山东省德州市2023-2024学年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

山东省德州市第一中学2023-2024学年高三第五次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠,不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=log2，-+11+出+3,则不等式/(1gx)>3的解集为()

A.|B.f-x>2]u(10,+s)C.(1,10)D.

"U)<1U))

1-

——r12

2.已知+?/=Jcosxdx9由程序框图输出的S为()

00

1,1

/输入产7

JL—

|S=N||S=M

J

/输~1

结束

A.1B.0C.-D.In2

2

3.已知函数/(x)=loga(|x-2|—a)(a>0，且awl),则叮⑺在(3,+co)上是单调函数”是“0<吐<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

("6N*),且%+。4+。6=9,则l°g[(g+。5+%)的值是()

4.已知数列｛«„｝满足log3a„+1=log3a„+1

9

A.5B.-3C.4D.—

91

了「2

5.已知双曲线下-与=1(“>0,6>0)的左右焦点分别为耳(一。,0),，心(c,0),以线段可耳为直径的圆与双曲线在第

ab

二象限的交点为P,若直线尸工与圆E：(x—]]+/=.相切,

则双曲线的渐近线方程是()

A.y=土尤B.y=±2xC.y=+y/3xD.y=+yf2x

6.点。为棱长是2的正方体ABC。-ABIG，的内切球。球面上的动点，点M为四G的中点，若满足

则动点P的轨迹的长度为（）

.旧兀„2亚兀4&8号

A.------B.--------

5555

7.已知用方是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，且au”，bu/｝,allfi,blla,则“。〃》“是〃〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00-12：10之间随机到达小王所居

住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）

132

A.B.D.

584

9.已知以是函数/（x）=lnx图象上的一点，过M作圆d+y2—2y=0的两条切线，切点分别为A,3,则以（地

的最小值为（）

A.20-3B.-1C.0D.述—3

2

4s—1

10.已知数列｛4｝的前“项和为S",且4+1=——，q=l,nwN*，则｛4｝的通项公式%=（）

2n-l

A.nB.n+1C.2n-lD.2n+l

IL空气质量指数AQ/是反映空气状况的指数，AQ/指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI

指数变化趋势，下列叙述错误的是（）

A.这20天中AQ/指数值的中位数略高于100

B.这20天中的中度污染及以上（AQ/指数＞150）的天数占上

4

C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

12.已知私77为两条不重合直线，。，分为两个不重合平面，下列条件中，。，尸的充分条件是（）

A.m//n,mca,ncpB.m//n,m±a,n±

C.m\n,m〃a,n〃0D.m±n,m±a,n±

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝与,巴一＞均为等差数列（〃wN*），且q=2,则q0=.

14.如图，直三棱柱ABC—中，NC4B=90°,AC=AB=2,CC1=2,尸是8G的中点，则三棱锥C—4。/

的体积为.

15.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

（开始）

S-15,左一1

7C

16.=+cosx)dx,则(x-五甘的展开式中含x的项的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设/(x)=xe*-or?,g(x)=lnx+x-x2+1--(tz>0)

a

(1)求g(x)的单调区间；

(2)设Mx)=/(x)—ag(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)将棱长为2的正方体ABC。-A4GR截去三棱锥。-ACD后得到如图所示几何体，。为AG的中点.

(1)求证：06〃平面ACR；

(2)求二面角C—A。—G的正弦值.

19.(12分)在AABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,且2a—c=26cosC.

⑴求鹏,+/)的值；

(2)若b=6,求c—a的取值范围.

20.(12分)已知xGR,设机=(2cosx,sinx+cosx),n=(y/3sinx,sinx-cosx)>记函数/(x)=g〃.

(1)求函数/(%)取最小值时x的取值范围；

(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(C)=2,c=6，求△ABC的面积S的最大值.

21.(12分)已知｛4｝是各项都为正数的数列，其前几项和为S“，且S"为乙与工的等差中项.

an

(1)求证：数列｛Sj｝为等差数列；

f-1V

(2)设求也｝的前100项和小.

22.(10分)已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃,为了研究该种细菌的繁殖数量V(单位：个)随温度x(单

位：。C)变化的规律，收集数据如下：

温度x/C14161820222426

繁殖数量y/个2530385066120218

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示:

77。77_

£（者—可2X（七-可（左-Q

Xyk工…X（x,-可他-9）

i=li=l/=1Z=1

20784.11123.8159020.5

_17

其中&=lny”k=-^ki-

/i=i

（1）请绘出y关于X的散点图，并根据散点图判断丁=法+4与〉=06（&哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量丁关

于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.D；

（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？

参考公式：对于一组数据3%）«=1,2,3「二闭，其回归直线v=/?“+4的斜率和截距的最小二成估计分别为

♦（%-万）（匕-"）

0=­------------,a=v-/3u,参考数据：245.

