2023-2024学年长沙市中考数学模试卷含解析

2023-2024学年长沙市中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别

为m,n,则二次函数.---的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）.

A.—B.-C.—D.-

,3P二二

2,弘扬社会主义核心价值观，推动文明城市建设.根据“文明创建工作评分细则”，10名评审团成员对我市2016年度文

明刨建工作进行认真评分，结果如下表:

人数2341

分数80859095

则得分的众数和中位数分别是（）

A.90和87.5B.95和85C.90和85D.85和87.5

1V2—2x+1

3.计算（1——）+工的结果是（）

X

1Xx-1

A.x—1B.------C.------

x-1x-1X

2

4.已知二次函数y=x+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P,若SAAPB=1,则b与C满足的关系是（）

A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0

5.下列计算正确的是（）

A.2X2+3X2=5X4B.2X2-3x2=-1

2

C.l^-rix2=—x2D.Ix29^2=6x4

3

6.下列计算正确的是（）

A.-a4b-ra2b="a2bB.（a-b）2=a2-b2

C.a2*a3=a6D.-3a2+2a2=-a2

7.已知a-b=l,贝!Ja3-a2b+b2-2ab的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知直线y=ax+b(a声0)经过第一，二，四象限，那么直线丫=^*:一定不经过()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

9.四的值是()

A.±3B.3C.9D.81

10.如图，已知5。是人短。的角平分线，石。是的垂直平分线,44c=90°,AD=3,则CE的长为()

C.4D.3A/3

11.根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发

送旅客3.82亿人次.3.82亿用科学记数法可以表示为()

A.3.82X107B.3.82x10sC.3.82xl09D.O.382xlO10

12.下列计算正确的是()

A.2x-x=lB.x2*x3=x6

C.(m-n)2=m2-n2D.(-xy3)2=x2y6

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，线段AB两端点坐标分别为A(-1,5)、B(3,3),线段CD两端点坐标分别为C(5,3)、D(3,-1)

数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐

D

14.钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为.

15.如图，四边形OABC中，AB〃OC,边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，点

D为AB的中点，CD与OB相交于点E,若△BDE、AOCE的面积分别为1和9,反比例函数y=^的图象经过点B,

贝！Ik=.

16.如图所示，扇形OMN的圆心角为45。，正方形A1B1C1A2的边长为2,顶点Ai,A2在线段OM上，顶点所在弧

MN上，顶点G在线段ON上，在边A2G上取点B2,以A2B2为边长继续作正方形A2B2c2A3,使得点C2在线段ON

,依次规律，继续作正方形，则A2018M=

18.如图，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=15°,AB的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点E,连接BD.若

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）计算：回+百+2018°

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是（3,0）,点C的坐

标是（0,-3）,动点尸在抛物线上.

（1）b=,c=,点5的坐标为；（直接填写结果）

（2）是否存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存

在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点O,过点。作x轴的垂线.垂足为尸，连接EF,当线段EF

的长度最短时，求出点尸的坐标.

21.(6分)先化简，再求值：x(x+1)-(x+1)(x-1),其中x=L

22.(8分)如图，在矩形中，对角线AC,50相交于点0.

(1)画出AA03平移后的三角形，其平移后的方向为射线AO的方向，平移的距离为4。的长.

(2)观察平移后的图形，除了矩形外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论.

23.(8分)如图，AB是。。的直径，CD与。。相切于点C,与AB的延长线交于D.

(1)求证：△ADC-^ACDB；

3

(2)若AC=2,AB=—CD,求。O半径.

2

24.(10分)抛物线M：丁=依2-4依+。—与x轴交于A,6两点(点A在点3左侧)，抛物线的顶点为。.

1-

~01234^

-1-

-2-

(1)抛物线"的对称轴是直线；

(2)当AB=2时，求抛物线"的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，直线/：丁=依+6(左。0)经过抛物线的顶点。，直线工"与抛物线M有两个公共点，它

们的横坐标分别记为X],%，直线'=”与直线/的交点的横坐标记为演(毛>0)，若当—2W/W—1时，总有

xl-x3>x3-x2>Q,请结合函数的图象，直接写出左的取值范围.

25.(10分)如图，抛物线y=；x?+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x

轴于点E,已知OB=OC=1.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)连接BD,F为抛物线上一动点，当NFAB=NEDB时，求点F的坐标；

(3)平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上，且PQ=」MN

2

时，求菱形对角线MN的长.

26.(12分)如图，△ABC中，AB=AC=4,D、E分另1］为AB、AC的中点，连接CD,过E作EF〃DC交BC的延长

线于F；

(1)求证：DE=CF；

(2)若NB=60。，求EF的长.

