中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

第页中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1（2024·江西九江·二模）如图在矩形的对称轴上找点使得均为直角三角形则符合条件的点的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．52（2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为的等边的顶点分别在轴的正半轴轴的负半轴上滑动连接则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．3（2024·江西吉安·一模）如图矩形中点E在矩形的边上则当的一个内角度数为时符合条件的点E的个数共有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个4（2023·江西·中考真题）如图在中将绕点逆时针旋转角（）得到连接．当为直角三角形时旋转角的度数为．5（2024·江西吉安·二模）如图在矩形中为的中点点在下方矩形的边上．当为直角三角形且为直角顶点时的长为．6（2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形的顶点为的中点点为矩形边上任意一点将沿折叠得若点在矩形的边上则点的坐标为．7（2024·江西·模拟预测）如图中射线从射线开始绕点C逆时针旋转角与射线相交于点D将沿射线翻折至处射线与射线相交于点E．若是等腰三角形则的度数为．8（2024·江西赣州·二模）在中已知点在边上点在边上且连接当为等腰三角形时．9（2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形中E为边上一点点P沿着边按的路线运动．在运动过程中若中有一个角为则的长为．10（2024·江西吉安·三模）如图在中为上一点为边上的动点当为直角三角形时的长为．11（2024·江西吉安·一模）如图矩形中E为的中点连接点P在矩形的边上且在的上方则当是以为斜边的直角三角形时的长为．12（2024·江西九江·二模）如图在等腰中D是线段上一动点沿直线将折叠得到连接．当是以为直角边的直角三角形时则的长为．13（2024·江西·模拟预测）如图在菱形中对角线相交于点OE为的中点F为线段上一动点当为等腰三角形时的长为．14（2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片中将三角形纸片折叠使点的对应点落在上折痕与分别相交于点当为等腰三角形时的长为．15（2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1与相交于点是等腰直角三角形若求证：是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2是等腰直角的斜边G为边的中点E是的延长线上一动点过点E分别作与的垂线垂足分别为顺次连接得到求证：是等腰直角三角形．②如图3当点E在边上且①中其他条件不变时是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4在四边形中平分当时求线段的长．16（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在中对角线垂足为．求证：是菱形．(2)知识应用：如图在中对角线和相交于点．①求证：是菱形②延长至点连接交于点若求的值．17（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处并绕点O逆时针旋转探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1若将三角板的顶点P放在点O处在旋转过程中当与重合时重叠部分的面积为__________当与垂直时重叠部分的面积为__________一般地若正方形面积为S在旋转过程中重叠部分的面积与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处在旋转过程中分别与正方形的边相交于点MN．①如图2当时试判断重叠部分的形状并说明理由②如图3当时求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处该锐角记为（设）将绕点O逆时针旋转在旋转过程中的两边与正方形的边所围成的图形的面积为请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）（参考数据：）18（2024·江西吉安·二模）如图在和中且．连接．(1)求证：．(2)在图2中点在同一直线上且点在上若求的值（用含的代数式表示）．19（2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1在四边形中相交于点O且则与的数量关系为．迁移探究（2）如图2在四边形中相交于点O（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3在四边形中相交于点O且求的长．20（2024·江西九江·二模）课本再现如图1四边形是菱形．（1）求的长．应用拓展（2）如图2为上一动点连接将绕点逆时针旋转得到连接．①直接写出点到距离的最小值②如图3连接若的面积为6求的长．21（2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：问题提出：如图正方形中为对角线上的一个动点以为直角顶点向右作等腰直角．(1)操作发现：的最小值为_______最大值为_______(2)数学思考：求证：点在射线上(3)拓展应用：当时求的长．22（2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：如图1在的内部过射线上的点作垂足分别为且．求证：平分．