任意的neN*,总存在meN*,使得&=am,则称为“回旋

数列”.以下结论中正确的个数是()

①若斯=2023n,则｛斯｝为“回旋数列”；

②设｛an｝为等比数列，且公比q为有理数，则｛即｝为“回旋数列”；

③设｛斯｝为等差数列，当的=1,d<0时,若｛%J为“回旋数列”,则d=—1；

④若｛an｝为“回旋数列”，则对任意neN*,总存在meN*,使得厮=5..

A.1B.2C.3D.4

[答案』B

K解析X①由an=2023n可得Sn=2023(1+2+3+…+n)=2023X吟山，

由Sn=am可得2023X丛罗=2023m,取m=^罗即可，则｛a"为“回旋数列"，故①正确;

②当q=l时，Sn=nat,am=at,

由Sn=am可得na】=a;故当n=2时，很明显na1=a］不成立，故｛a"不是"回旋数列，②

错误”；

n

③｛an｝是等差数列，故am=1+(m-l)d,Sn=n+d,

因为数列｛an｝是“回旋数列"，所以l+(m—l)d=n+/0d,即皿=等+的罗+乙

其中的严为非负整数，所以要保证等恒为整数，

2d

故d为所有非负整数的公约数，且d<0,所以d=-1,故③正确；

④由①可得当an=2023n时，｛aQ为“回旋数列”，

m(I+1)

取a2=2023x2,Sm=2023X^,显然不存在m,使得Sm=a2=2023x2,故④错误

故选：B

4.已知平面向量出b,1满足次=(2,1),b=(1,2),且日12若31=3V2,贝［成=<)

A.V10B.2V5C.5V2D.3亚

(答案』A

a-c=2x+y=0fx=-V2

K解析U设不=(x,y),则

b-c=x+2y=3V2[y=2企

所以口=代+y2=V2T8=V10.

故选:A

5.三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出

两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是()

A.—B.-C.—D.—

1231212

(答案》C

k解析》三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有(Cj)3个，它们等可能，

有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A含有的基本事件数有-1)个，

所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P(A)=省筹&=

故选：C

6.己知a为第三象限角，若tana=3,贝l］sin(a—弓)=()

(答案IA

K解析U由已知可得tana="^=3,所以sina=3cosa.

cosa

又si/a+cos2a=1,所以lOcos2a=1,解得cosa=±噜.

又a为第三象限角,

V10.c3^10

所以,cosa=----，sina=3cosa=-----.

ioio

ina-.71,.713V10\[2V10y/22V5

所以,sin(?)=sin(a+：)=sinacos-+cosasin-=------X---------X—=------.

441021025

故选:A.

7.如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.图

2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成,

若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm

和6dm,则该花灯的表面积为（）

A.(108+30V3)dm2B.(72+30V3)dm2

C.(64+24V3)dm2D.(48+24V3)dm2

[答案XA

k解析U正六棱柱的六个侧面面积之和为2x6x6=72dm2,

正六棱柱的底面面积为"x22x6=6V3dm2,

4

如图所示,正六棱台ABCDEF-AiBigDiEiFi中，=2dm,AB=4dm,

过点A1,Bi，J,Di，Ei，Fi分别作A/2,B1B2,gC2,D。2,E1E2,F#2垂直于底面ABCDEF于点

A?,B2,C2,D2,E2,F2,

连接AD,BE,CF相交于点0,贝必2,B2,C2,D2,E2,F2分别为0A,0B,0C,0D,0E,OF的中点,

过点A?作A?G，AB于点G,连接A]G,贝必修为正六棱台的斜高，

其中A/2=ldm,AG=AB-jBz=idm,AA2=|A0=2dm,

2

由勾股定理得A2G=JA2A2—AG?=V3dm,故A1G=7A2G+AtA^=2dm,

所以正六棱台的斜高为2dm,

又正六棱台的下底面面积为¥x42x6=24V3dm2,

所以该花灯的表面积为72+6V3+36+24V3=108+30V3(dm2).

故选：A.