£（%一叶

1=1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到-l<lgx<l,且lgx/0,解不等式得解.

【详解】

由题得函数的定义域为(—8,0),(0,+8).

因为/(-%)=/(X)，

所以y(x)为(—8,0).(0,+8)上的偶函数，

+i,y=,3+3都是在(°，+°°)上单调递减.

因为函数"2

所以函数/(X)在(0,+8)上单调递减.

因为1(l)=3"(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且lgx/0,

解得

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

2、D

【解析】

J.JJ?兀

试题分析：M=\---dx=ln(x+1)|=In2,?/=fcosxdx=sinx|2=1，所以M<N,所以由程序框图输出

Jr+1()J

o“十工u°Q

的S为ln2.故选D.

考点：1、程序框图；2、定积分.

3、C

【解析】

先求出复合函数在(3,+8)上是单调函数的充要条件，再看其和0<。<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/(%)=loga(|X-21-a){a>0,且awl),

由卜-2|-a>0得x<2-a或x>2+a,

即f(x)的定义域为｛目1<2-。或x>2+a｝,(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)单调递减，(2+a,+a>)单调递增，

2+a<3

/(x)在(3,+oo)上是单调函数，其充要条件为<。〉0

awl

即0<a<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

4、B

【解析】

由log3an+l=log3an+l,可得%=34，所以数列｛a“｝是公比为3的等比数列，

9

所以=〃2+94+814=91g=9,贝!I二砧，

则1。81(。3+。5+%)=1。81(3。2+27%+243%)=108]33=-3故选B.

333

点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试

题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在

使用等比数列的前〃项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

5、B

【解析】

先设直线PE与圆E:[x-工]+丁=匕相切于点〃，根据题意，得到EM//PE，再由等=：,根据勾股定理

｛2J16笈44

求出b=2a,从而可得渐近线方程.

【详解】

设直线尸工与圆石：[x—+丁=£相切于点〃，

因为AP耳耳是以圆。的直径耳耳为斜边的圆内接三角形，所以耳=90,

又因为圆E与直线尸工的切点为所以EM//PF-

又等4,所以|*=4(源

因此1P阊=2a+b,

因此有》2+(2a+b)2=4°2,

所以人=2a,因此渐近线的方程为y=±2%.

故选B

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

6、C

【解析】

设片8的中点为〃，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出氏平面。CH,这样可以

确定动点P的轨迹，最后求出动点尸的轨迹的长度.

【详解】

设用6的中点为“，连接CH,DH,因此有而而DC,CHu平面CDH,DCCH=C,

因此有平面。CH,所以动点P的轨迹平面。CH与正方体AB。-A4G，的内切球。的交线.正方体

ABCD-^B^D,的棱长为2,所以内切球。的半径为R=l,建立如下图所示的以。为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有O(W),C(0,2,0),H(2,2,l),设平面DCH的法向量为加=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=Q2y=0

/c八=加=(1,0,-2),因此。到平面OCH的距离为:

m1DHm-DH=Q2x+2y+z=0

\mOD\^5

d="炉_储=拽,因此动点P的轨迹的长度为2万厂=拽；r.

~\r所以截面圆的半径为:

m555

故选：C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

7、D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：aca,bc.fi,a//p,b//a,

由。〃儿不一定有a与“可能相交；

反之，由a〃“，可得a〃8或。与异面，

：.a,b是两条不同的直线，a,少是两个不同的平面，且aua,bu0,a//P，b//a,

则“a//次是“a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

8、C

【解析】

设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

x<y

设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为羽y,以12：00点为开始算起，则有"「在平面直角

坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,

10?10!创010-1仓65Q

p=22=3.

10708

故选:C

【点睛】

本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.

9、C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知|MA|=|A叫，若设=贝!!|加川=|知5卜』)，所以

MAMB^MA^cos2^=2sin2^+^--3,而要求以4.“3的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

sin0

炉+9―2y=0的圆心为C,贝代由6=而，所以只要照［取得最小值，若设M(x,lnx),则

|A/C|2=x2+(lnx-l)2,然后构造函数g(x)=x2+(lnx—Ip,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆Y+V—2y=0的圆心为C,设NAMC=8,贝1MA目地卜^^所吟康，设

A/(x,In%),|MC|2=%2+(Inx-1)2,记g(x)=J+(lnx—，贝！J

12

gr(x)=2x+2(lnx-l)--=—(x2+lnx-l),令h(x)=x2+lnx-l,

xx

因为飘%)=3+111%-1在(0,+8)上单调递增,且为1)=0,所以当Ovxvl时，h(x)<h(I)=0,gf(x)<0.当X>1

r

时，h(x)>h(l)=0,g(x)>09则g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,口)上单调递增,所以g(%)<=双1)=2,即

阿屋2。石，冬所以品焉-32。(当加=当时等号成立).