【知识应用】（2）如图2在中过内部一点作垂足分别为且连接．①求的度数②若求的长．23（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边高把它加工成正方形零件使正方形的一边在上其余两个顶点分别在上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高与边的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则的值为_______（直接写出结果）②如图4若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件求的值．24（2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图已知：在四边形中用矩形的定义求证：四边形是矩形．(2)如图在四边形中是的中点连接且求证：四边形是矩形．拓展延伸(3)如图将矩形沿折叠使点落在边上的点处若图中的四个三角形都相似求的值．25（2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．（1）如图1在平行四边形中对角线与交于点O求证：．知识应用（2）在中点P为的中点．延长到D使得延长AC到E使得连接．如图2连接若请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论并加以证明．26（2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1在边长为4的正方形的中心作直角的两边分别与正方形的边交于点EF（点E与点BC不重合）将绕点O旋转．在旋转过程中四边形的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了则．这样就实现了四边形的面积向面积的转化．小航：如图b考虑到正方形对角线的特征过点O分别作于点G于点H证明从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到____________________．类比探究（2）①如图⒉在矩形中O是边的中点点E在上点F在上则__________．②如图3将问题中的正方形改为菱形且当时其他条件不变四边形的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4在四边形中是的平分线求四边形的面积．27（2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1四边形是一个正方形E是延长线上一点且则的度数为．【变式探究】（2）如图2将（1）中的沿折叠得到延长交于点F若求的长．【延伸拓展】（3）如图3当（2）中的点E在射线上运动时连接与交于点P．探究：当的长为多少时DP两点间的距离最短？请求出最短距离．28（2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1分别是等边三角形的两边上的点且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：证明：是等边三角形．．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______迁移应用：（2）如图2将图1中的延长至点使连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：②若试探究与之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1（2024·江西九江·二模）如图在矩形的对称轴上找点使得均为直角三角形则符合条件的点的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了矩形的的轴对称性圆周角定理等知识由可以判定以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点由圆周角定理的推论以及矩形的轴对称性判定即可．【详解】解∶设矩形的对称轴l与相交于与相交于当P与或重合时是直角三角形由对称性知对应的也是直角三角形∵∴以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点设为∴当P与或重合时是直角三角形由对称性知对应的也是直角三角形故符合题意的点P有4个故选：C．2（2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为的等边的顶点分别在轴的正半轴轴的负半轴上滑动连接则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质直角三角形的性质三角形三边关系取的中点连接．由直角三角形的性质得出由等边三角形的性质得出由三角形三边关系得出即可得解熟练掌握以上知识点并灵活运用添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：取的中点连接．∵∴．∵为等边三角形∴．∴．∴．∴∴的最小值为故选：D．3（2024·江西吉安·一模）如图矩形中点E在矩形的边上则当的一个内角度数为时符合条件的点E的个数共有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形圆周角定理垂径定理及解三角形根据题意分三种情况分析即可求解根据题意作出相应图形是解题关键．【详解】解：如图所示当时如图所示：∴设则∴即解得：∴对应的存在点满足条件当点E在上时如图所示：当时则∴设则∴即解得：符合题意同理对应的点也符合题意当时点E在以O为圆心长为半径的圆与的交点上如图所示：过点O作于点F连接∴∵∴∵∴∴过点O作∴∴∴∴∴点E符合题意∴在线段上存在一个点和满足条件综上可得：符合条件的点E的个数共有6个故选：C．4（2023·江西·中考真题）如图在中将绕点逆时针旋转角（）得到连接．当为直角三角形时旋转角的度数为．

