天津市九校2024届高三年级下册联合模拟考试（一）数学试卷（含答案解析）

天津市九校2024届高三下学期联合模拟考试（一）数学试卷

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知全集。={-1,0,1,2,3}，集合/={0,1,2},5={-1,0,1},贝I](为=

B.{°』}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

2.设〃：x>0,q：2、〉2，则。是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

3.

4.已知2"=5,log83=6,则)

255

A.25B.5C.D.

~93

5.设"logo」0.2,则a,b,c的大小关系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关,通过随机询问120

名高中生是否喜好阅读，利用2x2列联表，由计算可得/=4.236.

试卷第1页，共4页

p（r>*）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

参照附表，可得正确的结论是()

A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

B.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

D.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

7.如图，在正四棱柱/BCD-/4GA中，P是侧棱cq上一点，且£尸=2尸C.设三棱锥

尸-*8的体积为匕，正四棱柱/BCD-4片CQ的体积为匕则也的值为()

8.已知双曲线方=1(°>0,6>0)的左顶点与抛物线/=2°x(p>0)的焦点的距离为4,

过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(-2,2),则双曲线的焦

星巨为()

A.百B.273C.V5D.2石

9.将函数/(x)=2sin(2x-：］的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到

函数g(尤)的图像，有下述四个结论：

①g(x)=2sin

②函数g(x)在［ogj上单调递增

③点,0)是函数g(x)图像的一个对称中心

试卷第2页，共4页

④当xe时，函数g(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

二、填空题

10.设2=上」+2，，则|z|=______.

1+z

11.已知卜+於:的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为.

12.圆/+/一4x+4、-12=0与圆/+/=4的公共弦所在的直线方程为.

13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件

产品中恰好有一件次品的概率为;取出的3件产品中次品的件数x的期望是.

14.在梯形48CD中，ABHCD,豆AB=2CD,M,N分别为线段。C和的中点，若万=1,

后=石,用限分表示赤=,若而工反,则NTU2余弦值的最小值

为.

,、lx2+x|,x<0..

15.函数/(x)=।/I、，关于x的方程/(力="有2个不相等的实数根，则实数。

ln(x+l),x>0

的取值范围是.

三、解答题

16.已知"BC的内角48,C的对边分别为a,6,c,且b=3,c=1,4=2瓦

(1)求。的值；

⑵求cos'/+胃的值.

17.如图，边长为2的等边△尸CD所在的平面垂直于矩形N2C。所在的平面，BC=2也，

〃为8C的中点.

试卷第3页，共4页

p

AB

(1)证明：AMLPM；

⑵求平面弘M与平面45C。的夹角的大小;

⑶求点D到平面AMP的距离.

(Q6fT)J

18.已知｛叫为等差数列，"，=74偶以，记S”，北分别为数列仇｝，也,｝的前〃项

和，S4=32,T3=16.

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)证明:当〃>5时,Tn>Sn.

22

19.已知椭圆C：W+《=1(a>方>0)的长轴长为4,离心率为;.

a2b22

(I)求椭圆C的方程；

(II)设椭圆C的左焦点为尸，右顶点为G,过点G的直线与了轴正半轴交于点S,与椭圆

交于点H,且〃F_Lx轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若邑SMG=6S«sffiv，求

直线的方程.

20.已知函数/(x)=xe"*-e*.

⑴当a=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当尤>0时，f(x)<-l,求。的取值范围；

,111,,,、

(3)设“eN",证明：/,+/,+…+/,>皿"+D.

VI2+1V22+2sjn2+n

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】cj={-i,3},则(”)n八{f

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.B

【分析】利用指数函数单调性化简命题4,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因函数y=2x在R上单调递增，即有2工＞2。》＞1,则命题0：x＞l,

而命题尤＞0,显然，q=p,且。&q,

所以。是夕的必要不充分条件.

故选：B

3.D

【分析】先判断函数”X)是奇函数，排除A,C,再排除选项B,即得解.

【详解】解：因为〃x)=yV+-,所以=+3*-二3-4*+83*=-〃x).

X(-X)X

所以函数〃x)是奇函数，排除选项A,c.

曰小,c、32+3-24134+3^81+3^1毋及江,否c

因为/(2)=——--=一，/(4)=——--=---------=6--5--6-2--＞4—=/(2),所以排除选项B.

233643646436

故选:D

4.C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14。(2"Y^225

【详解】因为2a=5,6=log83=-log23,即2»=3,所以4y=/=—=转==.