27.(12分)如图，PB与。。相切于点B,过点B作OP的垂线BA,垂足为C,交。。于点A,连结PA,AO,AO

的延长线交。O于点E,与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是。。的切线；

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

分析：本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与x轴有两个不同的交点，则最低点要小

于0,即4n-m2<0,再把m、n的值一一代入检验，看是否满足.最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总

个数即可.

解答：解：掷骰子有6x6=36种情况.

根据题意有：4n-m2<0,

因此满足的点有：n=l,m=3,4,5,6,

n=2,m=3,4,5,6,

n=3,m=4,5,6,

n=4,m=5,6,

n=5,m=5,6,

n-6,m=5,6,

共有17种，

故概率为：17+36=二.

故选C.

点评：本题考查的是概率的公式和二次函数的图象问题.要注意画出图形再进行判断，找出满足条件的点.

2、A

【解析】

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中

出现次数最多的数据，可得答案.

解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；

排序后处于中间位置的那个数，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是87.5；

故选：A.

“点睛”本题考查了众数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键.注意中位数：将一组数据按照从小

到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数

据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

3、B

【解析】

先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得.

【详解】

解：原式=（---）（）x-lX1

+xT-----•

xxxx^l

故选B.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.

4、D

【解析】

2

｝）4r—hII

抛物线的顶点坐标为P（-5，空了匕），设A、B两点的坐标为A（再，0）、B（x2,0）则AB=|石—司，根据

根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而SAAPB=L然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.

【详解】

解：V菁+々=~b,=c,

•'«AB=卜一尤21=+/)2—=sib?-4ac)

•.,若SAAPB=I

.•.SAAPB=1XABXM1=1,

24

.1r3------b1-4c

x

-4c---二］,

设J/-4〃c=s，

则S3=8，

故s=2,

>]b2—4c=2,

人2一4c—4=0.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性

比较强.

5、D

【解析】

先利用合并同类项法则，单项式除以单项式，以及单项式乘以单项式法则计算即可得到结果.

【详解】

A、2x2+3x2=5x2,不符合题意；

B、2x2-3x2=-x2,不符合题意；

2

C、2x2-r3x2=—,不符合题意；

3

。、2X2#3x2=6x4,符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了合并同类项法则，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则，正确掌握运算法则是解题关键.

6、D

【解析】

根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【详解】

-二'二一二；二二-二1故选项A错误，

(C-Dj;=二…--故选项B错误，

--T=一故选项C错误，

-二二,+二二一二.故选项D正确，

故选：D.

【点睛】

考查整式的除法，完全平方公式，同底数幕相乘以及合并同类项，比较基础，难度不大.

7,C

【解析】

先将前两项提公因式，然后把a-5=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算.

【详解】

a3-a2b+b2-2ab-a2(a-b')+b2-2ab=a2+b2-2ab=(a-b)2=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结

合.

8、D

【解析】

根据直线y=ax+b(a邦)经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限,

不经过哪个象限，本题得以解决.

【详解】

•••直线y=ax+b(a加)经过第一，二，四象限，

/.a<0,b>0,

...直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选D.

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

9、C

【解析】

试题解析：3

:,也的值是3

故选C.

10、D

【解析】

根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及NA=90。可求得NC=NDBC=NABD=30。,从而可得CD=BD=2AD=6,

然后利用三角函数的知识进行解答即可得.

【详解】

•••ED是BC的垂直平分线，

/.DB=DC,

/.ZC=ZDBC,

VBD是4ABC的角平分线，

；.NABD=NDBC,

VZA=90°,/.ZC+ZABD+ZDBC=90°,

/.ZC=ZDBC=ZABD=30°,

.".BD=2AD=6,

；.CD=6,

ACE=3也,

故选D.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形

熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.

11、B

【解析】

根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决.

【详解】

解：3.82亿=3.82x108,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.

12、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数塞的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、x2»x3=x5,错误；

C>(m-n)2=m2-2mn+n2,错误；

D、（-xy3）2=x2y6,正确；

故选D.

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、（1,1）或（4,4）

【解析】

分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂

直平分线交于点E,点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直

平分线交于点M,点M即为旋转中心•此题得解.

【详解】

①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,如图1所示:

-A点的坐标为（一1,5）,B点的坐标为（3,3）,

.•.E点的坐标为（U）；

②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,如图2所示:

A点的坐标为（一1,5）,B点的坐标为（3,3）,

.,.]\4点的坐标为（4,4）.

综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).

故答案为(1,1)或(4,4).

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键.

14、1.7xl05

【解析】

解：将170000用科学记数法表示为：1.7x1.故答案为L7xl.

15、16

【解析】

根据题意得SABDE：SAOCE=1：9,故BD：OC=1:3,设D(a,b)则A(a,0),B(a,2b),得C(0,3b),由SAOCE=9得ab=8,

故可得解.