【答案】或或【分析】连接根据已知条件可得进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接取的中点连接如图所示

∵在中∴∴是等边三角形∴∴∴∴∴如图所示当点在上时此时则旋转角的度数为

当点在的延长线上时如图所示则

当在的延长线上时则旋转角的度数为如图所示∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是矩形∴即是直角三角形

综上所述旋转角的度数为或或故答案为：或或．5（2024·江西吉安·二模）如图在矩形中为的中点点在下方矩形的边上．当为直角三角形且为直角顶点时的长为．【答案】或【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质矩形的性质掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．若是直角三角形有三种情况：①当点在上时②当点在上时分别求解即可．【详解】如图当点在上时为的中点．当点在上时四边形是矩形．设则由得解得．或．综上的长为或．6（2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形的顶点为的中点点为矩形边上任意一点将沿折叠得若点在矩形的边上则点的坐标为．

【答案】或或【分析】本题考查了矩形中的折叠问题勾股定理坐标与图形解题的关键是掌握折叠的性质．分为三种情况讨论：当点在上时过点作于点当点在上时过点作于点当点在上时根据矩形的性质折叠的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：点四边形是矩形为的中点如图当点在上时过点作于点

四边形是矩形由折叠可得：如图当点在上时过点作于点

同理可证四边形是矩形由折叠可得：如图当点在上时

由折叠可得：为的中点此时点与重合综上所述点的坐标为或或．7（2024·江西·模拟预测）如图中射线从射线开始绕点C逆时针旋转角与射线相交于点D将沿射线翻折至处射线与射线相交于点E．若是等腰三角形则的度数为．

【答案】或或【分析】分情况讨论利用折叠的性质知再画出图形利用三角形的外角性质列式计算即可求解．【详解】解：由折叠的性质知当时由三角形的外角性质得即此情况不存在当时由三角形的外角性质得解得当时

∴由三角形的外角性质得解得当时

∴∴综上的度数为或或．故答案为：或或．8（2024·江西赣州·二模）在中已知点在边上点在边上且连接当为等腰三角形时．【答案】5或或【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和解直角三角形分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可．【详解】解：当时如图1∵∴当时如图2作则有且即解得：当时如图3作则有且即解得：综上所述答案为：5或或．9（2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形中E为边上一点点P沿着边按的路线运动．在运动过程中若中有一个角为则的长为．【答案】或或【分析】本题主要考查了矩形的性质相似三角形的判定和性质解直角三角形．分两种情况：当点P落在边上时当点P落在边上时即可求解．【详解】解：当点P落在边上且时记为过点作于点F．∵四边形是矩形∴在中∴可设则∴∵∴．∴．当点P落在边上时①若记为过点作于点G．则∴∵∴∴∴∴∴②若记为过点作于点H．∵∴．综上所述或．10（2024·江西吉安·三模）如图在中为上一点为边上的动点当为直角三角形时的长为．【答案】3或6或7【分析】分三种情况计算即可．本题考查了等腰三角形的性质直角三角形的性质三角形相似的判定和性质三角函数的应用正确分类灵活应用相似和三角函数是解题的关键．【详解】∵在中∴过点A作于点M∵∴∴．∵∴．①如图1当时则∴∴．在中∴∴∴②如图2当时分别过点作的垂线垂足分别为∴∴．设则．∵∴∴∴整理得解得∴∴③如图3当时在中∴∴．综上所述当为直角三角形时的长为3或6或7．11（2024·江西吉安·一模）如图矩形中E为的中点连接点P在矩形的边上且在的上方则当是以为斜边的直角三角形时的长为．【答案】或/或【分析】根据矩形的性质余角的性质证明得出设则得出求出最后求出结果即可．【详解】解：∵四边形为矩形∴∵E为的中点∴∵是以为斜边的直角三角形∴∴∴∴∴设则∴解得：即或当时根据勾股定理得：当时根据勾股定理得：故答案为：或．12（2024·江西九江·二模）如图在等腰中D是线段上一动点沿直线将折叠得到连接．当是以为直角边的直角三角形时则的长为．【答案】或或【分析】本题考查了解直角三角形勾股定理等边三角形的判定及性质分类讨论：①当时当点在的下方时和当点E在的上方时作利用勾股定理可求得②当时利用解直角三角形即可求解利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】解：①当时如图1当点在的下方时作交于点H．由折叠而来且．在中．在中则如图2当点E在的上方时作交于点H．同理可求得②如图3当时．是等边三角形．．在中．综上所述的长为或或．13（2024·江西·模拟预测）如图在菱形中对角线相交于点OE为的中点F为线段上一动点当为等腰三角形时的长为．【答案】或或3【分析】先利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质分别求出再利用等腰三角形的性质分类讨论根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形∴∵∴是等边三角形∴∴∴∵E为的中点∴∴当时∴当时如图过E点作于G∵∴∵E为的中点∴由勾股定理得在中∴当点F与点O重合时此时则综上的长为或或3故答案为：或或3．14（2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片中将三角形纸片折叠使点的对应点落在上折痕与分别相交于点当为等腰三角形时的长为．【答案】3或6或【分析】本题考查了直角三角形的性质勾股定理等腰三角形的性质以及折叠性质三角形内角和性质外角性质综合性较强难度较大正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出再进行分类讨论进行作图结合直角三角形的性质勾股定理等腰三角形的性质以及折叠性质三角形内角和性质外角性质逐一分析解答【详解】解：∵∴如图：时∴折叠∴∴是直角三角形的斜边上的中点∴此时点与重合∵折叠∴如图：时∵折叠∴∵∴∵∴此时点与点重合即如图：时∵∴∵折叠∴则∵∴是等腰直角三角形∴∵∴即解得综上：当为等腰三角形时的长为3或6或故答案为：3或6或15（2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1与相交于点是等腰直角三角形若求证：是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2是等腰直角的斜边G为边的中点E是的延长线上一动点过点E分别作与的垂线垂足分别为顺次连接得到求证：是等腰直角三角形．②如图3当点E在边上且①中其他条件不变时是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4在四边形中平分当时求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②是理由见解析（3）【分析】（1）分别证明即可得到结论（2）①如图连接结合（1）可得：为等腰直角三角形证明结合全等三角形的性质可得结论②如图连接同理可得：可得进一步可得为等腰直角三角形（3）如图将绕逆时针旋转得到过作于可得证明三点共线在等腰直角三角形中结合勾股定理求解再进一步可得答案．【详解】证明（1）∵为等腰直角三角形∴∵∴∴∴∴为等腰直角三角形（2）①如图连接∵是等腰直角的斜边G为边的中点∴

