2024高考数学二轮复习-数学文化

【二轮复习T学文化】

专题19数学文化

以数学名著为背景以现代科技或数学时事为背景以数学家为背景

P1-3P4-6P6-9

考向一以数学名著为背景

【方法储备】

在数学发展的历史中，有很多的数学著作问世，它们起着数学传播的作用，使得前人的思想和方法得以传承，如

中国古代的《九章算术》、欧洲的《圆锥曲线论》等，而且这些书籍中的思想和方法在高中数学中也有所体现。

【典例精讲】

例1.(2023•安徽省・模拟题)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵

爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2,其中A45C为正三角形，AD,BE,CF围成的

ISJJEF也为正三角形.若D为BE的中点，则M)EF与&4BC的面积比为---------；设7兀=二，+〃，，

则＜+〃=.个、C

解：A4D8中经120。.设QE=］，则3=2,/------1—/LE\

由余弦定理得482=1+4-2x1X2XCOS120。=7,x.//

故ADE厂与A45C的面积比为相似比平方等于1:7.AB

4,、图1图2

由余弦定理得COS经氏4。=:大，经BADe(0"),

2J7

R3/7

所以sin经胡。=27•延长也交BC于G,所以sin经5G4=sin(经BAD+60o)=余，

AGF；

AQJR_____="'7.G

由正弦定理得.囊即高603Ji，所以/G=k，)^一

sm60"sm经BG4~'3

2万“«|

766

设〃，=4J+八「,因为4G4共线，所以x+y=1,因为“，=/£),所以N.l=xAa+yXC,

677

所以4+〃二二(％+y)二；

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【二轮复习T学文化】

【拓展提升】

练1-1(2023•湖北省・期中考试)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆

锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等

于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(~1,0)和5(2,1),且该

，5

平面内的点P满足|尸4|=•石|PB1,若点P的轨迹关于直线加x+号一2=0(m,n>0)对称，则，+-的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

解：设点P的坐标为(xj),因为|PA\=h\PB\,

所以(x+1)2+/=2J(Y-2)2+(y-吗，

化简得f+J—10x-4y+9=0,BP(x-5)2+(y-2)2=20,

所以点P的轨迹方程为(x—5)2+(y-2)2=20,

因为P点的轨迹关于直线3:+ny—2=0(m>0,”>0)对称，

所以圆心(5,2)在此直线上，即5加+2〃=2,m>0,n>0,

-25|24、IAn2Snrl~4n_25m

所以一+—=—(5m+2〃)(二+-)=10+-(—+——)10+J—•------=20,

mn)mn?mn\mn

4〃25m

当且仅当一二——,即〃二；加时，等号成立，

mn

故选区

练1-2(2023•山东省•期中考试)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：

今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，

取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代

语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一

个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标

杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈=5步)()

A.1200步B.1300步C.1155步D.1255步

解：设海岛的高为CD,CD=x步，CM=y步，八

由题可知，EM=FN=5步,跖V=1000步，阪4=123步，〃八

NB=127步,

N

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【二轮复习T学文化】

由EM//CD,得NAMEsRACD,有以=AM

CDAC

5123

即一=--------①.

x123+y

同理，由NF11CD,得WNFst^BCD，有网=旦过

CDBC

5127

即一②.

x1127+y

由①②解得%=1255.

故选D

练1-3（2023、江苏省•模拟题）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖般，在鳖膈Z—BCD中，

ABJ平面BCD,BC\CD,且4B=BC=CD,M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

叵石

A.B.—D.——

332

解：如图，正方体内三棱锥力一BCD即为满足题意的鳖廊4—5CQ,

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则B（0,0,0）,4（0,0,1）,C（0,1,0）,,M-11

......1

一—1]1、­/3777从"CD2yf^

则8"力®0.0）,geo卜画商I*不

则异面直线BM与CD夹角的余弦值为3

3

故选：A.

考向二以现代科技或数学时事为背景

【方法储备】

以现代科技或数学时事为背景的数学文化考题特别关注科普知识，注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展,

体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观。

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【二轮复习T学文化】

【典例精讲】

例2.（2022•全国乙卷理科）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行

的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛bj：%=1+b2=1+｛丁，b3+

……，依此类推，其中akWN*（k=1,2,…）,则（）

A.bi<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<b7

>

解：由已知bl=1+-,b2=1+…/1,我，故bl>b2；同理可得b2<b3,

—>-------1------

bi>b3,又因为a2a2+——，故b2<b4,

a3+a4

于是得bi>b2>b3>b4>b5>b6>b7>...,排除A.

1.1,

a2a2+11,故b2Vb6，排除c,而bi>b?>b&,排除B.

a3+"a6

故选D.

