2024届湖北省高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届湖北省荆州中学高三二诊模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数g(x)=e'+(l—&)x—a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数/Xx)满足/(—x)+/(x)=x2,

且当无<0时，f\x)<x.若存在/e|x|/(x)+g2/(l—x)+x1,且不为函数y=g(x)—x的一个零点，则实数

。的取值范围为()

rr

A.［-无---,+oo)B.e,+s)C.We,+oo)D.-&----,+oo、

、2J_2J

2.已知点「是抛物线C：必=2〃》的焦点，点工为抛物线。的对称轴与其准线的交点，过B作抛物线C的切线，

切点为A,若点4恰好在以耳，月为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()

A.誓2B.V2-1c.逅产D.V2+1

3.已知抛物线产=4x的焦点为尸，抛物线上任意一点尸，且轴交y轴于点。，贝!IPQ-PE的最小值为()

11

A.--B.--C.-1D.1

42

4.由实数组成的等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，则是“S9>S8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知变量的几组取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若V与x线性相关，且勺=0.8x+a,则实数。=()

sinIx+—I,xe2kn--,Ikn+-I(A:ez),

6.己知函数y=<的图象与直线y=m(x+2)(m>0)恰有四个公共

-sinfx+

,xGIkn+—,2kn+—(kGz),

22

点A&,%),§国,》2),。.(马为),。(七,九)，其中为〈/〈不。4,则(%4+2)tanx4=()

也+2

A.-1B.0C.1D.

2

2+3,

)

1-z

15.15.55.51.

A.----F—1---------1C.—I—iD.—i

22222222

8.执行如图所示的程序框图，当输出的S=2时，则输入的S的值为()

11

A.-2B.-1C.-------D・一

22

9.斜率为1的直线1与椭圆:+y2=l相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()

47108所

A.2

55

10.函数/(x)=sin(Ox+0)的部分图象如图所示，则/(X)的单调递增区间为()

y

卜k兀,卜k兀,kRZ-----2k兀、-------卜2k兀,keZ

4-------4414

------卜k,-----卜k,keZ--+2k,--+2k,keZ

4444

11.单位正方体ABCO-AgG。]，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁

爬地的路线是441-45--，黑蚂蚁爬行的路线是48-3明--，它们都遵循如下规则：所爬行的第计2段与第i

段所在直线必须是异面直线(ZN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两

蚂蚁的距离是()

B.0C.不

12.设点AX0),尸为曲线丁=短上动点，若点A,尸间距离的最小值为痛，则实数f的值为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

Y~f丫2

13.已知椭圆土+丁=1与双曲线与-与=1(。>0,6>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为耳、若椭圆与

2ab~

双曲线在第一象限内的交点为P,且耳尸=耳工,则双曲线的离心率为.

22

14.若双曲线3-a=1(〃>0,6>0)的两条渐近线斜率分别为左，左2,若左他=-3,则该双曲线的离心率为.

15.若奇函数/⑴满足/(x+2)=—/(x),g⑴为R上的单调函数,对任意实数％eR都有g[g(%)-2、+2]=1,

当xe[0,l]时，/(x)=g(x),IU!|/(log212)=.

16.在四面体ABC。中，43=8=闻,4。=5。=庖,4。=5。=5,£,歹分别是4。,3。的中点.则下述结

论：

①四面体ABCD的体积为20；

24

②异面直线AC,BD所成角的正弦值为—；

③四面体ABC。外接球的表面积为50开；

④若用一个与直线所垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多

边形截面面积最大值为6.

其中正确的有.（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥尸-A5CD中，底面ABC。是矩形，M是R4的中点，平面ABCD,且

PD=CD=4,AD=2.

（1）求AP与平面所成角的正弦.

（2）求二面角"―CB—尸的余弦值.

18.（12分）已知函数/（%）=0-西）0-％2）（》一七），^,x2,x3eR,且％1<工2<%.

（1）当%=0,々=1,退=2时，求函数/（X）的减区间;

（2）求证：方程/'（x）=O有两个不相等的实数根;

（3）若方程/'（%）=0的两个实数根是。，队a训,试比较七红，三|玉与a,，的大小，并说明理由.

19.（12分）在中，NABC=90，tanNACB.已知E,F分别是BC,AC的中点.将AC印沿取折

2

起，使C到C'的位置且二面角C'—EF—3的大小是60。，连接C'8CA,如图：

（1）证明：平面AEC'，平面ABC'

（2）求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小.

20.（12分）平面直角坐标系x0v中，曲线C：（x-4+>2=1.直线/经过点口狐0）,且倾斜角为9以。为极点,

6

X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)写出曲线。的极坐标方程与直线/的参数方程；

(2)若直线/与曲线C相交于A，B两点，且12AHp用=1,求实数加的值.

