2024届吉林省联谊校数学高二年级上册期末考试试题含解析

2024届吉林省联谊校数学高二上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知月、工分别是椭圆L+匕=1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与耳A的延长线、耳居的延长线以

43

及线段A月相切，若M&0）为其中一个切点，则（）

A./=2B./>2

C.t<2D.1与2的大小关系不确定

22

2.已知椭圆二+与=1（。〉6〉0）的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列，则椭圆离心率e为（）

ab

A芳T

2

QA/5+1

D通

22

3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌

9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也

增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

4.用数学归纳法证明“++*+…+的过程中，从〃=左（左€乂）到〃=左+1时，不等式的左边增加了

()

1112

A.------B.-------1----------------

34+13左+13左+23左+3

1111

C.------D.-------1--------1-------

3k+33左+13左+23攵+3

5.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软

件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2。，接下来的两项是2。，21,再接下来的三项

是2。，A,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数累.那么该款软件的激

活码是

A.440B.330

C.220D.110

6.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在丁轴上

的点有（）

A.36个B.30个

C.25个D.20个

7.已知。=（0,1,1）,^=（0,1,0）.则q在上的投影向量为（）

A.lB.也

2

C.（0,1,0）

8.两条平行直线3x+4y—12=0与公+8y+ll=0之间的距离为（）

2323

A.—B.—

510

7

C.7D.-

2

32

9.甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为'、一，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩

43

都为优秀的概率为（）

,11

A.—B.-

126

11

C.一D.—

42

10.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1,2,…，75,采用

系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的

编号是()

A.40B.41

C.42D.39

11.若｛a，b,c｝构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是()

k.b+c,b，b-cB.a+b，a-b，0

C.a,a+bfa-b^-d+ba+b+c>c

12.已知平面上两点A(l,2,3),5(-1,1,1),则下列向量是直线A3的方向向量是。

A.(-1,1,1)B.(1,2,3)

C.(1,2,1)D.(2,l,2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/5)=/-及2+3》在区间工4］上单调递减，则实数，的取值范围是；

14.有公共焦点工，工的椭圆和双曲线的离心率分别为6,02,点A为两曲线的一个公共点，且满足/耳人入=60。，

13

则F+二的值为

e\

12*

15.已知S”为数列｛%｝前"项和，若％=-，且可+1=:;——SeN),则S2oi=—

32-4

,、1

16.数列｛«„｝满足q=l,a“+i=--------,则/022=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且q+%=10,g+。4=20.

(1)求｛4｝的通项公式；

s.s2sn

(2).

,x\a+1,”为奇数

2=a2"T+a2〃+l—a2〃T

18.(12分)已知数列｛4｝满足q=1,an+｝=\柏伸将>>〃eN*.从①2，②么=这

九为偶数

两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题.

⑴写出4、%，并求数列出｝的通项公式;

（2）求数列｛&｝的前"项和S,.

19.（12分）如图，在多面体ABCEF中，和ACE均为等边三角形，。是AC的中点，EF//BD.

（1）证明：AC±BF；

（2）若BE=®EF=^BD=2遍,求多面体ABCEF的体积.

20.（12分）已知数列满足4+2=4+〃56氏〃71）,neN*，q=1,%=1且4，/+%，/+的成等比数歹U

（1）求d的值和｛%｝的通项公式;

为奇数）

(2)设，=<，求数列出｝的前2〃项和耳

2"”,（4+1『（〃为偶数）

4

21.（12分）如图，四边形ABC。是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流其经过的路线是以A3

中点”为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场PQCN.

（1）设PQ=x,矩形游乐园PQCN的面积为S,求S与％之间的函数关系；

（2）试求游乐园面积的最大值.

22.（10分）已知抛物线。：丁2=22%（°>0）上一点4（%,为）到抛物线焦点的距离为％+；,点A,3关于坐标原点

对称，过点A作了轴的垂线，。为垂足，直线与抛物线。交于M,N两点.

（1）求抛物线。的方程;

（2）设直线AM,AN与y轴交点分别为P,Q,

(3)^\MNf=4s/2\AM\-\AN\,求为.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】由题意知，圆C是儿4耳心的旁切圆，点肠«,0）是圆C与x轴的切点，设圆C与直线的延长线、AF2

分别相切于点P、Q,由切线的性质可知：AP=AQ,F2Q=F2M,FlP=FlM,结合椭圆的定义，即可得出结果.

