2024年上海市春考高考数学试卷及答案解析

2024上海春考数学试卷及答案解析

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第『6题每题4分，第7-12题每题5

分)

1.10g2%的定义域.

2.直线x-y+l=。的倾斜角.

3.已知二=I,则2=

1+1

4.(%-I)6展开式中x4的系数为.

5.三角形ABC中，BC=2,4=二8=巳,则ZB=____.

34

6.已知ab=1,4«2+9b2的最小值为.

7.数列{%},即=n+c,S7<0,c的取值范围为.

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

9.已知/(%)=={J，，；j'o,求g(%)<2-％的％的取值范围

10.已知四棱柱4BCD-4再停1。1底面ABCD为平行四边形，AA1=3,BD=4且

AB^-BC-AD^-DC=S,求异面直线44i与BD的夹角.

1

11.正方形草地ZBCD边长1.2,E到48,4。距离为0.2,尸到8。CD距离为0.4,有个

圆形通道经过E,F,且经过4。上一点,求圆形通道的周长.（精确到0.01）

12.a1—2,0,2~4,。3=8,=16,任息、b],b?,b^,bqCR,，两足｛田+a,11<iV

；<4}={bf+b7|l<i<;<4],求有序数列{瓦电电电}有对・

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题

5分）

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空间中有两个不同的平面a,0和两条不同的直线孙出则下列说法中正确的是

（）

A.若a团/?,mU\a,ri团0,则m团?1B.若a团0,m^\a,m^\n,则九团/?

C.若仇〃0,m//a,n“则m〃?iD.若口〃0,m//a,m//n,则九〃0

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A.事件4与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

2

C.事件4与事件BUC互斥D.事件Z与事件BnC相互独立

16.现定义如下：当%e(wn+1)时(九eN),若/(%+1)=/'(%),则称/(%)为延

展函数.

现有，当％e(0，1)时,g(%)=靖与灰幻=炉。均为延展函数,则以下结论()

(1)存在y=kx+b(k>beR；k>b0)与y=g(%)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k，beR，k，b于0)与y=/(%)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(cox+co>0

(1)设co=1,求解:y=/(%),%e[8出的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期为兀,若在％e[ma]上恰有3个零点,求a的取

值范围.

18.如图,PZ、PB、PC为圆锥三条母线,ZB=ZC.

⑴证明：PZ团BC；

(2)若圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。

3

⑴随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水

果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点4为椭圆厂:^+囚

6

5=1上一点,&、F2分别为椭圆的左、右焦点。

⑴若点4的横坐标为2,求的长；------

(2)设厂的上、下顶点分别为M]、M2,记2M0F2的面积为

SL41MlM2的面积为S2,若Si>S2,求的取值范围'

(3)若点4在％轴上方,设直线NF2与广交于点与y轴交于点K,K0延长线与「交于

点C,是否存在％轴上方的点C,使得月1+F\B+F\C=2(0+用+FjC)(Ae

R)成立?若存在，请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

21.iBM(a)={t\t=/(%)—f(a)，x>a},L(a)=[t\t=/(%)—f(a)，x<a]

(1)若/(%)=%2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求证:对于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,

使得-4€M(a).

(3)已知定义在R上/(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=L(c)”.

答案详解

4

一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5

分）

1.10g2%的定义域.

【考点】函数定义域

【答案】（0,+8）

2.直线x-y+l=。的倾斜角.

【考点】直线的倾斜角

【答案】9

【解析】k=tana=1

3.已知二=i,则Z=

1+1

【考点】夏数

【答案】—1—i

4.（%—1）6展开式中X4的系数为.

【考点】二项式展开

【答案】15

【解析】《x（—1尸=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴,B=工,则ZB=____.

34

【考点】解三角形

【答案】吟^

【解析】在三角形中A+B+C=7T,C=||

由正弦定理壬=岑:,解得AB=双学

sinAsinC3

6.已知ab=1,4a2+9户的最小值为.

5

【考点】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4«2+9b2>2-2a-3b=12当且仅当2a=3b,

即。=',b=.或a=S,b——当时取最小值12.