21.(12分)在如图所示的多面体中，平面A34A，平面Afi。，四边形AM】A是边长为2的菱形，四边形ABCD

为直角梯形，四边形BCG用为平行四边形，且AB//CD,ABLBC,CD=1

(1)若E,E分别为AC，BQ的中点，求证：EF,平面AB。1；

(2)若幺&3=60。，AG与平面ABC。所成角的正弦值，，求二面角4—AG-。的余弦值.

22.(10分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分别为AB、AC中点.

(1)求证：AB±PE；

(2)求二面角A—PB—石的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先构造函数T(x)=〃x)-；f,由题意判断出函数T")的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=/(x)—

因为/(f)+/(%)=',

11

所以T(x)+T(—x)=f+f(-x)--(-x)9=f(%)+/(-x)-x-=0,

所以T(x)为奇函数，

当xWO时，7'(%)=/'(%)-%<0,所以T(x)在(—8,0]上单调递减，

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在5x++

所以/(Xo)+g2/，

1119

^flJI,T(xo)+-Xo+->T(l-x0)+-(l-x0)+xQ,

化简得%)，

所以不<1—%,即

令/z(x)=g(x)_x=eX-s/ex-a^x<g],

因为/为函数y=g(x)—x的一个零点，

所以/z(x)在xwg时有一个零点

11

x9

因为当xV5时，=e-y[e<e，-y[e=0

所以函数/z(x)在Xw1时单调递减，

,〃八1

由选项知〃〉o,_^=<o<—,

所以要使可力在X<1时有一个零点，

只需使“1万]=五一万五-^<0,解得a2,

所以。的取值范围为[,+8，故选D.

.7

【点睛】

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

2^D

【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得左的值，设出双曲线方程，求得2a=\AF2\~\AFi

I=(V2-1)P，利用双曲线的离心率公式求得e.

【详解】

直线歹2A的直线方程为：y=kx——,Fi(0>—),Fz(0,——),

222

22

代入抛物线C：工2=2夕,方程，整理得：X-2pkx+p=0f

222

J.A=4kp-4p=0,解得:k=±l9

22

.•.A(p,K),设双曲线方程为：4—三=1,

2a2b2

IAFlI=p,|AF2I=1p2+p2=y[^p,

2a=|A尸2I-IAFiI=(V2-DP>

2c—p,

二离心率e=~=~f=----=A/2+1,

aV2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.

3、A

【解析】

设点尸亍z,y',则点Q（O,y）,b（1,0）,利用向量数量积的坐标运算可得=1-21

一“利用二次函

I4716

数的性质可得最值.

【详解】

(V2)

解：设点p号,y,则点Q(O,y),尸(1,0),

I4)

(„2、(,2、

PQ=七,0,PF=l-y^-y,

4

I4JV7

PQPF=(-^,0/、

21

J2

、4J74

当丁=2时，PQ.P/取最小值，最小值为-

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

4、C

【解析】

根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：若｛斯｝是等比数列，则S9-Sg=%二弓射,"力0,

若%>0,则S9—$8=。9=%q8>0,即S9>§8成立,

若S9〉S成立，则S9—S&=ag=。炉>0,即q〉0,

故“q〉0”是“怎＞A”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.

5、B

【解析】

求出U把坐标丘,7）代入方程可求得。.

【详解】

_i5—1IQIQ511

据题意，#x=-(l+2+3+4)=-,y=-(2.4+4.3+5.3+7)=—,所以7=0.8*3+。，所以。=工.

故选：B.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点正,亍)可计算参数值.

6、A

【解析】

先将函数解析式化简为y=|cosx|,结合题意可求得切点%及其范围4根据导数几何意义，即可求得

(%4+2)tan%4的值.

【详解】

・II|

sin%+一2k兀----,2k兀+—(左?£z),

函数y=1\JL

,.(乃)[07"073^Y

-smlx+—l,xe2k/c+—,ik/c+—\(k&z),

即y=|cosx|

直线y=m(x+2)(m>0)与函数y=|cosx|图象恰有四个公共点,结合图象知直线y=m(x+2)(m>0)与函数

y=—COSX相切于%,万］,

因为y'=sinx,

7-cosx4

故％-sinx4—,

X4+2

所以(％+2用11%=(%+2)*85；=(%+2)义@+2)=1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值,属于难题.

7、A

【解析】

分子分母同乘1+i,即根据复数的除法法则求解即可.

【详解】

“2+3i(2+30(1+015.