54(2ibI3y

故选：C.

5.C

【分析】根据幕函数和指数函数的单调性比较判断.

【详解】：6=e°3>2°3=c>l,0<a=logM0.2<logM0.1«1,：.b>c>a.

故选：C.

6.A

答案第1页，共13页

【分析】根据观测值对照卡方表判定即可.

【详解】由题意及表格知，观测值三=4.236>3.841,所以有95%的把握认为“写作水平与喜

好阅读有关”.

故选：A

7.C

【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答.

【详解】在正四棱柱9co-/4GA中，p是侧棱CG上一点，

则匕=VP-DlDB=VB-DlDP=|S.DQP-BC=^-DDcCDBC=^V,

所以也的值为J.

/6

故选：c

8.D

【分析】首先根据过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，求

得。=2,接着根据平行线斜率相等求出6=1,最后求出焦距即可.

【详解】因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标（-2,2）,

所以抛物线的准线方程为尤=-2,从而抛物线丁=2/（p>0）的焦点坐标为（2,0）,

22

因为双曲线5十=1（°>0,6>0）的左顶点为（-。,0）,所以2+。=4,解得a=2,

22

所以双曲线※-/=1（〃>0,6>0）的左顶点为（2,0）,

又因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标（-2,2）,

所以2=2=,，即6=1,

a42

所以c=y/a2+b2=垂>,

双曲线的焦距为2c=2石，

故选：D

22L

【点睛】双曲线、-齐=1（。>01>0）的渐近线方程为y=±1x,而双曲线

22卜

£=1（。>0,6>0）的渐近线方程为〉=士£》（即》=±?>）,应注意其区别与联系.

9.B

答案第2页，共13页

【分析】根据图象变换可得g(x)=2sin[x-gj,结合正弦函数的性质逐项分析判断.

【详解】由题意可得：g(x)=2sin^-^,故①错误；

因为则,且了=sinx在上单调递增，

所以函数g(x)在(o,j上单调递增，故②正确；

、1(4兀、_.f4TITI\_.„

因为g[丁J=2sm[----l=2smn=0,

所以点(7,0)是函数g(x)图像的一个对称中心，故③正确；

Li、r「兀1nl兀「4兀兀

因为-71,-,贝!|%―彳£--，

_2」3|_3o_

所以当x-：=T，即》=-兀时，函数g(x)的最大值为g(-兀)=2sin(-f|=G,故④错

误；

故选：B.

10.1.

【详解】分析：首先求得复数z,然后求解其模即可.

详解：由复数的运算法则有：

(l-z)(l-z)-2/

z="+2/=工——含一'-+2=―F21=

1+z(1+0G-02

则：|z|=|z|=l.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

11.80

【分析】根据题意，由各项系数之和可得〃，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.

【详解】由题意，令x=l,则3"=243,解得〃=5,

3

的展开式第『+1项&i=C；(xp2rC1X154厂

415-5r=0,解得r=3,所以C；2=10x8=80.

故答案为：80

12.x—y+2=0

答案第3页，共13页

【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.

fx2+y2—4x+4y—12=0

【详解】联立2I，，两式相减得无一了+2=0.

[x-+/=4

故答案为：尤-了+2=0

73

13.——

155

【分析】(1)先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典

概型的概率计算公式即可求得；

(2)先求得x的分布列，再求其期望即可.

【详解】(1)从10件产品中，抽取3件，有喘=120种可能；

若取出的3件中恰有1件是次品，有C[C；=56种可能；

故满足题意的概率P=2=A；

(2)根据题意，x=0,1,2,

7仆C：567〜八Cl-Cl567〜、、C'.C381

尸(x=0)=J=一=—；尸(x=l)=^~~-=——=—；尸(x=2)=-§~-=——=—,

''12012015'712012015\'12012015

故/)=31=|.

73

故答案为：—;—■

【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.

,.1-r2V2

14.-a-b——

43

【分析】空(1)使用向量线性运算求解即可；

空(2)以往与彼为基底，用数量积的形式表示出加，瑟，再由基本不等式求解即可.

【详解】

如图，由已知，MN=AN—AM=-4B-(AD+DM)=—AB—ADDC

2,722

1—,—►11—•1―►―►1一

=-AB-AD——x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

答案第4页，共13页

・・MN-~a~b.