∴∵∴结合（1）可得：为等腰直角三角形∴∵∴四边形为矩形∴∴∴∴∵∴∴∴为等腰直角三角形②为等腰直角三角形成立理由如下：如图连接

同理可得：∴∴同理可得：∴为等腰直角三角形（3）如图将绕逆时针旋转得到过作于

∴∴∵∴∴∴三点共线∴在等腰直角三角形中∴∴．16（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在中对角线垂足为．求证：是菱形．

(2)知识应用：如图在中对角线和相交于点．

①求证：是菱形②延长至点连接交于点若求的值．【答案】(1)见解析(2)①见解析②【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出同理可得则进而根据四边相等的四边形是菱形即可得证（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形且得出即可得证②根据菱形的性质结合已知条件得出则过点作交于点根据平行线分线段成比例求得然后根据平行线分线段成比例即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形∴∵∴在中∴∴同理可得则又∵∴∴四边形是菱形（2）①证明：∵四边形是平行四边形．∴在中∴∴是直角三角形且∴∴四边形是菱形②∵四边形是菱形∴∵∴∵∴∴如图所示过点作交于点

∴∴∴．17（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处并绕点O逆时针旋转探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1若将三角板的顶点P放在点O处在旋转过程中当与重合时重叠部分的面积为__________当与垂直时重叠部分的面积为__________一般地若正方形面积为S在旋转过程中重叠部分的面积与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处在旋转过程中分别与正方形的边相交于点MN．①如图2当时试判断重叠部分的形状并说明理由②如图3当时求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处该锐角记为（设）将绕点O逆时针旋转在旋转过程中的两边与正方形的边所围成的图形的面积为请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）（参考数据：）【答案】(1)1,1(2)①是等边三角形理由见解析②(3)【分析】（1）如图1若将三角板的顶点P放在点O处在旋转过程中当OF与OB重合时OE与OC重合此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1当OF与BC垂直时OE⊥BC重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1一般地若正方形面积为S在旋转过程中重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明即可（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON可得结论②如图3中连接OC过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS）推出∠COM=∠CON=30°解直角三角形求出OJ即可解决问题（3）如图4-1中过点O作OQ⊥BC于点Q当BM=CN时△OMN的面积最小即S2最小．如图4-2中当CM=CN时S2最大．分别求解即可．【详解】（1）如图1若将三角板的顶点P放在点O处在旋转过程中当OF与OB重合时OE与OC重合此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1当OF与BC垂直时OE⊥BC重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1一般地若正方形面积为S在旋转过程中重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．理由：如图1中设OF交AB于点JOE交BC于点K过点O作OM⊥AB于点MON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心∴OM=ON∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°∴四边形OMBN是矩形∵OM=ON∴四边形OMBN是正方形∴∠MON=∠EOF=90°∴∠MOJ=∠NOK∵∠OMJ=∠ONK=90°∴△OMJ≌△ONK（AAS）∴S△PMJ=S△ONK∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD∴S1=S．