1-z-(l-z)(l+z)--2+2Z,

故选:A

【点睛】

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

8、B

【解析】

1313

若输入S=—2,则执行循环得S=4/=2;S=X/=3;S=—2/=4;S=4*=5;S=X"=6;

3232

133

S=—2,左=7;S=彳次=8;S=彳次=9;结束循环，输出S=；；,与题意输出的S=2矛盾；

322

若输入S=—1,则执行循环得S=工次=2;S=2次=3;S=—1水=4;S=▲，左=5;S=2,左=6;

22

S=—1,左=7;S=工次=8;S=2,左=9;结束循环，输出S=2,符合题意；

2

1212

若输入S=—彳，则执行循环得5=彳/=2;S=3,左=3;S=—彳/=4;5=彳/=5;S=3次=6;

2323

12

S=—彳/=7;S=彳次=8;S=3,左=9;结束循环，输出S=3,与题意输出的S=2矛盾；

23

若输入S=」，则执行循环得S=2次=2;S=—1/=3;S=工次=4;S=2,左=5;S=—1,左=6;

22

S=《,左=7;S=2,左=8;S=—1次=9;结束循环，输出S=—1,与题意输出的S=2矛盾；

2

综上选B.

9、C

【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得，的范围，进而利用弦长公式求得K为的表达式，利

用f的范围求得IA8I的最大值.

【详解】

r25

解：设直线/的方程为y=x+f,代入'+产=1,消去y得一一+2枕+»-1=0,

44

由题意得小=⑵)2-1(z2-1)>0,即Fvi.

弦长|4为=40x或HV生匝.

55

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问

题的突破口.

10、D

【解析】

3

由图象可以求出周期，得到。，根据图象过点（w，-D可求9,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

【详解】

751

由图象知_=1,

244

所以T=2,co-——=n,

2

3

又图象过点（1-1）,

所以—1=sin（二+9）,

■4

3兀

故。可取一，

4

37r

所以/W=sin（»%+―）

4

7T3乃7T

令2k7i---<7ix-\----<2k兀H——，左£Z,

242

解得2k--<x<2k--,k^Z

44

所以函数的单调递增区间为—3+241+2左,keZ

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.

11、B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为AAifAiOifDCiTGCfCB—5A,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=3364,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为A3-331-BIGTGA—O1O—ZM,

黑蚂蚁爬完2020段后回到Di点，

所以它们此时的距离为0.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

12、C

【解析】

设P(x,e'),求|AP「，作为x的函数，其最小值是6,利用导数知识求|AP『的最小值.

【详解】

设P(x,/),贝=(x-)2+e2x,记g(x)=e2'+(x-)2,

g'(x)=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e2*+2(x—t)是增函数,且g'(x)的值域是R,

g'(x)=0的唯一解尤0，且x<Xo时，gr(x)<0,X〉/时，g'(x)>0,即g。)—=g(x°),

0

由题意g(%o)=e"+(x()—f)2=6,而g'5)=2e"+2(/—f)=0,x0—t=—e-',

In2

2xo4x

Ae+e0=6,解得e2%=2，%~T

2%〜比2

e°+xo=2+^-•

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的应用，考查用导数求最值.解题时对X。和，的关系的处理是解题关键.

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2+72

2

【解析】

先根据椭圆：+/=1得出焦距，结合椭圆的定义求出片尸,尸鸟,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心

率的公式求出离心率即可.

【详解】

解：因为椭圆]+V=1，则焦点为E(TO),月(1,o),

222

又因为椭圆土+丁=1与双曲线、—当=1(。>0,/>>0)有相同的焦点，

2ab-

椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且耳尸=耳工，

在椭圆中：F[F[=2c=2,PF、=F[F?=2

由椭圆的定义：P^=2a-P^=272-2

在双曲线中：=2-(2A/2-2)=4-2V2,

所以双曲线的实轴长为：4-2点，实半轴为2-夜

则双曲线的离心率为：e=—^=2捶.

2-四—2

2+V2

故答案为:

2

【点睛】

本题主要考查椭圆与双曲线的定义，考查离心率的求解，利用定义解决综合问题.