8.己知定义在(—2,2)上的函数/(x)满足/⑺+e4%/(-x)=0,且/(I)=e2,尸⑺为/(%)的

导函数，当x6[0,2)时,f'(x)>2/(x),则不等式e2xf(2-%)<e4的解集为()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,4)

(答案》D

K解析》设g(x)=^,2<x<2,

g(x)+g(_x)=詈+合=&[f(x)+e4xf(-x)]=0,

所以g(x)是奇函数.

当xe[0,2)时,fr(x)>2f(x),

则g，(x)=f'(x>：](x).2冷=>0,

所以g(x)在[0,2)上单调递增，则g(x)在(-2,2)上单调递增,

不等式e2xf(2—x)<即竽要<1=畔，

e气一"铲

所以「2<2：X<2=I<X<4,

所以不等式e2xf(2-x)<e4的解集为(1,4).

故选：D

二、多项选择题

9.已知函数/(久)=sin(3x+0)(3>0,\(p\<§的最小正周期是7i,把它图象向右平移g个单

位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是()

A.函数f(x)的图象关于直线％=浮寸称B.函数/(x)的图象关于点信,0)对称

C.函数/(久)在区间［-”总上单调递减D.函数f(x)在用上有3个零点

K答案』AC

K解析X因为函数Kx)=sin(3x+(p)(3>0,|cp|<§的最小正周期是兀,所以3=午=2,

则f(x)=sin(2x+cp),

把它图象向右平移g个单位后得到的图象所对应的函数为y=sin(2x+(p-y),

因为y=sin9x+cp—亨)为奇函数,所以(p—^=kTi,kGZ,即(p=g+kmkGZ,

因为所以k=-l,年=一泉所以f(x)=sin卜x*),

对于A,f(g)=sin(2x工一3=1,所以函数f(x)的图象关于直线x=*寸称，故A正确；

对于B，，偌)=sin(2x^-9=sin(—》=—)3

所以函数f(x)的图象不关于点(卷,0)对称，故B错误；

对于C,当xe［一；,一3时，2x-^ec

函数y=sinx在［一日,一||上单调递减，

所以函数f(x)在区间［-；,-总上单调递减，故C正确；

对于D,由f(x)=sin(2x—二)=0,得2x—N=kir,即x=^+jkeZ,

\3/326

令泮手+浮齐解得三k转，又kez,所以k=i或k=2,

所以函数f(x)在［：,：］上有2个零点，分别为g,p故D错误.故选：AC.

10.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线,

经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点.

用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称

轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：，2=4%的焦点为「O为坐标原点，一条平

行于X轴的光线人从点〃射入，经过。上的点力(%i，yD反射，再经过C上另一点8(%2，丫2)反

射后，沿直线G射出，则()

A.C的准线方程为x=-1

B.yi72=-2

C.若点M(2,l),则|4B|=£

D.设直线AO与C的准线的交点为M则点N在直线6上

K答案XAD

《解析》由题意，抛物线y2=4x,可得焦点F(l,0),准线方程为x=—1,所以A正确;

由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F,且斜率不为0,

设直线AB:x=my+l,联立方程组「；，整理得y2—4my—4=0,

可得△=(—4m)2+16>0,所以YiYz=—4,所以B错误；

若点M(2,l),则yi=1,所以丫2=-4,所以Xi=：,x2=4,

所以|AB|=X1+X2+2=；+4+2=R，所以C错误；

44

f_Yi

又由直线OA:y=&x,联立方程组y—£X,解得yN=—9=—与=—2,

xi(x=-1X19yi

由丫1丫2=-4，得丫2=土，所以yN=y2，所以点N在直线h上，所以D正确.故选：AD.

Yi

11.如图，棱长为2的正方体ABC。—Z/iCiDi中，BE=xBC,C^F=yC^C,瓦Z=z瓦瓦

x,y,zE(OJ),则下列结论中正确的是()

aG

A.存在y,使得％。1AF

B.当x=y=｝时，存在z使得41G〃平面AEF

C.当x=y=z=^,异面直线力iG与EF所成角的余弦值为?