7.数歹(]{%},an=n+c,S7<0,c的取值范围为.

【考点】等差数列

【答案】(—8,—4)

【解析】由即=n+c,知数列为等差数歹(J.S7=型等=等=7a4V

=4

0,a4+c<0,c<-4.故c的取值范围为(一-4).

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

【考点】双曲线的定义、离心率

【答案】3

【解析】由双曲线的定义,2c=6,2a=2,e=£=3

a

9.已知/(%)=产0%)={J，,；0,求9(%)<2一％的％的取值范围

【考点】分段函数运算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根据题意知g(%)=/-°

XfX<U

所以当%>。时，g(%)<2-%=>%2+%-2<0,解得%£。1]

同理当％<。时,g(%)<2—x=>—x2+x—2<0,解得%E(―8,o)

6

综上所述：%e(-血i]

10.已知四棱柱ABCD底面ABCD为平行四边形，AA1=3,BD=4且

丽•近-丽丁反=5,求异面直线441与BD的夹角__q

【考点】立体几何线线角

【答案】arccos=

【解析】荏1=屈+理ADi=AD+AA1

(AB+矶).AD-(AD+祝).反=5

=AA1-BD=3X4xcos0

5

=>cose=—

11.正方形草地ZBCD边长1.2,E到48,4。距离为0.2,尸到8&CD距离为0.4,有个

圆形通道经过民工且经过4D上一点，求圆形通道的周长D,

.(精确到0.01)F.

【考点】解析几何、数学建模

【答案】2.73£

【解析】以4为原点建系易知E(0.2,0.2)，9(0.8,0.8),不妨/B

设EF中点为M(0.5,0.5)直线EF中垂线所在直线方程为y-0.5=-(%-0.5),化

简得y=—x+1

所以圆心为(a，—a+1),半径为a,且经过E,F点

7

即(a—0.2)2+(—0+1—0.2)2=心

化简得a?-2a+0.68=0C=2na«2.73

12.a1—2,a?=4,。3=8,=16,任局、b],^31CR,「两足｛四+a,11<iV

j<4]=｛bi+bj\l<i<j<4｝,求有序数列｛瓦电电也｝有对.

【考点】数列

【答案】48

【解析】以题易知｛%+aj|6,10,12,18,20,24),

满足｛的+a7|l<i<;<4]=｛^+bj\l<i<j<4],

不妨设瓦<b2<b3<可由单调性则必有比+洲=6,瓦+坛=10,b2+b4=

20,b3+b4=24

(1)b2+b3=12,b±+b4=18,解得b=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,b±+b4=12,解得瓦=-l,b2=7,b3=11,b4=13

所以2种.

综上共有2科=48对

二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

La+b2>a+c2B.a2+>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考点】不等式的性质

【答案】B

【解析】对于A若闻<©,则炉<c2,选项不成立，故A错误；

8

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误;故答案选B.

14.空间中有两个不同的平面a,0和两条不同的直线则下列说法中正确的是

()

A.若a团/?,刀1团a,团/?,则m团riB.若a团0,m^\a,m^\n,则"•团/?

C.若仇〃/?,m//a,n///3,则粗〃九D.若仁〃/?,m//a,m//n,则九〃/?

【考点】立体儿何

【答案】A

【解析】对于4,若a耶,m团a,则m〃0或mu/?,又九团0,所以m团九,故A正确；

对于B,若a耶,m团a,则zn〃S或mu/?,由m团小则与£斜交、垂直、平行均有可

能,故B错误；

对于C,若。〃0,加〃%则m〃/?或mu0,由九〃/?,则m与九相交、平行、异面均有

可能,故C错误；

对于D,若江〃6，??1〃江,则或muS，又m〃几则九〃/?或九u/?,故D错误.故

答案选A.

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件4与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

C.事件4与事件BUC互斥D.事件4与事件BnC相互独立

【考点】事件的关系

【答案】B

【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中既有中国结,又

9

有记事本,所以A与B互斥,故A错误;

对于B,PQ4)=、P(B)=-,P(ArtB)=符合P(ZnB)=P(4)•P(B),B正确；

224

对于C,事件4与事件BUC可以同时发生,所以。错误；

对于D,PQ4)=|,P(BnC)=I，而P(4n(BnC))=(wPQ4)•P(BnC),所以Z

与BnC不独立,故D错误。

故答案选B.