故答案为：11S1=S．（2）①如图2中结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC∵O是正方形ABCD的中心∴BT=CT∵BM=CN∴MT=TN∵OT⊥MN∴OM=ON∵∠MON=60°∴△MON是等边三角形②如图3中连接OC过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN∠OCM=∠OCNOC=OC∴△OCM≌△OCN（SAS）∴∠COM=∠CON=30°∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°∵OJ⊥CB∴∠JOM=90°-75°=15°∵BJ=JC=OJ=1∴JM=OJ•tan15°=2-∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1．（3）如图4将沿翻折得到则此时则当在上时比四边形的面积小

设则当最大时最小即时最大此时垂直平分即则如图5中过点O作OQ⊥BC于点QBM=CN当BM=CN时△OMN的面积最小即S2最小．在Rt△MOQ中MQ=OQ•tan=tan∴MN=2MQ=2tan∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如图6中同理可得当CM=CN时S2最大．则△COM≌△CON∴∠COM=∵∠COQ=45°∴∠MOQ=45°-QM=OQ•tan（45°-）=tan（45°-）∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-）∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．18（2024·江西吉安·二模）如图在和中且．连接．(1)求证：．(2)在图2中点在同一直线上且点在上若求的值（用含的代数式表示）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定等等：（1）只需要证明．即可证明．（2）先根据对边对等角和三角形内角和定理得到．则．再证明．得到．则据此可得答案．【详解】（1）证明：．．．（2）解：在图2中点在同一直线上．．．即．．．．19（2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1在四边形中相交于点O且则与的数量关系为．迁移探究（2）如图2在四边形中相交于点O（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3在四边形中相交于点O且求的长．【答案】（1）（2）成立见解析（3）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质圆周角定理：（1）等积法判断线段之间的关系即可（2）过点作过点作等积法得到证明即可得出结论（3）根据得到四点共圆进而得到证明进行求解即可．【详解】解：（1）∵∴∴（2）成立理由如下：过点作过点作则：∵∴∴又∵∴∴（3）由（2）可知：∵∴四点共圆∴∵∴∴∴∵∴∴即：∴∴．20（2024·江西九江·二模）课本再现如图1四边形是菱形．（1）求的长．应用拓展（2）如图2为上一动点连接将绕点逆时针旋转得到连接．①直接写出点到距离的最小值②如图3连接若的面积为6求的长．【答案】（1）（2）①②【分析】（1）由菱形的性质可得再进一步的解答即可（2）①证明为等边三角形可得求解如图过作于可得当最小时最小可得当时最小再进一步解答即可②证明可得证明可得再进一步解答可得答案．【详解】解：（1）∵四边形是菱形．∴∴∴（2）①∵四边形是菱形∴∴为等边三角形∴由旋转可得：∴如图过作于∴当最小时最小∴当时最小此时∴∴∴点到距离的最小值为②∵四边形是菱形∴∴∵∴∴∴∵的面积为6∴∴∴∴．21（2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：问题提出：如图正方形中为对角线上的一个动点以为直角顶点向右作等腰直角．(1)操作发现：的最小值为_______最大值为_______(2)数学思考：求证：点在射线上(3)拓展应用：当时求的长．【答案】(1)8(2)见解析(3)当时【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时值最小当点P运动到点A或点C时最大．（2）分点P在线段与两种情况讨论连接只需证明利用三点构成的平角为时处在同一条直线上即可证明．（3）利用即可求解．【详解】（1）如图2由于点P运动到与垂直时根据“垂线段最短”可知最短则最短此时与对角线重合与重合∴．由于点P运动到点A或点C时斜线段最长因此最长此时：则（2）连接连接交于点则是等腰直角三角形．①如图2当点在线段上时