D.当无=y=z=|时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

K答案』BD

k解析』如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在

直线为z轴的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),Aj(2,0,2),C(0,2,0),D(0,0,0),0^0,0,2),E(l,2-2x,0),F(0,2,2—2y),

对于选项A：可得西=(0,0,2),AF=(-2,2,2-2y),

因为西•屈=2(2—2y),且ye(0,1),可知西•屈力0,

所以DiD与AF不垂直，故A错误；

因为x=y=5贝UE(l,2,0),F(0,2,l),可得II=(—1,2,0),EF=(-1,0,1),

对于选项B：设平面AEF法向量为H=(a,b,c),贝卡•慢=-a+2b=0,

令b=1,贝归=c=2,可得H=(2,1,2),

设G(2,2,t),t=2-2ze(0,2),可得砧=(0,2,t-2),

令福•F=0+2+2(t—2)=0,解得t=l,

可知：当z=|时，A1G〃平面AEF,B正确；

对于选项C：当z=T时，贝I」G(2,2,1),此时A；G=(0,2,-1),

因为cos(砧，邨)=患需=号=答，

可知：当x=y=z=决寸，异面直线A1G与EF所成角的余弦值为噜，故C错误；

对于选项D：因为前=(1,0,1),CE=(1,0,0),

可得：点G到平面AEF的距离d=卑=：,点C到平面AEF的距离d，=理=：

|n|3n3

所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D正确.

故选：BD.

12.已知a=工,6=cos%,c=3tan=d=e西m=In%，则下列不等式成立的是()

183318

A.c>b>aB.c>a>b

C.d>a>mD.a>d>m

k答案》AC

k解析X设NAOB=a为锐角，作出单位圆，与x轴交于A点，则A(l,0),

过点A作AC垂直于x轴，交射线0B于点C,连接AB,过点B作BDLx轴于点D,

由三角函数定义可知AC=tana,BD=sina,

设扇形OAB的面积为S],贝！JSAOAC>SI>SAAB0,即[tana>ja>jsina,故tana>a>sina,

b—a=cos;葛=1-2siM=卷—2siM合2位一siM》,

因为sin：<[,所以b-a=2（金一sin?]）>0,故b>a,

综上：c>b>a,A正确，B错误;

令f(x)=ex—x—1,x>0,则f，(x)=ex—1,

当x>0时，fr(x)=ex-1>0,故f(x)在(0,+8)上单调递增,

所以f岛),f(0)=0,所以温>,，

令g(x)=Inx-x+1,x>0,则g，(x)=1-1="二

当0<x<1时，gz(x)>0,g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

故g@=ln5-4+1vg⑴=0,故1啜<S-1=S,

故d>a>m,C正确，D错误；

故选：AC

第II卷(非选择题)

三、填空题

13.若随机变量X〜N(5«2),且P(X<0)=0.11,则P(5〈XW10)=.

K答案H0.39

K解析》因为X〜N(5,(j2),所以正态曲线的对称轴是直线日=5,

又因为P(X<0)=0.11,所以P(5<X<10)=P(0<X<5)=0.5-P(X<0)=0.5-

0.11=0.39.

故(答案』为：0.39.

14.若曲线y=Inx在点PG；1,月)处的切线与曲线丫=针相切于点(2(久2，、2)，则‘二+

R答案』-1

k解析』(Inx)，=(ex)z=ex,.,.切线斜率k---eX2,

XXI

X2X2X2

,切线方程可记为：y=/(x—Xi)+Inx1==•x-1+Inx1或y=e(x—x2)+e=e-

X2

x+(1—x2)e,

11

—=evX2(-Inx1=x

X2x2

1nxi—1=(1—x2)eti(Inx-L-1)=1—x2

贝!JX1G2+1)=X2-1,易得X2+1W0,X]=生二，

X2+1

222

•••---+X=X2-11+x2=-1-+X=—X—1+X=-1.

X-i—i2------------1------------222

X2+1X2+1

故［答案］为：一1.

22

15.已知直线/与圆。：％2+y2=1相切，且交椭圆C：亍+y=1于Z(%i，yDB(%2，y2)两点，

若y/2=—畀贝1J|AB|=.