16.现定义如下：当％e(wn+1)时5eN),若f(%+1)=/(%),则称/(%)为延

展函数.

现有，当％e(0,1)时,g(x)=/与(%)=炉。均为延展函数,则以下结论(

)

(1)存在y=kx+b(k，beR；k>b0)与y=g(%)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k，b£R，k，b手0)与丫=(%)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考点】图像与导数

【答案】D

【解析】根据题目所给条件，画出g(%)与(%)图像即可，

因为kW0,所以⑴错；当々=10!时,存在b使得直线y=kx+b可以与(%)在区

间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点,所以(2)正确,故选D

10

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(co%+；)，co>0

(1)设co=1,求解:y=/(%),%e[0，兀]的值域；

(2)a>7r(aeR),/(%)的最小正周期为兀,若在％eRa]上恰有3个零点,求a的取

值范围.

【考点】三角函数周期与零点

【答案】(l)ye[—;

⑵。噜节)

【解析】(1)口=1,/(%)=sin(%+因为％G所以令t=%+C

一Tl)-47f

.33.

所以y=/⑴在京外上单调递增,在臣裔上单调递减

所以'max=/0=LYmin=f~因此丫G[—争]

(2)由题知T=詈=加,所以3=2,/(x)=sin(2x+

当/(%)—。时，2%+|=kn,kEZ,即%=—£+等，忆CZ.

当々=3时,％=如>%所以2+74aV2+37，即卫4。v因止匕,。e

333236

吁等1

18.如图,PZ、PB、PC为圆锥三条母线,ZB=4C.

⑴证明：PZ团BC；

(2)若圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

求二面角B-PA-C的大小.

【考点】圆锥体中的线面关系

11

【答案】（1）证明见解析（2）加一arccos，

【解析】（1）取BC中点。，连接Z。、P0,

因为4B=AC,PB=PC,所以4。团BC,P。团BC,

又因为p。u面pz。"u面pzo,p。na。=o,

所以BC团面P4。，因为P4u面P4。，所以P4团BC.

⑵如图建立空间直角坐标系

因为圆锥侧面积为为底面直径,BC=2,

所以底面半径为1,母线长为次,所以P。=7P屋—A。=

V2,

则可得P（o,0,企）,4（0,V0）,3（1，0,0）,C（-LO0）,

故而=（0，］，-仞，丽=（］，0，-闷屈=夜），

设4=为面P4B的法向量,则但'上=°=

向•PB=0

•乃?Zi0令%1=V2,则yi=V2,zt=1,所以4=

由-V2Zi=0

（鱼，鱼，1）.

设式=（%2少22）为面。4。的法向量，

则，^.而=00［为一V2Z2=0

I五-PC=0、-％2—V2Z2=0

1

令%2--V2,则丫2-V2,z2=1,所以拓=（-筋低1）.

cos<n^,n^>=

则1卷；揖=二*二=—

'|n1||n2|7^x755

-1

设二面角B-PA-C为6,所以二面角B-PA-C的大小为7T-arccosi

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。

12

⑴随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水

果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

【考点】概率、统计

【答案】(1)£;(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

45

(3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69

【解析】

(1)古典概型:设4事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，⑷=盘02•盘4=

3468,

IQ=C?36=9180,PQ4)=W

⑵一级果箱数:二级果箱数=3:1,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.

