河南省南阳卧龙区五校联考2024届中考数学全真模拟试题含解析

河南省南阳卧龙区五校联考2024届中考数学全真模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.如图，把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D，、。的位置，若NEFB=65。,则NAED，为()„

2.如图，在6x4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，贝1]sin/ACB=()

A.-B.2C.D.

254

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE±BD,垂足为E,AE=3,ED=3BE,贝!JAB的值为()

4.如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C，处，折痕为EF,若NABE=20。，那么NEFU

A.115°B.120°C.125°D.130°

3

5.若分式不在实数范围内有意义'则实数、的取值范围是（）

A.x>—1B.x<—1C.x——1D.X#—1

6.已知抛物线y=/+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）

A.y—（x+2）2+3B.y—（x-2）2+3C.y—x1+lD.y—x^+S

7.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个

圆锥容器的底面半径为（）

A.10cmB.30cmC.45cmD.300cm

8.已知一个正”边形的每个内角为120。，则这个多边形的对角线有（）

A.5条B.6条C.8条D.9条

9.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）

A.67rB.4nC.87rD.4

10.已知一元二次方程2x?+2x-1=0的两个根为xi,X2,且xi〈X2,下列结论正确的是（）

,1

A.xi+x2=lB.xi*X2=-1C.|xi|<|x2|D.xr+xi=—

2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.二次根式J1与中，x的取值范围是.

12.若关于x的方程好-8》+机=0有两个相等的实数根，则机=.

港和B港相距_____km.

15.在AABC中，AB=AC,把AABC折叠，使点8与点4重合，折痕交A3于点交BC于点、N.如果△C4N是

等腰三角形，则N3的度数为.

16.不等式组I：1的解集是___；

2%-5<1

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（1）问题发现:

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC

与AB的位置关系为；

（2）深入探究：

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,连接CN,试探究NABC与NACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,点N为正

方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10,CN=J^,试求EF的长.

3

18.（8分）解方程---1=

x-1(x-l)(x+2)

19.（8分）矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.

（1）如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

①求证：AOCPsaPDA；

②若AOCP与APDA的面积比为1：4,求边AB的长.

（2）如图2,在（1）的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在

线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MELBP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，

线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.

20.（8分）在一个不透明的口袋里装有四个球，这四个球上分别标记数字-3、-1、0、2,除数字不同外，这四个球

没有任何区别.从中任取一球，求该球上标记的数字为正数的概率；从中任取两球，将两球上标记的数字分别记为X、

y,求点（x,y）位于第二象限的概率.

2

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中,A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线,交函数y=-（九<0）

x

的图象于B点，交函数y=g（x>0）的图象于C,过C作y轴和平行线交BO的延长线于D.

X

（1）如果点A的坐标为（0,2）,求线段AB与线段CA的长度之比；

（2）如果点A的坐标为（0,a）,求线段AB与线段CA的长度之比；

（3）在（1）条件下，四边形AODC的面积为多少？

22.（10分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借

阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本.

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总

量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%,求a的值至少

是多少？

23.（12分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球.

（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？

（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是1求y与x之间的函数关系式.

b2-ab

24.当。=若，b=2时，求代数式,的值.

a+2ab+b

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

首先根据AD〃BC,求出NFED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应

边和对应角相等，则可知NDEF=NFED，，最后求得NAED，的大小.

【详解】

解：VAD//BC,

.,.ZEFB=ZFED=65°,

由折叠的性质知，ZDEF=ZFED,=65°,

:.ZAED,=180°-2ZFED=50°,

故选：C.

【点睛】

此题考查了长方形的性质与折叠的性质.此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

2、C

【解析】

BD

如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=逐，根据sinNBCA=—可得答案.

【详解】

解：如图所示,

B

\

ADC

VBD=2,CD=1,

•*-BC=sjBD2+CD2=拉+F=A/5，

EBD22J5

贝！IsinZBCA==~j==———,

BCV55

故选C.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理.