∵∴．∵∴∴．∴．∴点在线段的延长线上．②如图3当点在线段上时

同理．∴．∴．∵点在线段上．综上所述点在射线上上．（3）如图2设∵正方形边长为8∴∵∴即解得∴当时．22（2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：如图1在的内部过射线上的点作垂足分别为且．求证：平分．【知识应用】（2）如图2在中过内部一点作垂足分别为且连接．①求的度数②若求的长．【答案】（1）见解析（2）①②【分析】此题考查了全等三角形的判定角平分线的性质特殊角的三角函数和勾股定理判断出角平分线并用角平分线的性质求出角的度数是解题的关键．（1）此问只需证明即可（2）①判断出是角平分线用平分线的性质及三角形内角和是即可求出的度数②由①得构造特殊直角三角形从而求出,,在中用勾股定理即可求出．【详解】解：（1）证明：．在与中即平分．（2）①由（1）中定理得：．．②过点作于点．．．．23（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边高把它加工成正方形零件使正方形的一边在上其余两个顶点分别在上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高与边的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则的值为_______（直接写出结果）②如图4若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件求的值．【答案】【小问1】【小问2】理由见解析【小问3】①②【分析】本题考查了正方形的性质相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．（1）设正方形零件的边长为则证明得到代入计算即可得出答案（2）设每个正方形的边长为证明得出从而得到证明推出即可得证（3）①设每个正方形的边长为．证明得出从而得到证明推出即可得解②设每个正方形的边长为．证明得出证明推出即可得解．【详解】解：（1）设正方形零件的边长为则∵∴．∴∴解得．∴正方形零件的边长为．

（2）．理由如下：如图．设每个正方形的边长为．∵∴．∴∴．∴．∴∵∴∴∴．∴．

（3）①如图设每个正方形的边长为．∵∴．∴∴．∴．∴∵∴∴∴．∴②如图设每个正方形的边长为．∵∴．∴∴∴∵∴．∴．24（2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图已知：在四边形中用矩形的定义求证：四边形是矩形．(2)如图在四边形中是的中点连接且求证：四边形是矩形．拓展延伸(3)如图将矩形沿折叠使点落在边上的点处若图中的四个三角形都相似求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)．【分析】（）先证明四边形是平行四边形再由即可证明四边形是矩形（）证明根据性质得证明四边形是平行四边形再由即可证明四边形是矩形（）由折叠易知证明然后分当时和时即可求解．【详解】（1）证明：∵∴∴∴四边形是平行四边形又∵∴四边形是矩形（2）证明：∵E是

的中点∴∵∴∴又∵∴∴四边形是平行四边形又∵∴四边形是矩形（3）由折叠易知∴∴∵∴∴∴∴当时∴∴∴∴当时∴不符合题意综上所述符合题意的．25（2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．（1）如图1在平行四边形中对角线与交于点O求证：．知识应用（2）在中点P为的中点．延长到D使得延长AC到E使得连接．如图2连接若请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定全等三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定等等：（1）由平行四边形的性质得到证明即可证明（2）过点B作交于H连接则先证明是等边三角形得到进而证明是等边三角形得到接着证明四边形是平行四边形得到互相平分则证明得到则．【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形∴∴∴∴（2）证明如下：如图所示过点B作交于H连接∴∵∴即∴是等边三角形∴∴是等边三角形∴∴又∵∴四边形是平行四边形∴互相平分∵点P为的中点∴APH三点共线∴在和中∴∴∴．26（2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1在边长为4的正方形的中心作直角的两边分别与正