K答案U竽

K解析U设直线l:x=my+t,

•・•直线1与圆0:x?+y2=1相切，

将直线1方程与椭圆方程联立，得(4+3m2)y2+6mty+3t2-12=0,

所以yj2=不&，因为丫1丫2=-

由对称性，不妨取m=l,t=V2,

6\4V30

Yi+丫2=—亍,|AB|=V1+1x

7/7

故［答案》为：学.

/B\

16.已知椭圆C:《+《=l(a>6>0),C的上顶点为A,两个焦点分别为6/2,离心率为

I，过反且斜率为争勺直线与C交于D,E两点，四边形4啖石的面积为学则四边形ADFzE的

周长是.

［答案X14

K解析》设椭圆半焦距为c,因椭圆离心率为；，则£=；今W=：=>a2=4c2,b2=a2—c2=

2a2az4

3c2,则椭圆c：M+t=l.

4c23c2

由题，设直线DE为y=f(x+c),将其与椭圆方程联立，则13x2+8cx-32c2=0.

由题，联立方程判别式大于0,设D(XL%),E(X2，y2)，由韦达定理，有x1+x?=-罪乂尼=

-32c2

13•

2xx2

贝lj|DEI=J(X1-X2)2+(yi—y2)2=(xx-x2)=1V(i+2)-4xtx2

22

又A(0,EC),F2(C,0),则A到直线DE距离为由=^=c,F2到DE距离为d2=^=c.

V3V3

2

因四边形ADF2E的面积S为?，则S=SAADE+SADEF?=j'|DE|•(dt+d2)=gc=^=>

13

C=—.

8

因点A,F2到直线DE距离相等，且kAFz=一百今kDE,kAF2=—1今DE1AF2，则点A,

F2两点关于直线DE对称.

则四边形ADF?E的周长为|AD|+|DF2|+|F2E|+|EA|=2(|F2E|+|DF2|).

注意到，|DE|+|EF2|+|F2D|=IDF/+|DF2|+|EFj+|EF2|=4a=8c=13,

贝！］|F2E|+|DF2|=13-|DE|=13-等=7,得四边形ADF?E的周长为14.

四、解答题

17.设正项数列｛5｝的前n项和为%,若%=警.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)若不等式去+±+…+>I-5对任意正整数及均成立，求2的取值范围.

3sl4s2(n+2)Sn2Sn

解：(1)当n=1时，a1=也声，所以a1=1；

当n22时，Sn=^曳且Sn.1

两式相减并整理可得(an+anT)(an-an-1-1)=0.

因为hn｝为正项数列,所以an—an.i=l，所以HR=1+(n-1)=n.

(2)有(1)可知Sn=g^=^罗,

1_2_11

(n+2)Snn(n+l)(n+2)n(n+l)(n+l)(n+2)'

--

两+诟+…+(n+2)Sn22x3+2x3.3x4+…+(n+l)n.(n+l)(n+2)

_i_1

-2(n+l)(n+2)'

故土+套+…+1>A多可化为人〉康，

(n+2)Sn

因为上竹一意W恒成立，所以人灵

18.在AaBC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且吧七当=唉.

sinF-sinCa+b

⑴求a；

2

b3

--

(2)若△ABC内一点P满足丽•丽=0,AAPC32,i己NACP=e,求tang的

值.

角由：(1)因为sinB-sinAc

sinB-sinCa+b'

由正弦定理得：弊=嗅，

b-ca+b

即b?+c2—a2=be,

由余弦定理，COSA=b2：f—a2=3,

因为AG(0,n),所以A=g.

(2)因为而•PC=0,所以PB1PC,在aPBC中，PC=BCcos(C-6),

在AAPC中，由正弦定理得=

sinzPACsinzAPC

即BCC)(C-<)=斗=2®即BCcos(C—8)=2gsin信一。)，(*)

sin(^--0jsin^7t\3/

又因为在4ABC中，BC=/22+32-2x2x3xcosl=V7,cosC=⑼+^了=2

勺32X3XV7小

从而sinC=*

代入(*)式得3cos®—V5sin。=2cos8+V5sin。，

即cos。=2V3sin6,

所以tan。=—.