【题目详解】由题意知，圆C是AA耳心的旁切圆，点是圆C与x轴的切点，

设圆C与直线£A的延长线、人工分别相切于点P、Q,

则由切线的性质可知：AP=AQ,F2Q=F2M,F1P=FlM,

所以M=（A4+A耳）—（AK+AQ）=2a—AP=2a—^P=2a—,

所以MF]+MF2=2a,

所以，=a=2.

故选A

【题目点拨】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.

2、A

【解题分析】由题意，(28)2=(2q)x(2c),结合。2=4一。2,求解即可

22

【题目详解】•.•椭圆=+==1(。〉6〉0)的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列

ab

A(2Z?)2=(2«)x(2c)

b1=ac

又。2

•・•a2-c2=ac

，1—/=e,即/+e—1=0

/.e=T一返又在椭圆e>o

2

・—1

..e=-----

2

故选：A

3、C

【解题分析】第〃环天石心块数为凡，第一层共有〃环，则｛%｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

设3为｛凡｝的前〃项和，由题意可得邑〃二邑〃-S.+729,解方程即可得到小进一步得到S3，.

【题目详解】设第〃环天石心块数为%,第一层共有〃环，

则｛%｝是以9为首项，9为公差的等差数列，％=9+5—l)x9=9〃，

设'为｛%｝的前〃项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为5〃，S2n-Sn,S3n~S2n，因为下层比中层多729块，

所以邑〃-S「以「S”+729,

3n(9+27/z)2zz(9+18zz)2〃(9+18〃)n(9+9n)

即------------------------=------------------------F729

2222

即9/=729,解得〃=9,

所以SLs27=27（9+；E=3402.

故选：C

【点晴】本题主要考查等差数列前"项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

4、B

【解题分析】依题意，由〃=左（左eN+）递推到〃=左+1（左wN+）时，不等式左边为

11111

口7+…+工+目+不？+/式八，与〃=后时不等式的左边作差比较即可得到答案

化+23k3左+13左+23（左+1）

【题目详解】用数学归纳法证明等式…+’之*的过程中，

n+1n+23n6

假设〃=左（左€乂）时不等式成立，左边《+出+…+5，

11111

则当”=左+1时，左边。T…+互+西+三+加,

/、1111112

从〃=左化'乂）至！］〃=%+1时,不等式的左边增加了,+南+国后一记1南一目

故选：B

5、A

【解题分析】由题意得，数列如下：

1,

1,2,

1,2,4,

1,2,4,,2入

"（*+1）项和为

则该数列的前1+2++k

2

左(4+1)

S=1+(1+2)++(1+2++2i)=2*M—左一2,

2

要使依；1）>100,有左之14,此时k+2<22，所以Z+2是第k+1组等比数列1,2,.,2/的部分和，设

左+2=1+2++2'T=2'一1,

所以k=2'—3214,则/25,此时左=25—3=29,

29x30

所以对应满足条件的最小整数N=――+5=440,故选A.

2

点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特

征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通

项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

II卷

6、C

【解题分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.

【题目详解】因为点不在V轴上，

所以点的横坐标不能为0,

分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有C；=5个点，

第二类坐标不含0的点，共有8=20个点,

根据分类加法计数原理可得共有20+5=25个点.

故选：C

7、C

【解题分析】根据题意得cos(风可=当，进而根据投影向量的概念求解即可.

【题目详解】解：因为a=(O,l,l),6=(0,L0),所以卜卜亚,忖=1,

72

所以3«//),\=雨a-b=可，

b0

所以a在上的投影向量为麻。5,力〉恸=拒义］-(0,1,0)=(0,1,0)

故选:C

8、D

34

【解题分析】由已知有一=77M=6,所以直线3x+4y—12=。可化为6x+8y—24=。，利用两平行直线距离公式

a8

有J24一n|_7

选D.

2

点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题.在用两平行直线距离公式时，两直线中工y的系数要相

同，不然不能用此公式计算

9、D

【解题分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.

32

【题目详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为2、两人的检测成绩互不影响，则两人的

43

321

检测成绩都为优秀的概率为P=-x-=-.

432

故选：D

10、B

【解题分析】根据系统抽样等距性即可确定结果.

【题目详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差

数列，Q26-11=15,56-26=30,71-56=15.•.样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号,

故选：B

【题目点拨】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.

