2024年广东省中考数学模拟题汇编：锐角三角函数（附答案解析）

2024年广东省中考数学模拟题汇编：锐角三角函数

一.选择题（共10小题）

1.如图，在△ABC中，ZC=90°,点D、E分别在BC、AC上，AD,BE交于F,若BD

=CD=CE,AF=DF,则tan/ABC的值为（）

1

2.已知△ABC中，sinA=tanB=l,则△ABC的形状（）

A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形D.无法确定

3.如图，NB=60°,AB=4,AC=6,则cosC的值是（）

4.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sin/BAC的值是（）

5.要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中NB=/D=NE=/F=/G=/H=ci,ZA=

ZC=P，且a+0=18O°.若AB=15mBC=2.5m,则这根铁丝至少长（）

C.6.5mD.8m

6.在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为

a,那么sina的值等于()

A.2B.-C.—D.V5

25

7.如图，在Rtz\A3C中，ZC=90°,BC=逐，点。是AC上一点，连接若tanN

1

A=I，tanZCDB=0.5,则AO的长为（）

8.如图，点A、B、。都在格点上，则sinA=()

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4,3),。尸与x轴正半轴的夹角为a,则sina

的值为()

10.如图，小明在M处用高1.5〃z（即CM=1.5加的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为

30°,将测角仪沿旗杆方向前进20根到N处，测得旗杆顶端3的仰角为60。，则旗杆

AB的高度为（）

A.11.5mB.20m

C.10V3mD.（10A/3+1.5）/7?

二.填空题（共5小题）

11.如图，飞机A恰好飞行到地面目标3的正上方2000米处，此时飞行员测得另一地面目

标C的俯角为30°,则A、C之间的距离为米.

12.如图，某河堤迎水坡AB的坡比i=1：V6,河堤高BC=3m,则河堤的坡面AB的长为

m.

B

13.如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么tan/AOB的值为

0

14.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东

300方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔尸

的距离约为海里.（参考数据：sin37°«|,cos37°«ltan37°«

□j

1

15.如图，在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,。是BC上一点，若tan/BAO=宁

则BD的长为.

三.解答题（共5小题）

16.如图，小明家4和商店C都在地铁站。的正西方向，小亮家2在地铁站的西北方，且

在小明家北偏东15°方向.一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米

的商店C时，小亮家B恰在商店C的北偏西30°方向.（参考数据:鱼«1.41,V6«2.45）

（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；

（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿8。方向前往

地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁

（1）求的长；

（2）嘉琪认为：如果本题去掉“如图”两个字，那A3的长还有另外一个值，请同学们

直接写出另外一个值.

B

0A

18.计算：

（1）4sin60°-3tan30°+2cos45°,sin45°；

（2）在中，ZC=90°,BC=5,AC=12,求/A的余弦值和正切值.

19.昆明西山万达广场是万达集团斥资100亿元打造的第100座开业万达广场.项目位于昆

明市西山区前兴路东侧，是“昆明金产区”核心.其中万达•昆明双塔写字楼是昆明城市

新地标，定位为西南金融总部基地.在大楼的顶部有一块广告牌，广告牌位于写字楼顶

部如图所示的AB两点之间.某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们

选定点D为观测点，测得广告牌顶端A的仰角为33°,测得广告牌底B的仰角为30°,

已知楼高2C=3OO7〃，请你帮他们求出广告牌AB的高度.（结果保留整数）（参考数据:

sin33°^0.54,cos33°-0.83,tan33°心0.65,V3«1.732）

20.某学校兴趣小组开展实践活动，并在活动后实地测量了某建筑物的高度.方法如下：如

图,首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得建筑物顶部M的仰角为35°,

然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得建筑物顶部M的仰角为42°,最后测量

出A,3两点间的距离为12米，并且N,B,A三点在一条直线上，连接CZ）并延长交

MN于点、E,请你利用他们的测量结果，计算此建筑物的高度.（参考依据：sin35。

心0.57,cos35°心0.82,tan35°七0.70,sin42°"0.67,cos42°^0.74,tan42°-0.90）

M

NBA

2024年广东省中考数学模拟题汇编：锐角三角函数

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.如图，在△ABC中，ZC=9O°,点。、E分别在BC、AC上，AD.BE交于F,若BD