6

19.气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度(mm)来判断降雨强

度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm〜25mm),大雨(25mm〜50mm),暴雨(50mm〜

100mm).为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当

日24小时内降雨量的频率分布直方图如图.

(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；

(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；

②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析.据以往统计数据，降雨过后，降雨强度

为大雨的乡镇不受损失的概率为：降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为:，假设降雨强

34

度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率.

解：(1)这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.2,0.3,0,35,0.1,

故这20个乡镇的平均降雨量为0.05x(走罗)+0.2X(失竺)+

0.3x+0.35x+0.1x=52.5(mm).

(2)®24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为(0.01+0.035+等)X10=0.6,

故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为0.6X2O=12个.

②若按分层抽样抽取5个乡镇，

故降雨强度为暴雨的有5X0.6=3个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，

设事件M表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”.

分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，

所以P(M)=©8x(I)1x(|)3+禺(|)2xiX(|)2=?

故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为称.

64

20.如图，在四棱锥P—48CD中，BCHAD,BC=2AD,M为棱AP的中点.

⑴棱PB上是否存在点N,使MN//平面PDC?若存在，求出？的值；若不存在，请说明理由；

ND

(2)若平面PDC_1_平面ABC。，AB1BC,BC=CP=PD=DC,求二面角B—MD—C的正

弦值.

解：(1)如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E,连接PE,过点M在平面BEP内作直

线FN〃PE,交BE于点F,BP于点N,

因为MN〃PE,PEu平面PDC,所以MN//平面PDC,

因为BC〃AD,BC=2AD,所以A,D分别为线段BE,CE的中点，

又FN〃PE,M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以

rDIND3

综上，棱PB上存在点N,使MN〃平面PDC,且£

NB3

(2)设AD=1,又AB1BC,BC=DC=2,所以AB=b,BD=2,

又CP=PD=DC=2,所以△PCD和△BCD为等边三角形，

设。为CD的中点，连接OP,OB,则OP=OB=g,OP1DC,OB1DC,

又平面PDC1平面ABCD,平面PDCC平面ABCD=CD,POu平面PDC,PO1平面ABCD,

又OBu平面ABCD,PO1OB,

综上，OP,OB,OC两两垂直.

以O为坐标原点，OB,0C,而的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系.

则B(低0,0),C(0,l,0),P(0,0,V3),D(0,-l,0),A(y,-|,0),M停-泻),

DM=(y,i,y),DB=(V3,l,0),DC=(0,2,0),

设平面MDC的法向量为H=(Xi，y1,zi),

2yL0,

n-DC=0,

则即行,I,V3c可取H=(2,0,—1),

.n-DM=0(yXi+-yi+yZ1=0,

设平面MDB的法向量为记=(x2,y2，z2),

记.丽=0,即V3X2+丫2=0,

则V31V3c可取出=(L—8,0b

m-DM=0(Tx2+-y2+Tz2=0,

所以cos〈冗记〉=2=■

|n||m|2V55

故二面角B-MD-C的正弦值为—cos2〈元弦〉=卓

21.已知双曲线C：1—1=l(a>0,b>0)的离心率为辿，尸为C的左焦点，P是C右

支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积洋

(1)求C的方程;

⑵若线段尸尸与C的左支交于点。，与两条渐近线交于点A,B,且31aBi=\PQ\,求|PQ|.

解：(1)由题意得£=逋，故c2=±a2,

a32

又a?+b2=c2,C的两条渐近线方程分别为y=±\,

lbb2

x-yia2b喈-制a2b2_3

=

b2+a2—;

所以a2b2=建2=〃％2,所以b2=l,a2=3,故C的方程为的―y2=1.

4433

(2)由(1)知F(-2,0),设直线PF的方程为x=my—2,Q(x2,y2)，A(x3,y3),B(x4,y4),

联立代一y2=1，得(m2—3)y2-4my+l=0,

X=my—2,

则y1+丫2=居