4

设/D4B=e,即万与B的夹角为。，

5C=&4+AD+DC=-AB+AD+-AB=--AB+AD=--a+b,

..............................222

若而jL反,则加.就^O，

［］一看）［1+〃=-92+%;-庐=-?司2+割归卜058-Fl=0,

又•.•同>0,W>0,.•.由基本不等式，

同'8|印_」司、2同8y2也

6同同6^|6a~,6问6g3

\a\8b

当且仅当飞即同=2回回时，等号成立.

6M6a

1一2V2

故答案为：-a-b,

【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底,

将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.

15.。4一1或

【分析】转化为函数y=/(x)与直线＞=依的图象有2个交点，画出函数“X)的图象，分

0=0、°＞0、°＜。讨论，结合图象可得答案.

【详解】/'3="有2个不相等的实数根,即函数了=/(力与直线尸数的图象有2个交点,

当。=0时，函数了=/(力与直线＞=0的图象有2个交点，符合题意；

当。＞0时，由x=0是函数了=/(x)与直线＞=磔的图象的1个交点，

只需函数/(x)=ln(x+D(x＞0)与直线＞=如有i个交点即可，

当直线片中与函数J(x)=ln(x+D(x＞0)相切时,

设切点为(尤o,%),可得/'(%)==7=。，且%=ln(x0+l),y0=ax0,

可得。一l=ln”,

因为y=x-l与y=lnx的图象只有1个交点(1,0),

答案第5页，共13页

yt

y=x-y/

=InX

可得。=1是a-l=ln。的解，

所以0＜。41时直线V="与＞=/(x)的图象有2个交点，符合题意;

当4＜0时，由Il(xVO),可得了2(%2+2x+l—〃2)=0,

y=ax

要使〉=/(力与＞="的图象有2个交点，

只需/+2工+1-。2=0在》＜0只有一解即可，

可得0+0+1-/W0,解得aV-1.

综上所述，实数a的取值范围是aV-1或0V。VI.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为函数了=/(力与直线＞=磔的图象交点个数问

题，考查了学生的抽象思维能力.

16.(1)2A/3;

4血-76

18

【分析】(1)由/=25得siib4=sin2b再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；

(2)利用余弦定理可求cosZ,从而可求sirU及cos24、sin24,结合两角和差的余弦公式进行

求解即可.

【详解】(1)由4=25,知sin/=sin2＞=2sin8cos8,

答案第6页，共13页

22_i2

由正、余弦定理得a=26"°一”

2ac

,:b=3,c=l,a2=12贝!Ja=2百；

(、、i+tA口六^工用4日Ab2+c2-a29+1—121

(2)由余弦定理得cos/=----------=--------=--

2bc63

\*0<A<n,sin^=Vl-cos2A=「1=逑

93

故sin2A=2sin4cosA=_生旦，cos24=2cos2A-\=~

99

兀兀兀4也-7出

cos(27l+—)=cos224cos——sin24sin—=

66618

17.（1）证明见解析

(2)45°

⑶平

【分析】（1）以。为原点，0/为X轴，DC为夕轴，过。作平面48co的垂线为z轴，建

立空间直角坐标系，利用向量法能证明/MLP"；

（2）求出平面/BCD的法向量和平面*W的法向量，利用向量法能求出平面尸与平面

48co夹角的大小；

（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出点。到平面的距离.

【详解】（1）证明：等边APCD所在的平面垂直于矩形/BCD所在的平面，

以。点为原点，分别以直线D4,。。为x轴、了轴，过。作平面48CD的垂线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）

依题意，可得。（0,0,0）,尸（0,1,6）,C（0,2,0）,/（2也,0,0）,“（四,2,0）

PA?=（V2,1,-73）,AM=（-72,2,0）,

:.PM-AM=（⑨,-百）.（-72,2,0）=0,

即PM1U7，AM1PM；

答案第7页，共13页

y

（2）解：设力=（X，%Z）为平面口〃的法向量,

n-PM=O也x+y-jz-0

则一

n-AM=O—x/2x+2y=0

取y=l,得五=(£1,■')，

取力=（0。1）,显然万为平面的一个法向量,

,‘一一、n-p百41

.•吟"尸丽=TT3'

故平面以M与平面ABCD的夹角的大小为45。；

（3）解：设点。到平面的距离为心

由⑵可知n=（61,6）与平面B4M垂直，

(2V2,0,0).(V2,LV3)|2屈

贝ijd=

1«1

即点D到平面NVP的距离为亚1.

3

18.(1)。〃=2〃+3；

（2）证明见解析.

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,用q,d表示S“及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出S.，b„,再分奇偶结合分组求和法求出北，并与S”作

差比较作答；方法2,利用（1）的结论求出S,,bn,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式

求出（，并与S“作差比较作答.