=CD=CE,AF=DF,则tan/ABC的值为（）

4

D.-

5

【考点】解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】C

【分析】如图，过A作AG〃BC,交BE的延长线于G,证明AAG厂义△。8尸（AAS）,

1AEAG1[W

贝MG=BD=3BC,证明则一=一=一,解得/E=^CE,AC=^CE,

2CEBC222

根据tern乙4BC=料,计算求解即可.

【解答】解：如图，过A作AG〃BC,交BE的延长线于G,

在AAG/和△08月中，

Z.G=乙DBF

9：\/.AFG=乙DFB,

AF=DF

:•丛AGF空丛DBF(AAS),

1

：.AG=BD“BC,

■:NG=NCBE,NAEG=NCEB,

AAEG^ACEB,

#AEAG1

••CE-BC-2’

解得ZE=；CE,

：.AC=|-CE,

/CiCE3

/•tCLTlZ-ABC=777；—CL=~TJ

BC2CE4

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识.解

题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

1

2.已知△ABC中，sinA=tanB=L则△ABC的形状（）

A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形D.无法确定

【考点】特殊角的三角函数值.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据特殊角三角函数值，可得NA与的值，根据三角形的形状，可得答案.

【解答】解：由sinA=］得NA=30°,

tanB=1,得/B=45°,

ZC=180°-45°-30°=105°,

故是钝角三角形，

故选：C.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，求出/A和的度数是解题的关键.

3.如图，ZB=60°,AB=4,AC=6,则cosC的值是（）

【考点】解直角三角形.

【专题】常规题型；模型思想.

【答案】D

【分析】本题考查了余弦的定义，构造直角三角形，根据余弦的定义求解即可.

【解答】解：过A作AOLBC,垂足是D

在Rt/XAB。中，ZB=60°，

：.ZBAD=30°,

：.BD=2,AD=V42-22=V12=2A/3,

在Rt^ADC中，CD=J62-(2V3)2=V24=2V6,

.cCD246V6

••COSC=_777=-7-=

ACo3

故选：D.

【点评】本题考查了余弦的定义，熟悉锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sin/BAC的值是（）

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】A

【分析】勾股定理求出AB的长，利用正弦的定义，进行计算即可.

【解答】解：设小正方形的边长为1,由勾股定理，得：AB=5V2,

过点B作BD±AC,

由图可知：BD=5,

•9•SITIZ-BAC=

故选：A.

【点评】本题考查网格中计算三角函数值.熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关

键.

5.要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中/8=/。=/七=//=/6=/"=。，ZA=

NC=0,且a邛=180。.若AB=1.5m,BC=2.5m,则这根铁丝至少长()

AH

\\G__F

\__Z2z^

BC

A.4mB.5.5mC.6.5mD.8m

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】D

【分析】根据平行线的判定和性质，平移不改变图形的形状和大小，求出弯曲部分的长

即可.

【解答】解：•.•/B=/O=/E=/P=/G=/”=a,ZA=ZC=p,且a+0=18O°.

：.AH//GF//ED//BC,HG//FE//DC//AB,

由平移的性质，则AH+GP+ED=BC=2.5机，HG+FE+DC=AB=1.5m,

这根铁丝至少的长度为：2.5X2+1.5X2=8(m)；

故选：D.

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，图形的平移，图形的平移只改变图形的位

置，而不改变图形的形状和大小.

6.在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为

a,那么sina的值等于（）

1V5-

A.2B.—C.—D.V5

25

【考点】解直角三角形；坐标与图形性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】C

【分析】先画出图象，作ABLx轴于点8,然后根据勾股定理可以得到。4的长，再根

据锐角三角函数，即可求得sina的值.