14、2

【解析】

由题得k[k,=一彳=一3,再根据^=e2-l求解即可.

aa"

【详解】

22

22LhhAA

双曲线三—与=1的两条渐近线为y=±-x,可令尢=——,k=—,则左#2=—勺=一3,所以勺=e2—l=3,解得

aaaaaa'

e=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

1

15、——

3

【解析】

根据/(x+2)=—/(£)可得，函数〃尤)是以4为周期的函数，令g(x)—2、+2=左，可求g(x)=2、—1,从而可得

x

/(x)=g(x)=2-l,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)—2，+2=左，贝!|g(x)=Z:+2X—2,

由g[g(x)-2'+2]=l,则g优)=1,

所以g优)=左+2方-2=1,解得左=1,

所以g(x)=2，—1,

由尤e[O,l]时，/(x)=g(x),

所以九«0』时，/(x)=2A-l；

由/(x+2)=—/(力)所以/(x+4)=-/(x+2)=/(%),

所以函数/(九)是以4为周期的函数，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

所以/(log212)=-/(2-log23)=—2-3—1]=T.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

16、①③④.

【解析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计

算截面面积的最值.

【详解】

根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为

c2+b2=41

<(?+/=34,解得。=33=4,。=5

b2+a2=25

补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中:

①四面体ABCD的体积为V=3x4x5-4x^x3x4x5=20,故正确

3

②异面直线AC,所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为g,故错；

③四面体ABC。外接球就是长方体的外接球，半径R=J3-+4+5?=叵,其表面积为50开，故正确；

22

④由于故截面为平行四边形可得KL+KN=5,

24

设异面直线与AD所成的角为凡则sin0=sinZHFB=smZLKN，算得sin&=—,

25

,SMNKI=NK・KL・sin/NKLW（0;侬］x||=6.故正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的

处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、（1）j.

3M

⑵丁

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（I）,.,ABC。是矩形，

：.ADVCD,

又：平面ABC。，

APD±AD,PDVCD,即P£）,AD,CQ两两垂直，

.••以。为原点，DA,DC,0P分别为x轴，V轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由PD=C£>=4,AD=2,得4（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,£>（0,0,0）,P（0,0,4）,M（l,0,2）,

则由=(—2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

设平面CMB的一个法向量为%=（%]，x，zj,

BCn,=-2%j=0

，令y=i,得石=。，Z]=2,

MB•〃1=0国+4%-2zi=0

%=(0,1,2),

/…\AP-n.84

.•.COS=

产I网2A/5-V5-5

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为j.

（2）由（1）可得PC=（O,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为%=(x2,j2,z2),

BC。[—2%=0

则“八，即/=_,令％=1，得Z=0，Z2=l,

PC-n2—014%—4Z2=0

%=(0,1,1),

./\33M

..cos依㈤=后双=丁

故二面角M-CB-P的余弦值为士何.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

18、(1)(l_，/+g)(2)详见解析(3)。〈工产〈玉/

【解析】

试题分析：(1)当X=。，冗3=2时,/(%)=%(%一1)(%-2)=%3-3%2+2羽/'(%)=3/一6%+2,,由/(%)＜。

得了(元)减区间(1—¥/+g);(2)因为/(%)=%3一(%]+々+%3)%2+(玉%2+%2%3+%3%)%一%1%2%3，所以

2

//(X)=3%-2(%+々+%3)%+(为%2+%2%3+%3%1)，因为△=2[(石一9了+(%2一退了+(%3-王＞。所以，方程

/'(x)=。有两个不相等的实数根；(3)因为广(受土卫)=—色出1<0,,(”才<0,所以

2424

a<-----<-----<B

22

试题解析：(1)当玉=。，％2=L退=2时，/(%)=%(%一1)(%-2)=%3-3%2+2羽/'(%)=3%2-6%+2,,由/(%)<。

得了(元)减区间(1—9,1+

(2)法1：/(%)=%3-(石+%2+%3)%2+(11%2+%2%3+%3石)％-%1%2%3，

2

f\x)-3x-2(%1+X2+x3)x+(11%2+%2%3+%3%1)

A=2[(Xj—々)2+(%2—%3)2+(%3—%)2]>0,再<々<退，

所以，方程/(%)=。有两个不相等的实数根;

法2：f'(x)-(x-x1)(%-x2)+(x-x2)(%-x3)+(x-%3)(x-x1),

/'(%)=(x2-x3)(%2-%1)<0,

是开口向上的二次函数，

所以，方程/'(%)=0有两个不相等的实数根；

(3)因为/(受产)=_(々:X厂＜0,

又/(%)在(—8,a)和(尸,+8)增，/(X)在(%0减，

uui、lX]+X、X,+X3n

所以a<———-<———-<B.

22

考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系

19、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)设AC'的中点为G,连接FG,设的中点为H,连接GH,EH,从而N3EC'即为二面角。'一所―3的

平面角，ZBEC=60，推导出即，3。'，从而平面BEC',则ABLER,即进而石巨，平

面ABC',推导四边形EM主为平行四边形，从而FG〃EH,FG_L平面A5C',由此即可得证.