3、C

【解析】

由在矩形ABCD中，AE_LBD于E,BE：ED=1：3,易证得△OAB是等边三角形，继而求得NBAE的度数，由△OAB

是等边三角形，求出NADE的度数，又由AE=3,即可求得AB的长.

【详解】

四边形ABCD是矩形，

AOB=OD,OA=OC,AC=BD,

.\OA=OB,

VBE：EDM：3,

ABE：OB=1：2,

VAE±BD,

AB=OA,

.\OA=AB=OB,

即4OAB是等边三角形，

...NABD=60°,

VAE±BD,AE=3,

故选C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的

判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键.

4、C

【解析】

分析：

由已知条件易得NAEB=70。，由此可得NDEB=110。,结合折叠的性质可得NDEF=55。,则由AD〃BC可得NEFC=125。,

再由折叠的性质即可得到ZEFCf=125°.

详解：

\•在△ABE中,ZA=90Q,ZABE=20°,

.\ZAEB=70°,

:.ZDEB=180o-70°=110°,

二,点D沿EF折叠后与点B重合，

:.ZDEF=ZBEF=-NDEB=55°,

2

;在矩形ABCD中，AD/7BC,

.,.ZDEF+ZEFC=180°,

:.ZEFC=180°-55°=125°,

二由折叠的性质可得NEFC=NEFC=125。.

故选c.

点睛：这是一道有关矩形折叠的问题，熟悉“矩形的四个内角都是直角”和“折叠的性质”是正确解答本题的关键.

5,D

【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：x+lwO,

二.x#—1>

故选：D.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

6、A

【解析】

结合向左平移的法则，即可得到答案.

【详解】

解：将抛物线7=必+3向左平移2个单位可得j=(x+2)2+3,

故选A.

【点睛】

此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已

知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答.

7、A

【解析】

根据已知得出直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底

面圆的周长即可得出答案。

【详解】

直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形

假设每个圆锥容器的地面半径为rem

120°义乃x30

------------------=2兀丫

180°

解得r=10(cm)

故答案选A.

【点睛】

本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。

8,D

【解析】

多边形的每一个内角都等于120。，则每个外角是60。，而任何多边形的外角是360。，则求得多边形的边数；再根据多

边形一个顶点出发的对角线3,即可求得对角线的条数.

【详解】

解：•.•多边形的每一个内角都等于120。，

,每个外角是60度，

则多边形的边数为360。+60。=6,

则该多边形有6个顶点，

则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6-3=3条.

•••这个多边形的对角线有!(6x3)=9条，

2

故选：D.

【点睛】

本题主要考查多边形内角和与外角和及多边形对角线，掌握求多边形边数的方法是解本题的关键.

9、A

【解析】

根据题意，可判断出该几何体为圆柱.且已知底面半径以及高，易求表面积.

解答：解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1,高为2,

那么它的表面积=262+型卜卜2=6兀，故选A.

10、D

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于X1+X2V0,XlX2<0,则利用有理数的性质得到XI、X2异号,

且负数的绝对值大，则可对c进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断.

【详解】根据题意得Xl+X2=-2=-1,X1X2=--,故A、B选项错误；

22

Vxi+X2<0,XlX2<0,

.•.XI、X2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；

Vxi为一元二次方程2x2+2x-1=0的根，

/.2xi2+2xi-1=0,

xi2+xi=—,故D选项正确，

2

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、x>3.

【解析】

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使JT三在实数范围内有意义，必须x-320nx»3.

12、1

【解析】

根据判别式的意义得到4=(-8)2-4m=0,然后解关于m的方程即可.

【详解】

△=(-8)2-4m=0,

解得m=l,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax?+bx+c=O(a#0)的根与△=b?-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个

不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当AVO时，方程无实数根.