【解答】解：过点A作轴于点B,如图所示：

：.0B=2,AB=1,

：.OA=y/OB2+AB2=V5,

..AB14S

■'Slna=0A=^=^

故选：C.

【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利

用数形结合的思想解答.

7.如图，在中，ZC=90°,BC=V5,点。是AC上一点，连接BD.若tan/

1

A=j,tanZCZ)B=0.5,则AD的长为()

C.3D.2V5

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】B

【分析】根据两个正切值求出AC、DC,即可得到答案；

【解答】解：由题意可得，

1

tanZ-A—tanZC£>B=0.5,NC=90°,

BC1BC

：.—=一，­=0.5,

AC3DC

'：BC=V5,

：.DC=2遮，AC=3V5,

：.AD=AC-DC=34—=布,

故选：B.

【点评】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比

邻边.

8.如图，点A、B、。都在格点上，则sinA=()

【考点】解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】D

【分析】过点0作0Z)_LA8交AB延长线于点D,根据勾股定理求出AO的长，然后根

据sMA=臆即可得出答案.

【解答】解：过点O作0DLA8交延长线于点D,

则AO=4,0D=2,

则在RtAOAD中4。='AD2+。。2=,42+N=2遮,

OP_2_75

sinA

AO―275一亏'

故选：D.

【点评】本题考查了正弦的定义以及勾股定理，根据网格构造直角三角形是解本题的关

键.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点尸（4,3）,OP与x轴正半轴的夹角为a,则sina

【考点】解直角三角形；坐标与图形性质.

【专题】三角形；运算能力.

【答案】A

【分析】过尸作无轴于N,PMLy轴于M,根据点P的坐标求出PN和ON,解直

角三角形求出即可.

【解答】解：过尸作PN_Lr轴于N,轴于则NPMO=NPNO=90°,

:点尸(4,3),

：.ON=PM=4,PN=3,OP=)32+42=5,

..PN3

••SLTICC=OP=5，

故选：A.

【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和。尸的长是解此题的关键.

10.如图，小明在M处用高1.5根(即CM=1.5加的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为

30°,将测角仪沿旗杆方向前进20根到N处，测得旗杆顶端2的仰角为60。，则旗杆

AB的高度为()

A.11.5mB.20/w

C.10V3mD.(10A/3+1.5>

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】D

【分析】求出/CBO=/BCE,得到△BCD是等腰三角形，从而求出8。的长，然后在

△BED中,求出BE的长，然后求出的长.

【解答】解：'：ABCE=3Q°,NBDE=60°,

：.ZCBD=6Q°-ZBCE=30°—BCE,

：.BD=CD=20^z,

在RtZXBDE中，sinNBDE=船,

BPBE=BD-sm6Q°=20x^=10V3（米）,

AB=BE+AE=（10V3+1.5）米.

即：旗杆AB的高度是（10百+1.5）米.

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，会解直角三角形是解题的关

键.

二.填空题（共5小题）

11.如图，飞机A恰好飞行到地面目标B的正上方2000米处，此时飞行员测得另一地面目

标C的俯角为30°,则A、C之间的距离为4000米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】4000.

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【解答】解：依题意NAC2=30°,A3=2000,NB=90°,

：.AC=2AB=4Q0Q,

故答案为：4000.

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握俯角的定义，以及含30度角的直角三角形的性

质是解题的关键.

12.如图，某河堤迎水坡AB的坡比i=1：V6,河堤高BC=3m,则河堤的坡面AB的长为

3V7m.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】3V7.

【分析】根据坡度的概念求出AC,根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】,：BC=3m,坡AB的坡比i=LV6,

.,.AC=3XV6=3V6(m),

：.AB=y/AC2+BC2=J(3V6)2+32=3V7(m),

故答案为：3小.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，

13.如图，在正方形网格中，点A、B、。都在格点上，那么tan/AOB的值为1

0

【考点】解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】1.