【点睛】

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

10、C

【解析】

利用an=S„-S,T(〃>2)证得数列1票J为常数列，并由此求得｛an｝的通项公式.

【详解】

4s—1

由4+1=彳/，得(2〃-l)a"+i=4S“-1,可得(2“-3)4=4S“T-1(H>2).

2n-l

相减得(2〃+1)4=(2〃一l)a.+i，则=(«>2),又

2n-l2n+l

4s-1aaa”

由4+i=---,%=1,得g=3,所以x2,所以为常

2n-l2x1-12x1+12〃一1

数列，所以钟■=不:=1，故4=2〃-1.

2H-12x1-1

故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前几项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

11、C

【解析】

结合题意，根据题目中的20天的AQ/指数值，判断选项中的命题是否正确.

【详解】

对于A,由图可知20天的AQ/指数值中有10个低于100,10个高于100,其中第10个接近100,第11个高于100,

所以中位数略高于100,故A正确.

对于3,由图可知20天的AQ/指数值中高于150的天数为5,即占总天数的工，故台正确.

4

对于C,由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C错误.

对于。，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质

量比中旬的空气质量好，故。正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.

12、D

【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】

对于A,当相〃"，根ua,时，则平面a与平面£可能相交，a±/3,all，故不能作为。，尸的充分

条件，故A错误；

对于B,当相〃“，mLa,〃，小时，则。//£,故不能作为。，，的充分条件，故B错误；

对于C,当mLn,m//a,尸时，则平面戊与平面£相交，,a///3,故不能作为。，分的充分条件,

故C错误；

对于D,当m±a,nVp,则一定能得到。故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、20

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d,由数列，今-，为等差数列，且q=2,根据等差中项的性质可得，

2(2+d)'=二+(2+2&)2,解方程求出公差q,代入等差数列｛4｝的通项公式即可求解.

213

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,

由数列14」]为等差数列知,2・4=近+4

tn\213

因为q=2，所以2。+疗工+(2+2疗,

213

解得d=2,所以数列｛4｝的通项公式为

an=a[+(〃—l)d=2+(〃_l)x2=2〃，

所以如)=20.

故答案为：20

【点睛】

本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础

题.

2

14、-

3

【解析】

证明平面MGC,于是匕FGP=K-AGC=g%.AGC，利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

,二相，平面ABC,ABi平面ABC,

±AB,又AB_LAC,A41cAe=A.

AB，平面MG。，

•。是BC］的中点，

__1_111oo2

,•%一*1尸=%4GC=~2%4GC=5.3.5.22.2="

2

故答案为：-

3

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

5

15、-

2

【解析】

根据流程图，运行程序即得.

【详解】

第一次运行S=15,k=l;

第二次运行S=15,k=2；

第三次运行S="，左=3；

2

第四次运行S=M<3;所以输出的S的值是』.

22

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查算法流程图，是基础题.

16、-80

【解析】

首先根据定积分的应用求出a的值，进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.

【详解】

生71

a-j(J=+sin%)—=2,

-f一万

根据二项式展开式通项：4+1=G(x)5f［亍J=G•(-2>•X行，

4

令5-丁=1,解得厂=3,

所以含x的项的系数C；(-2)3=-80.

故答案为：-80

【点睛】

本题考查定积分，二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(2)0<a<e

【解析】

(1)g(x)=-(2x+l)(x-1),令g")〉o,g(%)<0解不等式即可；

(2)/z(x)=(尤+1)靖一a'"+1)=(x+1)(短一巧),令〃(x)=0得尤0,即*=e，

且/2(X)的最小值为

XX%

/z(x0)=x0^-alnx0-ax0-a+e,令力(七)20,结合*="即可解决.

xo

【详解】

(1)g(x)=l+--2x=-(2x+1^x-^,xe(0,+s)

XX

当xe(O,l)时,g(x)>0,g(x)递增，

当xc(l,+8)时，g'(x)<0,g(x)递减.

故g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(l,y).