(3)设一级果平均质量为北二级果质量为夕，总体样本平均质量为玄

平均值：

11

元=而£左=303.45,y=森£乃=240.21

z=—(£/+£”)=—+489=28544

1683113))168

方差：

11

Sx=有£(阳一元)2=一⑸2=>£蛭=120⑸+(%)2)

11

Sy=忘£(%-步尸=—Sy?-(y)2=>5W=48⑸+(y)2)

,4o4o

13

2

Sz=京£(々一力2=焉立一(2)2=击(£*+EW)-(z)=1426.46

预估:平均质量=I。?元+34夕=287.69

136

22

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点A为椭圆厂3+-=1上一点,&、e2分别为

62

椭圆的左、右焦点。

(1)若点4的横坐标为2,求|40|的长；

(2)设「的上、下顶点分别为a、M2,记A4F1F2的面积为SL44MlM2的面积为S2,

若Si之S2,求|。川的取值范围

(3)若点4在％轴上方,设直线NF2与广交于点B,与y轴交于点K,K0延长线与「交于

点C,是否存在％轴上方的点C,使得司彳+聒+方=2(0+用+方)(4e

R)成立?若存在，请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】解析几何

【答案】⑴"⑵(应,嗒］⑶网―［号)

【解析】⑴设4(2，y),因为点4为椭圆八1+<=1上一点,则与+《=1,得

6262

又尸式―2,0),所以=J(2-(-2))2+(y-0)2=平

(2)设4(%，y),%yW0,则S[=1I&F211yl=2\y\,S2=^\MrM2\\x\=V2|%|

2

因为Si>S2,即21yl>V2|x|,即2y2>x,

又9+?=1,所以2y2>6-3y2,得号<y2<2

所以=J%2+y2=J(6-3y2)+y2=,6-2y2,所以|。川的范围是

14

同理方+序+F^C=(x2-6>y2+2yl)

因为瓦彳+F\B+F\C=A(F^A+F^B+或)(2eR),所以瓦彳+F\B+

*/用+用+跖

(22+6)(92+2阴)=(X2-6)(y2+2勿)

所以为+2%=。,或[m―无解)

22

设直线4尸2：%=my+2,与椭圆八三+—=1联立得,(m?+3)y2+4my—2=0

62

则]%为=的-2

7712+34日Vs4曰V5

=_4m得%=7，

(%+y2=-yim2+3

由％i=+2,得%i=£所以

21.记M(a)={tIt=/(%)—f{a)>x>a},L{a)={t\t=f(%)—f(a)>x<a]

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求证:对于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,

使得—4GM(a).

(3)已知定义在R上/(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=L(c)”.

【考点】导数

15

【答案】见解析

【解析】(1)由题意得：

M⑴={t\t=x2+1—2>x>1]=[0>+°°)；L(l)=

{tIt=/+1-2,%<1}=[―1，+8);

⑵证明:由题意知M(a)=[t\t=x3—3x2—a3+3a2>x>a],

记g(%)=x3—3x2—a3+3a2,有g'(%)=3%2—6%=0=%=。或2

X(一0°f0)0(0,2)2(2,+8)

g(%)正0负0正

g(%)7极大值极小值7

现对a分类讨论：

32

(1)当a22,有t=/一3/-a+3a,x>a为严格增函数，因为g(a)=0,

所以此时M(a)=[0,+8)c[—4，+R)符合条件；

(2)当0<a<2时,t=/—3/—+3a2,%>a先增后减，也=g(2)=

—ci3+3d2—4

因为一4-3a2=a2(3-a)>0(a=。取等号)，所以「徵讥=g(2)=-a3+3a2-

4>一4,

则此时M(Q)—[—此+3Q2—4,+8)c[―&+8)也符合条件；

⑶当Q<0时"=%3—3/一+3a2%>a,在阿o)严格增,在@2]严格减,在

⑵+8)严格增,Gin=min{g(a)，g(2)}=min{0»-a3+3a2-4),

因为(a)=—a3+3a2—4,当a<。时，(a)=-3a2+6a>0,贝!j(a)>

(0)=-4

则此时M(a)=[tmin>+°°)G[-4,+8)成立;

16

综上可知,对于任意aeR,都有M(a)c[-4,+且存在a=0,使得-4G

M(a).

⑶证明：

⑴必要性:若/(%)为偶函数，

则M(—c)={t\t=/(%)-/(-c)»x>-c],L(c)=[t\t=/(%)-/(c>x<c]

当%>-c,t=/(%)-/(-c)=/(-%)-/(c),因为一％<c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=£(c),

其中M(-c)={t\t=/(x)-