【详解】

解：设D(a,b)贝!JA(a,0),B(a,2b)

SABDE:SAOCE=1：9

ABD：OC=1:3

・・・C(0,3b)

3

AACOE高是OA的一，

4

・31

・・SAocE=3bax—x—=9

42

解得ab=8

k=ax2b=2ab=2x8=16

故答案为16.

【点睛】

此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标

有关的形式.

16、2书—22015■

【解析】

探究规律，利用规律即可解决问题.

【详解】

VZMON=45°,

二AC2B2C2为等腰直角三角形，

.,.C2B2=B2C2=A2B2.

•.,正方形A2B2C2A2的边长为2,

AOA3=AA3=A2B2=yA2C2=2.OA2=4,OM=OB2=后f=2有，

同理，可得出：OAn=An-2An=LAn-2An-2=,

22

.1

•••OA2028=A2028A2027=,

.厂1

*••A2028M=2y/5-^2015・

故答案为2百-

【点睛】

本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型.

17、272.

【解析】

试题分析：本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键.依据算术平方根的定义回答

即可.

由算术平方根的定义可知：8的算术平方根是血，

Vs=2s/2，

.•.8的算术平方根是2®.

故答案为20.

考点：算术平方根.

18、1

【解析】

解：•：DE是AB的垂直平分线，；.AZ>=5£)=14,.,.NA=NA5O=15°,.,.N3Z>C=NA+NA5£)=15°+15°=30°.在RtA5C£)

中，BC=-BD=-xl4=l.故答案为1.

22

点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和的性质，30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解答本题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、2

【解析】

根据实数的混合运算法则进行计算.

【详解】

解：原式=&-(72-1)+1=72-72+1+1=2

【点睛】

此题重点考察学生对实数的混合运算的应用，熟练掌握计算方法是解题的关键.

20、(1)-2,-3,(-1,0)；(2)存在P的坐标是(1,—4)或(-2,5)；(1)当EF最短时，点P的坐标是：(巨巫，

2

【解析】

(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得氏c的值，然后令产0可求得点5的坐标；

(2)分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与尸P2两点先求得AC的解析式，然后可求得和PM的解析

式，最后再求得PiC和尸2A与抛物线的交点坐标即可；

(1)连接先证明四边形。汝)尸为矩形，从而得到O0=E尸，然后根据垂线段最短可求得点。的纵坐标，从而得

到点尸的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点尸的坐标.

【详解】

c=-3

解：(1)•••将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：八c,c,

9+3b+c=0

解得：b=-2,c=-1,

：.抛物线的解析式为y=£-2x-3.

,••令必―2x—3=0，解得：%=-1,%=3,

.•.点3的坐标为(-1,0).

故答案为~2；-1；(-1,0).

（2）存在.理由：如图所示:

①当NACPi=90。.由（1）可知点A的坐标为（1,0）.

设AC的解析式为-1.

:将点A的坐标代入得1k-1=0,解得k=l,

二直线AC的解析式为y=x-l,

直线CPi的解析式为-x-1.

,•,将y=-x_]与y=/联立解得％=],x2=0（舍去）,

二点Pi的坐标为（1,-4）.

②当NPMC=90。时.设APi的解析式为严-x+b.

•.,将x=l,y=0代入得：-1+5=0,解得方=1,

/.直线APi的解析式为产7+1.

,将y=-x+1与y=炉-2x-3联立解得X]=-2,x2=l（舍去），

二点P2的坐标为（-2,5）.

综上所述，尸的坐标是（1,-4）或（-2,5）.

（1）如图2所示：连接0"

由题意可知，四边形OFOE是矩形，则OZ>=E尸.根据垂线段最短,可得当O0_LAC时，0。最短，即E尸最短.

由（1）可知，在RQA0C中，'：OC=OA=1,ODVAC,

.•.O是AC的中点.

又,：DF〃OC,

13

：.DF=-0C=-,

22

3

.•.点P的纵坐标是-G，

2

•,.X2-2X-3=--,解得：x=2±M,

22

・••当£户最短时，点尸的坐标是：（212回，--）或（竺叵一•

222

21、x+1,2.

【解析】

先根据单项式乘以多项式的运算法则、平方差公式计算后，再去掉括号，合并同类项化为最简后代入求值即可.

【详解】

原式=x?+x-（x2-1）

=x2+x-x2+l

=x+l,

当x=l时,原式=2.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据整式的运算法则先把知识化为最简是解决问题的关键.

22、（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED是菱形.理由见解析.

【解析】

(1)根据图形平移的性质画出平移后的ADEC即可；

(2)根据图形平移的性质得出AC〃DE,OA=DE,故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB,

故DE=CE,由此可得出结论.

【详解】

(1)如图所示；

BC...........

(2)四边形OCED是菱形.

理由：VADEC由4AOB平移而成，

，AC〃DE,BD〃CE,OA=DE,OB=CE,

•*.四边形OCED是平行四边形.