(2)h(x)=f(x)-ag(x)=xex-a\nx-ax-a+e,

/z(x)=(x+l)ex-心+D=(x+l)(ex--),

a>0,设〃(x)=0的根为％,即有*=巴可得,

x0=lnt?-ln%0,当尤e(O,Xo)时，h(x)<0,/z(x)递减,

当xe(Xo，+co)时，h(%)>0,/i(x)递增.

--^Wmin=%(X0)=%()6司-aSnxQ-axQ-a+e

=-Intz)-axQ-a+e

xo

=e—alna>0,

所以

①当〃<(O,l],aln〃<0<e-

②当a>l时，设0(Q)=Q1HQ,0'(a)=l+lna>O

0(Q)=Q1IIQ递增，a]na<e9所以

综上，OvaVe.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，

将问题转化为函数的极值或最值来处理.

18、(1)见解析；(2)

3

【解析】

(1)取AC的中点M,连接氏0、D】M,连接证明出四边形M302为平行四边形，可得出,然

后利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)以点A为坐标原点，AA、4耳、4A所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可

求得二面角c-ADx-q的余弦值，进而可求得其正弦值.

【详解】

(1)取AC中点连接MO、BM、D[M,

的〃。。1且441=。。1，，四边形A41cle为平行四边形，.•.AC〃4G且AC=4G，

。、〃分别为4G、4。中点，，4/〃4。且4加=4。，

则四边形A410M为平行四边形，.•・。河〃M且。"=A4]，

A4jHBB[且A4,=OMIIBB、且OM=BBX,

所以，四边形580M为平行四边形，.•.3"〃0，且80=。2,

..四边形MBOBl为平行四边形，，03〃。“，

MD,u平面ACDX,03.平面ACD,,.-.OB//平面ACDl；

(2)以点A为坐标原点，42、4耳、4A所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系4-孙Z,

则。(2,2,2)、4(0,0,2)、6(220)、A(2,0,0),

AZ）］=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,=（0,2,0）,

设平面ACR的法向量为7"=(%i，X，zJ,

m-AC=02x+2v=0/、

由,,得《12-‘取玉=1'则…，…

m-ADX=0

设平面AQG的法向量为,=(马,％，Z2)，

n-D.1C,1=02y2=o/、

由,，得《⑵2。2=0‘取“-°,Z2—（1，。」），

n-AD{-0

YYl'Yl2A/6

cos<m'n>=।~；—p-r=——T==—sin<m,n>=Jl-cos2<m,n>=-，

|m|-|n|v3xV23，3

因此，二面角C-AD】-G的正弦值为正

3

【点睛】

本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19、⑴与；⑵2,⑹

【解析】

(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos6,进而求得3和A+C,代入求得结果；

(2)利用正弦定理可将c-a表示为2sinC-2sinA,利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin(c-g

根据正弦型函数值域的求解方法，结合C的范围可求得结果.

【详解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sinBcosC

A+B+C^TI...sinA=sin(5+C)

/.2sin(B+C)—sinC=2sinBcosC+2cosi5sinC—sinC=2sinBcosC

即2cosBsinC=sinC

Ce(0,TT)「.sinCwO..cos5=；

3e(O,〃):.B=-:.A+C=—

v'33

.(A+C/.27T73

/.sin--------卜3=sin——二——

I2)32

a_c_b_g_2

(2)由(1)知：sinB=sin—=sinAsinCsinB^3

32

~2

.•.c=2sinC,a=2sinA

.,.c—6/=2sinC—2sinA=2sinC—2sin(B-bC)=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC一百cosC-sinC=sinC—石cosC?=2sin^C-^

r(n

QA+C——...0<C<—..CHE

333

二.2sin[C—耳]4―,即c—Q的取值

:范围为卜6,6)

【点睛】

本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角

函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题,

进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.

20、(1)=上"一I，左ez｝；(2)

【解析】

⑴先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到/(X)=2sin12x-再根据正弦函

数的性质即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出根据三角形的面积

公式即可求出答案.

【详解】

(1)/(x)=m-n=2A/3sinxcosx+sin2x-cos2x=6sin2x—cos2x=2sin—彳］.

令2x-2=2%兀一］,kGZ,即》=左万一?伏eZ)时，sin［2x-彳］=-1,/(九)取最d、值，

71

所以，所求X的取值集合是=-二代eZ；

6

(2)由/(C)=2,得sin(2C—工］=1,

I6；

因为0＜。＜不，所以一工＜2C—工＜小，所以2C—工=工，C=~.

666623

在AABC中，由余弦定理c2="+b2—2a6cosC,

^3=a2+b2-ab＞ab，即aZ?W3,当且仅当a=b时取等号，

所以AABC的面积S=,a6sinC〈4x3x3=之叵