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课时跟踪练(六十一)A组基础巩固1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为()A.互斥但非对立事件 B.对立事件C.和事件是不可能事件 D.以上都不对解析:由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件.答案:A2.设事件A,B,已知P(A)=eq\f(1,5),P(B)=eq\f(1,3),P(A∪B)=eq\f(8,15),则A,B之间的关系一定为()A.两个任意事件 B.互斥事件C.非互斥事件 D.对立事件解析:因为P(A)+P(B)=eq\f(1,5)+eq\f(1,3)=eq\f(8,15)=P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.故选B.答案:B3.(2019·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.解析:记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.答案:C4.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1,7),都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35) C.eq\f(17,35) D.1解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=eq\f(1,7)+eq\f(12,35)=eq\f(17,35),即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).答案:C5.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上”的频率为()A.49 B.0.5 C.1 D.解析:由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上”的频率为eq\f(51,100)=0.51.答案:C6.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,则事件“抽到的不是一等品”的概率为________.解析:“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件,所以所求概率为1-P(A)=0.35.答案:7.某城市2018年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________.解析:由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为P=eq\f(1,10)+eq\f(1,6)+eq\f(1,3)=eq\f(3,5).答案:eq\f(3,5)8.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5.则实数a的取值范围是________.解析:由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P(A)<1,,0<P(B)<1,,P(A)+P(B)≤1,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2-a<1,,0<4a-5<1,,3a-3≤1,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<2,,\f(5,4)<a<\f(3,2),,a≤\f(4,3),))所以eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).答案:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(4,3)))9.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):项目“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为eq\f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)=eq\f(400,400+100+100)=eq\f(2,3).(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A)约为eq\f(400+240+60,1000)=,所以P(A)约为1-=0.3.10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)123已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x,y的值;(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.(2)记A:一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟.A1:该顾客一次购物的结算时间为分钟.A2:该顾客一次购物的结算时间为3分钟.将频率视为概率可得P(A)=P(A1)+P(A2)=eq\f(20,100)+eq\f(10,100)=,所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.B组素养提升11.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,若B表示B的对立事件,则一次试验中,事件A+B发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析:掷一个骰子的试验有6种可能的结果.依题意P(A)=eq\f(2,6)=eq\f(1,3),P(B)=eq\f(4,6)=eq\f(2,3),所以P(B)=1-P(B)=1-eq\f(2,3)=eq\f(1,3),因为B表示“出现5点或6点”的事件,因此事件A与B互斥,从而P(A+B)=P(A)+P(B)=eq\f(1,3)+eq\f(1,3)=eq\f(2,3).答案:C12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,10) C.eq\f(4,5) D.eq\f(9,10)解析:设被污损的数字为x,则x甲=eq\f(1,5)(88+89+90+91+92)=90,x乙=eq\f(1,5)(83+83+87+99+90+x),若x甲=x乙,则x=8.若x甲>x乙,则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7,故P=eq\f(8,10)=eq\f(4,5).答案:C13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是________,他属于不超过2个小组的概率是________.解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P=eq\f(11+10+7+8,6+7+8+8+10+10+11)=eq\f(3,5).“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-eq\f(8,6+7+8+8+10+10+11)=eq\f(13,15).答案:eq\f(3,5)eq\f(13,15)14.(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费aaaaa2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60
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