11>B

【解题分析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析

【题目详解】对于A：仅+c)+(b—c)—2b=0,因此A不满足题意；

对于B：根据题意知道“，b，c不共面，而a+b和〃-匕显然位于向量〃和向量人所成平面内，与向量。不共面，

因此B正确；

对于c2a=(a+b)+(a-b),故C不满足题意；

对于D：显然有c=(4+)+c)—(a+b)，选项D不满足题意.

故选:B

12、D

【解题分析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.

【题目详解】解:因为两点AQ2,3),5(—1,1,1),则荏=(一2,-1,—2),

又因为AB=(-2,-1,-2)与向量(2,1,2)平行，所以直线AB的方向向量是(2,1,2),

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

51、

13>［—,+oo)

8

【解题分析】函数/(%)=/—a2+30/'(X)=3X2-2£X+3

又函数/(力=三-於+3x在区间［1,4］上单调递减

3/—2次+3W0在区间［L4］上恒成立

3-2z+3<0

即4解得：f»g,

48-8?+3<0o

当时，经检验适合题意

8

故答案为—+°0

O9

【题目点拨】/（力为增函数的充要条件是对任意的xe（a,6）都有/（x）20且在Q,公内的任一非空子区间上产出#0.

应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解

14、4

【解题分析】可设A为第一象限的点，卜制=加，图=〃，求出加=。+。'，n=a-a',化简

m2+n2-2mncos600=（2c）2即得解.

【题目详解】解：可设A为第一象限的点，|44|=加，|人闾="，

由椭圆定义可得根+〃=2Q,

由双曲线的定义可得加—〃=2〃，

可得根=〃+〃'，n=a—d.

2

由^F1AF2=60°,可得加2+_2mncos60°=(2c),

即为(〃+"'J+-"了2(a+储)(〃-x——

化为a?+-4c2，

13,

则

故答案为：4

15、2

【解题分析】第一步找出数列周期，第二步利用周期性求和.

2,“*、12625

【题目详解】•=百心）吗=§,%===二，%===5

可知数列｛%｝是周期为4的周期数列,所以S201=50(囚+a2+a3+a4)+a1=50x(1+|+|-4)+|=2

故答案为2

16、-2

【解题分析】根据题中所给的递推式得到数列具有周期性，进而得到结果.

1111

a

【题目详解】根据题中递推式知，2=~~----=--^3----=-2,6Z4----=1.

1+421+〃21+^3

1111

a、=------=—,a«—-------=—2,%=-------=1.

1+%21+%1+。5

可知数列具有周期性，周期为3,

因为2022+3=674.

故a1all=%=—2.

故答案为：—2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)%=2"

⑵2〃-2+击

【解题分析】（1）设｛4｝的公比为q,根据题意求得4,q的值，即可求得｛4｝的通项公式;

।「1

（2）由（1）求得S“=2"+i-2,得至！］j=2-布，利用等比数列的求和公式，即可求解.

an/

【小问1详解】

解：设｛4｝的公比为心

♦C+火c

因为q+%=10,%+%=20,贝！19==2,

又因为4+。3=。1+4%=10,解得q=2,

1

所以｛an｝的通项公式为%=2x2-=2".

【小问2详解】

r\ryn+\

解：由q,=2',可得S〃=:一=2"1—2,

"1-2

所以县+邑+…+&=2〃_JI=2~2+白.

CLyd~20~八

18、（1）条件选择见解析，4=3,b2=6,b„=3-2'T

n+2Q

3.2h-6-也，〃为偶数

2

⑵=<

c3"+13

9-22----------，〃为奇数

2

【解题分析】（1）选①，推导出数列｛2｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得勿，并可求得。1、b2.

选②，推导出数列｛4“T+2｝是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得为”1，可求得耳，由此可得出4、%；

（2）求得々“t=3-2"T—2,+%==3•2"-3,分〃为偶数、奇数两种情况讨论，结合并项求和法以及等比数

列求和公式可求得S,.

【小问1详解】

解：若选①，〃+1=火"+1+2=2%“+2=+1）+2=+2）=2Z?”，

且4=囚+2=3,故数列｛2｝是首项为3,公比为2的等比数列，bn=3

故&=6；

若选②，%+1=勿2"=2（%-1+1）=2%.1+2,所以，%+1+2=2（4“-1+2）,

且4+2=3,故数列｛4-1+2｝是以3为首项，以2为公比的等比数列，

所以，%I+2=3-2"T,故4a=3-2"T-2,

所以，2=%+1一%1=（3・2"—2）-（32-2）=3-2"\故仇=3,b2=6.