【拓展提升】

练2-1（2023•宁夏回族自治区•模拟题）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被

称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（E4ST）,是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望

远镜（图1）.观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛

物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面

所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）

解：如图所示建立直角坐标系，

设抛物线的标准方程为，=2py（p>0）,

由题意可知点A（2,1）在抛物线上，

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1二被习一ft学文化】

：22=X1,解得p=2

:焦点F（0,1）,

:焦点到顶点的距离为1,

故选4

练2-2（2023•山东省•月考试卷）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，

在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道•已知火箭的

最大速度v（单位：版/s）与燃料质量〃（单位：kg）、火箭质量加（单位：馆）的函数关系为v=21n（l+!）.若已

知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为11•/s,则火箭需要加注的燃料质量为（参考数值为ln2〜0.69,

In244.69~5.50,结果精确到0.0k,It=lOOOAg）（）

A.243.6%B.244.69/C.755.44/D.890.23/

解：依题意，m=3100,

令v=21n（1+-）=11,贝UIn（1+—）2=Ine11,

11003100

所以（1+2L）2=e",l+匕=发5,工=f5-1~*24469-1

=244.69-1=243.69,

所以M=3100x243.69=755439炫~755.44?.

故选：C.

练2-3（2023•河南省・模拟题）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为"ChatGTP”的人工智能聊天程序

进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是

G

以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=4£）5,其中L表示每一轮优化时使

用的学习率，人表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减

的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减

到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g2~0.3010）

A.35B.36C.37D.38

GG

解：由于£=所以Z=0.8x0后，

U55~

依题意0.5=0.8x2）12牵。二,则上二0.8x（小，

88

<C।

由£=0.8x（<0.2得（一广<-,

8K4

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【二轮复习T学文化】

5-1G5

1g(^12<1g一,一1g-<-1g4,

58541285

12lg424lg2241g224根0.3010

lg8-lg531g2-(1-lg2)41g2-1<03010-1

所以所需的训练迭代轮数至少为36.

故选A

考向三以数学家为背景

【方法储备】

数学历史名题或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或与深刻的数学内容相结合，或者深刻揭示了实质性的

数学思想，或者与经典的解法相互关联，以中外数学家发现的数学名题为背景命题，也是以数学文化为背景的高

考试题的一大特色.

【典例精讲】

例3.(2023•山东省・期末考试)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他名

字定义的函数称为高斯函数/(x)=[A],其中卜]表示不超过x的最大整数.已知正项数列｛。“｝的前n项和为5,,

I/I>I

且S"=:+---，令，"■"■，则[a++...+]=()

2(arJ、-+、一,

A.7B.8C.17D.18

1(1)

解：当”=1时，国=%=一|%+—|,

2(q)

解得%=1(负值舍去).

由4=S,2)

1(1)

可得S“WS,「KI，

1nn-\)

所以Sn+S“T=-1—,即席=1,

一>一1

所以数列｛s：｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

故巧=1+(〃-1)根1=n,即二《，

所以“=*=工7%弋GH

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__________________________________________【二敬习一ft学文化】

所以4+与+…+%="」+0一-万+斤/+-+而7-屈）

=1(9+='d(9+

JlOI+J2)

3399

由11<\+尸<12知，—<~~一J<9

4J101+J2

69

所以-<“+&+…+49<9

X

故[4+b2+…+伪9]=8,

故选：B.

【拓展提升】

练3-1（2023•新疆维吾尔自治区•模拟题）数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是

黄金分割比加二生「的近似值，黄金分割比还可以表示成2sinl8。，则一；-------等于（）

22cos227。-1

A4BJ7+1C2D61

2

解s由题可知2sinl80=m=八二!,所以病二4sin180.

2

22

则m4-m_2sin18,4-4sin18o_2sinl80.2cosl8o_2sin36o

2cos227,-12cos227。-1cos54Ocos54O

练3-2.（2023•辽宁省・期末考试）康托（CQm"）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了

现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区

间［0,1］均分为三段，去掉中间的区间段（;，［）,当记为第一次操作；再将剩下的两个区间［0」］」［，1］分别均分

为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各

个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是

“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于（，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：

1g2-0.3010,1g3-0.4771）（）

A.6B.8C.10D.12

解：第一次操作去掉区间长度为,;

3

12

第二次操作去掉两个区间长度为［的区间，长度之和为3；

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【二轮复习一数学文化】

第三次操作去掉四个区间长度为行的区间，长度之和为方；

I2

第n次操作去掉2”T个区间长度为一的区间，长度之和为丁

3.3

122"T!口一号）"]

于是进行n次操作后去掉的区间总长度为S,=3+9++亍=——2

I-——

3

所以呜Y，

心74

所以lg2Ig3-lg2Ig3-lg2，

所以需要操作的次数n的最小值为8,

故选：B.

练3-3（2023•浙江省•期末考试）（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇，用以标明两

个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点/（%,%）,8（%,%）的曼哈顿距

离=%一引+di-必，则下列结论正确的是（）

A.若点尸(2,4),。(一2,1),则d(尸,0)=7

B.若点M(-l,0),N(l,0),则在x轴上存在点P,使得d(尸,M)+d(尸,N)=1

C.若点〃（2,1）,点P在直线x—2歹+6=0上，则4（尸,〃）的最小值是3

D,若点M在圆f