(2)以5为原点，在平面跖。'中过5作5E的垂线为x轴，BE为y轴，R4为z轴建立空间直角坐标系，利用向量

法求出平面AFC与平面BEC所成二面角的大小.

【详解】

(1)1,尸是AC的中点，二人/=。'5.

设AC'的中点为G,连接/G.

设的中点为X,连接G”，EH.

易证：CE±EF,BELEF,

N5EC'即为二面角C-EF-B的平面角.

AZBEC=60，而E为6C的中点.

易知BE=EC',:.ABEC'为等边三角形,：.EH±BC.®

,：EFLC'E,EF上BE,C'E\BE=E,：.EF上平面BEC.

而所〃AB,.••AB，平面B£C',，EH,即EHLAB.②

由①②，BCAB=B,平面ABC'.

•:G,H分别为AC',5C的中点.

二四边形EHGb为平行四边形.

J.FG//EH,尸G,平面ABC',又FGu平面AFC'.

...平面AFC±平面ABC.

A

（2）如图，建立空间直角坐标系，设AB=2.

则A（0,0,2）,6（0,0,0）,F（2,0,l）,E（2,0,0）,C（1的0）

显然平面BEC的法向量m=（0,0,1）,

设平面AFC的法向量为n=（%,y,z）,AC=（1，G，-2）,AF=（2,0,-1）,

2x—z=0/f-\

「，.二〃二（1,。3,2）

x+y/3y-2z=0、'

m-nA/2

cosm,n=

m:;\小­同2'

由图形观察可知，平面AFC与平面BEC所成的二面角的平面角为锐角.

平面AFC与平面所成的二面角大小为45°.

本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行

求解.

x-m-\---1

2

20、（I）《（f为参数）；（ID"7=1或加=1+0或"7=1-JL

【解析】

试题分析：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查

学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用好+/=夕2,x=〃cos。化简表达式，得到曲

线C的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出机的值.

试题解析：⑴曲线加勺普通方程为：（x-1『+丁2=1,即x2+y2=2x,即夕2=2pcos6>,

即曲线C的极坐标方程为:p=2cos8.

6

x-m-\----1

直线/的参数方程为｛2。为参数）.

1

y=—t

-2

（2）设A,3两点对应的参数分别为将直线/的参数方程代入x2+/=2x中，

得「+（百根-^/3）/+m2-2m=0,所以A>0,=m?-2m,,A>0=>—l<m<3

由题意得帆2-2司=1,得根=1,1+夜或1-V2符合题意

考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.

一7

21、（1）见解析（2）

8

【解析】

试题分析：（1）第（1）问，转化成证明A3,平面A31G,再转化成证明43,A片和耳£.（2）第（2）问，先

利用几何法找到AC］与平面ABCZ）所成角，再根据AC］与平面ABC。所成角的正弦值为手求出用G=a,再建立空

间直角坐标系，求出二面角A-AG-。的余弦值.

试题解析：

（1）连接46,因为四边形43四4为菱形，所以

因为平面ABB】A，平面ABC。，平面A3用841c平面A5CD=AB,BCu平面ABC。，AB±BC,所以BC,

平面ABB^.

又ABu平面A34A，所以

因为BC/ABiG，所以

因为与£cA及=与，所以平面ABC一

因为分别为4G，8G的中点，所以EF//A3,所以所，平面ABC1

（2）设与G=a,由（1）得平面A3耳4.

由NAAB=60。，BA=2,得AB]=2百,AQ=^12+a~-

过点q作G/，OC，与。C的延长线交于点M,取A5的中点“，连接A"，AM,如图所示,

,M

又NAAB=60。，所以AAg为等边三角形，所以又平面A5与片，平面ABC。，平面平

面A3CD=A5,A"u平面ABB14,故4〃，平面ABC。.

因为BCC.B,为平行四边形，所以CCJ/BB],所以CG//平面AA.BB,.

又因为CD//A6,所以CD//平面4413用.

因为C£cCD=C,所以平面A4133]//平面DGM.

由(1),得平面A43耳，所以平面。GM，所以

因为5Cc£>C=C,所以GM，平面ABC。，所以/。①加是AC】与平面ABC£)所成角.

因为4用//43,QBJ/CB,所以为用//平面ABC。，4C；//平面ABC。，因为44c£耳=耳，所以平面

ABCD//平面44G.

所以4/7=。1〃=百，sinZCjAAf=,解得

AG,12+/5

在梯形中，易证。石，A3,分别以EA，HD，引的正方向为*轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐

标系.

则4(1,0,0),D(o,Ao),A(0,0,73),4/2,0