•.•四边形ABCD是矩形，

/.OA=OB,

/.DE=CE,

二四边形OCED是菱形.

【点睛】

本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.

23、(1)见解析；(2)好

【解析】

分析：(1)首先连接CO,根据CD与。O相切于点C,可得:ZOCD=90°；然后根据AB是圆O的直径,可得:/ACB=90。,

据此判断出NCAD=NBCD,即可推得AADC^ACDB.

(2)首先设CD为x,则AB=32x,OC=OB=34x,用x表示出OD、BD；然后根据^ADC^ACDB,可得:ACCB^CDBD,

据此求出CB的值是多少，即可求出。O半径是多少.

详解：

(1)证明：如图，连接CO,

密D

；CD与。。相切于点C,

/.ZOCD=90°,

；AB是圆O的直径，

/.ZACB=90°,

.♦.NACOh/BCD,

VZACO=ZCAD,

.,.ZCAD=ZBCD,

在/kADC^ACDB中，

ACAD=ZBCD

ZADC=ZCDB

/.△ADC^ACDB.

(2)解：设CD为x,

33

贝!]AB=—x,OC=OB=-x,

24

,.,ZOCD=90°,

•••OD=7(9C2+CD2=X)2+X2=1x,

531

/.BD=OD-OB=-x--x=-x,

442

由(1)知，AADCs/^CDB,

.ACCD

••=，

CBBD

2_x

即方一「，

-x

2

解得CB=L

**-AB=^AC-+BC-=6，

...(DO半径是好.

2

点睛：此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握.

1,35

24(1)x=2；(2)y=-x~+2.x—；(3)k>一

224

【解析】

(1)根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线"的对称轴；(2)根据抛物线的对称轴及=2

即可得出点A、3的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线〃的函数表达式；(3)利用配方法求

出抛物线顶点。的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出6<-2,再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出

2k+b=-,结合人的取值范围即可得出左的取值范围.

2

【详解】

(1),抛物线M的表达式为y=ax?-4ax+a-l,

抛物线M的对称轴为直线x=-士=2.

2a

故答案为：x=2.

(2)•..抛物线y=ax2—4ax+a—l的对称轴为直线x=2,AB=2,

.•.点A的坐标为(LO),点3的坐标为(3,0).

将A(l,0)代入y=加-4ax+a-l,得：a-4a+a-l=0,

解得：a=—,

2

1,3

抛物线M的函数表达式为y=-5炉+2工一万.

(3)•：y=--x2+2x--=--(x-2Y+-,

222V72

.•.点。的坐标为J,；)

•.•直线y=n与直线/的交点的横坐标记为&(项>0),且当—1时，总有石-退>七-%>0,

/.X2<X3<X1,

Vx3>0,

工直线/与y轴的交点在(0,-2)下方，

b<—2.

•.•直线/：丁="+。(kwO)经过抛物线的顶点。，

2k+b=-,

2

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)

利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；(2)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(3)依照题意

画出图形，利用数形结合找出.

[97

25、(1)丁=5X2—2工—6,点。的坐标为(2,-8)(2)点F的坐标为(7,5)或(5,5)(3)菱形对角线MN的长为病+1

或质-1.

【解析】

分析：(1)利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，ZFAB=ZEDB,tanZFAG=tanZBDE,求

出尸点坐标.(3)分类讨论，当MN在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.

详解:

OB=OC=I,

0),C(0,-1).

1,

—x6+6b+c=0

2

c=-6

b=-2

解得

c=-6,

1

・・・抛物线的解析式为y=-%29-2x-6.

ii

V—x2-2x-6=—(x-2)9-8,

・••点D的坐标为(2,-8).

o

1,

(2)如图，当点歹在x轴上方时，设点尸的坐标为(x,万厂―2x—6).过点尸作尸轴于点G,易求得。4=2,则

AG=x+2,FG=-x—2x—6.

2

VNFAB=NEDB,

tanNFAG=tanNBDE,

%—2x—6i

n即rl2=j_，

x+22

解得%=7,%=-2(舍去).

,9

当x=7时，y=—,

9

••・点F的坐标为(7,-).

2

7

当点尸在x轴下方时，设同理求得点厂的坐标为(5,

2

97

综上所述，点尸的坐标为(7,二)或(5,

22

(3)'.•点P在x轴上，

...根据菱形的对称性可知点尸的坐标为(2,0).

如图，当在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.

1

'：PQ^-MN,

：.MT=2PT.

设TP=n,贝！|MT^ln.：.M（2+2n,n）.

•.•点M在抛物线上，

1、2

=5（2+2〃）-2（2+2〃）-6,即2〃2-8=0・

解得耳=二普，巧=匕普（舍去）.

MN=2MT=4n=465+1.

当MN在x轴下方时，设TP=",得M（2+2〃，力）.

•.•点M在抛物线上，

1