13、(-b,a)

【解析】

解：如图，从A、Ai向x轴作垂线，设Ai的坐标为(x,y),

设NAOX=(x,NAiOD=p,Ai坐标(x,y)贝！|(x+p="9OOsiiia=cos0"cosa="sinp”sina=7^=cos0=7^

同理cosa=^7=sinp=7^

所以x=-b,y=a,

【点评】重点理解三角函数的定义和求解方法，主要应用公式sina=cos0,cosa=sinp.

14、1.

【解析】

根据逆流速度=静水速度-水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程,

求出方程的解问题可解.

【详解】

解：设A港与B港相距xkm,

根据题意得：

x%

26+226-2'

解得：x=L

则A港与B港相距1km.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查了分式方程的应用题，解答关键是在顺流、逆流过程中找出等量关系构造方程.

15、或36t

【解析】

MN是AB的中垂线，则AABN是等腰三角形，且NA=NB,即可得到NB=NBAN=NC.然后对ZkANC中的边进行

讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得NB的度数.

解：•.•把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M,交BC于点N,

/.NB=NA.

ZB=ZBAN,

VAB=AC

/.ZB=ZC.

设NB=x。，则NC=NBAN=x。.

1）当AN=NC时，ZCAN=ZC=x°.

则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180,

解得：x=45。则NB=45。；

2)当AN=AC时，ZANC=ZC=x°,而NANC=NB+NBAN,故此时不成立;

180—x

3)当CA=CN时，ZNAC=ZANC=----------.

2

180—x

在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+----------=180,

2

解得：x=36°.

故/B的度数为45。或36°.

16、x<l

【解析】

分析：分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集.

X-1K0①

详解：

2%-5<1®

由①得：xWl.

由②得：x<3.

则不等式组的解集为：x<l.

故答案为x<l.

点睛：本题主要考查了解一元一次不等式组.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)NC〃AB；理由见解析；(2)ZABC=ZACN；理由见解析；(3)2aT；

【解析】

(1)根据△ABC,AAMN为等边三角形，得至[]AB=AC,AM=AN且/BAC=NMAN=60。从而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,即NBAM=NCAN,证明△BAMgZkCAN,即可得到BM=CN.

(2)根据△ABC,4AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根据相似三角形的性质得到

ADAr1

——=——，利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAN,根据相似三角形的性质即可得到结论；

AMAN

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=45。，NMAN=45。，根据相似三角形的性质得出

也=丝，得至UBM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.

CNAC

【详解】

(1)NC〃AB,理由如下：

,/AABC与AMN是等边三角形，

；.AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN,=60°,

•\ZBAM=ZCAN,

在AABM与AACN中,

AB=AC

<ZBAM=ZCAN,

AM=AN

/.△ABM^AACN(SAS),

:.ZB=ZACN=60°,

,.,ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,

ACN#AB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下：

ABAM

,:——=------=1且NABC=NAMN,

BCMN

/.△ABC~AAMN

.ABAC

AMAN'

VAB=BC,

.\ZBAC=-(1800-ZABC),

2

VAM=MN

•\ZMAN=-(180°-ZAMN),

2

,/ZABC=ZAMN,

ZBAC=ZMAN,

/.ZBAM=ZCAN,

/.△ABM~AACN,

ZABC=ZACN；

(3)如图3,连接AB,AN,

•••四边形ADBC,AMEF为正方形，

.\ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,

AZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即NBAM=NCAN,

•.*=生=£

BCAN

.AB_AC

**AMAN)

/.△ABM-AACN

BMAB

OVAC

CNACy/2

------=------=cos45°=-----，

BMAB2

.V2_A/2

,・嬴―三’

/.CM=BC-BM=8,

在RtAAMC,

AM=7AC2+MC2=A/102+82=2向，

EF=AM=2^/41•

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判

定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解

决问题的关键.

18、原分式方程无解.

【解析】

根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证.

【详解】

方程两边乘(x-l)(x+2),得x(x+2)-(x-l)(x+2)=3

即：x2+2x-x2-x+2=3

整理，得x=l

检验:当x=l时，(x-l)(x+2)=0,

二原方程无解.