答案第8页，共13页

©—6,〃=2左一1*

【详解】（1）设等差数列｛。“｝的公差为d,而，=〃，左EN*,

2an,n-2k

则bx=ax-6,b2=2a2=24+2d,b3=a3-6=ax+2d-6,

S=4a,+6d=32

于是44=4%+4d-12=16'解得4=%=2,+3,

所以数列｛«„｝的通项公式是=2〃+3.

2n—3,n=2k—1.

(2)方法1：由(1)知，S»=〃(5+；〃+3)=r+4”,b“=AeN*,

4n+6,n=2k

当n为偶数时，%+6“=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6^+1)n

7"2I▲J,

22

371

22

当〃>5时，Tn-Sn=(―A?+—H)—(n+477)=—n(n—1)>0,因此(>S”,

3735

22

当〃为奇数时，T；=^+1-^+i=-(«+l)+-(«+l)-[4(n+l)+6]=-/7+-77-5,

3s1

22

当〃>5时，Tn—Sn=(—n+—^―5)—(77+Ari)=—(w+2)(H—5)>0,因此北>S“,

所以当〃>5时，Tn>Sn.

2n—3,n=2k—1

方法2：由（1）知，S.=〃（5+｝+3）=/+而,bn=火£N*,

4〃+6,〃=2左

当〃为偶数时,

-l+2(n-l)-3n14+477+6n

T=(b+b+---+b_)+(b+b+---+b)=

nl3nl24n2,22222

371

22

当〃〉5时，Tn—Sn={—n+—n)—(n+4/z)=—n(n—1)>0,因此<>5”,

当〃为奇数时，若〃上3,则

T/7L7XZ77—1+2n—3〃+l14+4(7?-1)+6n-\

1=(61+a+--+%)+32+“+・一+〃_1)=-----------------------------—+

22

Qsa5「

=5,显然7；=4=-1满足上式，因此当〃为奇数时，+-n-j,

2

351

22

当〃>5时，Tn—Sn={—n+—n—5)—(w+4AI)=—(w+2)(w—5)>0,因此

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

答案第9页，共13页

19.(I)—+—=1;(II)y=^-x+1,y=-^-x+1.

4322

【分析】(I)由椭圆的长轴长为4,离心率为列方程组，解得。，b,c,进而可得答

案.

(II)由(I)知=-1,代入椭圆的方程可得为/,进而可得H点坐标，的长，又由

于箓=要，解得OS,进而可得S点坐标，推出罢=2，分两种情况，当直线的斜

HFGFSG2

率存在时，当直线的斜率不存在时，讨论直线九W的方程，利用已知条件和三角形的面

积公式，结合平面向量的坐标分别求解即可得出答案.

2a=4

c1

【详解】(I)根据题意可得—=彳，

a2

a1=b2+c2

解得a=2,c=l,b=VJ，

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1.

43

(II)由(I)知尸(-1,0),G(2,0),

因为尤轴，所以“=-1,

因为S在了轴的正半轴，所以“在x轴上方,

因为点H在椭圆上，所以工+凶_=1，解得力=：,

432

所以BPHF=|,

OS2

因为二即33,解得OS=1,

HFGF—

所以S(0,1),所以粤=：,

S(J2

当直线MN的斜率存在时，设直线血W的方程为＞=丘+1,

设”(再,必)，N(x2,y2),

y=kx+\

联立；%2y2,(3+4左之+8丘-8=0,

[43

所以苞+%=一号T①'苫也=三记②,

答案第10页，共13页

因为S^SMG=6SASHN，

所以J•|SMHSG|•sinaMSG=6•；|依卜|耽卜sinZHSN,

所以|5A/|.|SG|=6|7/S|.|5W|,所以|S"|=3|SN|,

所以市=3而，

所以(-%,1-%)=3(々,%一1),

即项=-3工2③，

由①②③，解得左=±如，

2

所以直线跖V的方程为无+1,y=-^x+l,

当直线MN的斜率不存在时，直线九W的方程为x=0,

此时SM\蜀V=3司+1=2+反r不合题思.

综上可得，直线初V的方程为y/x+1,y=-^-X+\.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的

关键点是由器=胎解得⑹进而可得s点坐标，推出ej分直线班的斜率存

在和不存在两种情况，利用已知条件和三角形的面积公式，结合平面向量的坐标分别求解即

可，考查学生计算能力，属于中档题.

20.(1)/(力的减区