【小问2详解】

解：由⑴可知名〃.1=321—2,则/"=4”-1+1=3-2"-1厂1,

所以，a2n-l+a2n=3•2"—3.

当〃为偶数时，5八=（4+%）+（%+〃4）++（%一1+。八）

（八61-25小

=3-2'+3-22++3-22-3--=^------^-3--=3-22-6-—,

21-222

“T+23(〃一1)H

当〃为奇数时，=(4+2)+(〃3+〃4)++(6/2+*)+/=3-22—_^，6+3-22_2

n-\3〃+13

=9-2^

2­

n+2Q

3,2〒-6-为偶数

2

综上所述，Sn=\

c3"+13小/来价

9-22-------，〃为奇数

2

19、(1)见详解(1).

(2)16

【解题分析】(1)证线面垂直从而证线线垂直.

(2)把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.

【小问1详解】

因为EF//BD,所以£、F、B、。共面，连接ED、BD,

因为ABC和.ACE均为等边三角形，。是AC的中点，

所以EDJ.AC,BDLAC,EDBD=D,

所以AC，面平5D石尸，BFu平面BDEF,AC±BF

【小问2详解】

因为BE=®EF==2瓜,EF=BD=25EF//BD

四边形5DEF是平行四边形，

ABC和ACE均为等边三角形，。是AC的中点，ED=DB

所以ED2+DB2=BE2，NEDB=90°,

平行四边形瓦比E是正方形形，DC=-AC=2,

2

VABCDE=2VjDEFB=2X3S0环§X。。=5x(26)x2=16.

为奇数-Z_二+（4」）X22”+2

（

20>(1)d=l；an=<"1,"为偶数’2.-9339）

【解题分析】（1）由于%,+2=。“+d（deR,dW1）,所以可得生=囚+%。8=g+3%。9=囚+4〃，再由

%出+名用+为成等比数列，列方程可求出"，从而可求出｛隔｝的通项公式;

；3：；*■），然后利用错位相…

（2）由（1）可得"

【题目详解】解：⑴数列｛斯｝满足4+2=4+d（deR,dwl）,

所以生=4+",。8=%+d=%+3d,〃9=%+d="i+4d，

所以。2+。3=。1+〃2+―,

由于。1=1,。2=1,

所以。2+。3=2+〃，48+49=2+7d,

且。2+。3,〃8+。9成等比数列,

所以•（为+〃8）=（%+〃3）2，

整理得d=l或2（1舍去）

故。〃+2=4〃+2,

所以〃奇数时，an=n,

〃为偶数时，an=n-1

凡〃为奇数

所以数列｛如｝的通项公式为4=<

〃-1,几为偶数

-兰等（〃为奇数）

一2"T苏伽为奇数）

（2）由于々=\一、2所以。"=

2"-2.〃2（〃为偶数）

2小,（""+1）（〃为偶数）

所以72"=①+岳+...+Z»2«=-2°X12+2°X22-22X32+22X42+...+[-22«-2«(2n-1)2]+22n-2*(2n)2,

=2°义(22-I2)+22X(42-32)+...+22n-2«[(2")2-(2n-1)2]

=2°X3+22X7+...+22〃2(4〃-i)①,

所以4。“=22x3+24x7+...+22"-(4”一1),②,

①-②得:-372«=20X3+22X4+...+22,r2X4-22nX(4n-1),

=3+4x2y)一22“X(4W-1),

4-1

71

--+^n+(--n)x22n+2,

33

所以苒+q_'x22”+2

21、(1)S=-X3+4X2(2<X<4)

【解题分析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线Affi>的方程，利用PQ=x,求出点P的坐标，表示出PQCN的

面积为S即可；

（2）利用导数求函数的最值即可.

【小问1详解】

以河为原点，A3所在直线为V轴，垂直于A3的直线为无轴建立直角坐标系，则。（4,2）,

设抛物线MD的方程为/=2^x（0<y<2）,将点D（4,2）代入方程可得4=80,

解得夕=1，则抛物线方程为y=x（0VyV2）,

由已知得PQ=x,则点P的纵坐标为