【点睛】

本题考查解分式方程，解题的关键是明确解放式方程的计算方法.

19、(1)①证明见解析；②10；(2)线段EF的长度不变，它的长度为2、三

【解析】

试题分析：(1)先证出NC=ND=90。，再根据Nl+N3=90。，Zl+Z2=90°,得出N2=N3,即可证出△OCPS^PDA；

根据AOCP与APDA的面积比为1：4,得出CP=±AD=4,设OP=X,则CO=8-X,由勾股定理得列方程，求出x,

.

最后根据CD=AB=2OP即可求出边CD的长；

(2)作MQ〃AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据ME_LPQ,得出EQ=gpQ,根据

.

ZQMF=ZBNF,证出△MFQgaNFB,得出QF==QB,再求出EF=*B,由(1)中的结论求出PB的长，最后代入

EF^PB即可得出线段EF的长度不变.

试题解析：(1)如图1,:四边形ABCD是矩形，.,.NC=ND=90。，二/1+/3=90。，,由折叠可得NAPO=NB=90。,

/.Zl+Z2=90°,.\Z2=Z3,XVZD=ZC,/.AOCP^APDA；VAOCP^APDA的面积比为1:4,.,.二,=二=：=♦,

J.J.・一、,1

.,.CP='AD=4,设OP=x,则CO=8-x,在RtAPCO中,ZC=90°,由勾股定理得；二二=二-二「+管,解得:x=5,

/.CD=AB=AP=2OP=10,.•.边CD的长为10；

(2)作MQ〃AN,交PB于点Q,如图2,；AP=AB,MQ/7AN,/.ZAPB=ZABP=ZMQP,.,.MP=MQ,VBN=PM,

ABN=QM.VMP=MQ,ME1PQ,AEQ^PQ.VMQ/7AN,/.ZQMF=ZBNF,在AMFQ和ANFB中，

.

VZQFM=ZNFB,ZQMF=ZBNF,MQ=BN,/.AMFQ^ANFB(AAS),AQF^QB,/.EF=EQ+QF=7PQ+TQB=7PB,

・■・・

由(1)中的结论可得：PC=4,BC=8,ZC=90°,；.PB=、斤+.=.,.EF=；PB=-3,.,.在(1)的条件下，当点

M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为一、三

考点：翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；相似形综合题.

20、(1)—；(2)一.

46

【解析】

(1)直接根据概率公式求解；

(2)先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二象限内的点的个数，然后根据概率公式计算点(x,y)

位于第二象限的概率.

【详解】

(1)正数为2,所以该球上标记的数字为正数的概率为:；

4

(2)画树状图为：

-102

共有12种等可能的结果数，它们是(-3,-1)、(-3,0)、(-3,2)、(-1,0)、(-1,2)、(0,2)、(-1,-3)、

(0,-3)、(2,-3)、(0,-1)、(2,-1)、(2,0),其中第二象限的点有2个，所以点(x,y)位于第二象限的概

率・=—2=一1.

126

【点睛】

本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,求出概率.

21、(1)线段AB与线段CA的长度之比为工；(2)线段AB与线段CA的长度之比为工；(3)1.

33

【解析】

试题分析：

(1)由题意把y=2代入两个反比例函数的解析式即可求得点B、C的横坐标，从而得到AB、AC的长，即可得到线

段AB与AC的比值；

(2)由题意把y=a代入两个反比例函数的解析式即可求得用“a”表示的点B、C的横坐标，从而可得到AB、AC的长,

即可得到线段AB与AC的比值；

(3)由(1)可知，AB:AC=1:3,由此可得AB:BC=1:4,利用OA=2和平行线分线段成比例定理即可求得CD的长，

从而可由梯形的面积公式求出四边形AODC的面积.

试题解析：

(1)VA(0,2),BC〃x轴，

AB(-1,2),C(3,2),

/.AB=1,CA=3,

二线段AB与线段CA的长度之比为:；

26

(2)TB是函