【分析】连接根据勾股定理可求出。4=AB=V10,OB=2后从而得出。筋+人^

=OB2,则根据勾股定理逆定理可得出△0A2为直角三角形，且NO4B=90°,最后根

据正切的定义求解即可.

【解答】解：如图，连接

o

由图可知04=Vl2+32=V10,AB=Vl2+32=Vio,OB=,22+42=2事）,

：.OA2+AB2=OB2,

.♦.△OAB为直角三角形，且/OAB=90°,

/Tn

.".tan^AOB=1.

V10

故答案为：1.

【点评】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义.正确的作出辅助线是解题

关键.

14.如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东

300方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的2处，此时与灯塔尸

的距图约为75海里.（参考数据：sin37°»cos37°«Xtcm37。=%

334

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】75.

【分析】由题意可得NCAP=NEE4=60°,NCA3=30°,B4=30海里，则NE4B=90°,

NB=37°,在Rt△必2中，利用正弦函数求解即可.

【解答】解：如图所示标注字母，

根据题意得，ZCAP=ZEPA=60°,ZCAB=30°,B4=30海里，

AZB4B=90°,ZAPB=180°-67°-60°=53°,

AZB=180°-90°-53°=37°,

DA

在中，sin37°=第，

nnP44545__用、

PB=——r=•Qi。x丁=75（海里），

sinZ.Bsin3702

5

即：此时与灯塔尸的距离约为75海里.

故答案为：75.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函

数的定义是解题的关键.

1

15.如图，在等腰RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,D是BC上一点，若tan/BAO=右

则BD的长为2.

【考点】解直角三角形；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】2.

【分析】在RtZ\ABC中，利用三角函数或勾股定理求得AB的长度，过点。作。ELAB,

交AB于点E,可以证明RtABED为等腰三角形，从而得到DE=BE.设DE=BE=x,

则AE^AB-x,在RtAAED中，根据tanZBAD=求得x的值，进而求得BD的长度.

【解答】解：过点。作。交A8于点£

C

AEB

•・•在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,

：.AC=BC,

：.ZBAC=ZABC=45°,

：・NBDE=900-ZABC=45°,

:・DE=BE.

AC6乙B

AABD=——=-r=-=6V2,

sinZz.AABDCrV2

~2

设DE=BE=x,则AE=A3-x,

：.tanZBAD==J,解得x=&,即。E=2£=2,

6V2—%5

・RnDEV2

■■BD=^ZABC=JT=2-

T

故答案为：2.

【点评】本题考查解直角三角形和等腰三角形，掌握它们的特点是本题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.如图，小明家A和商店C都在地铁站。的正西方向，小亮家B在地铁站的西北方，且

在小明家北偏东15°方向.一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米

的商店C时,小亮家8恰在商店C的北偏西30°方向.（参考数据:鱼=1.41,直«2.45）

（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；

（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿方向前往

地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁

先到达地铁站呢？请说明理由.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】(1)小明和小亮家的距离为2旄千米；

(2)小明先到达地铁站，理由见解答.

【分析】(1)过点A作垂足为E,根据题意可得：/BAC=75°,/BC4=60°,

从而利用三角形内角和定理可得NA2C=45°,然后在RtZkAEC中，利用锐角三角函数

的定义求出AE和CE的长，再在Rt^ABE中，利用锐角三角函数的定义求出的长，

即可解答；

(2)过点B作BFUAC,垂足为R在RtZkABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE

的长，从而求出BC的长，然后在RtZSBCP中，利用锐角三角函数的定义求出和CP

的长，再在RtABFO中，利用锐角三角函数的定义求出DF和BD的长，从而求出CD

的长，最后进行计算即可解答.

AZABC=180°-ZBAC-ZBCA=45°,

在Rt/XAEC中，AC=4千米,

1

/.CE=AC*cos60°=4x,=2(千米)，

A£=AC«sin60°=4x亭=2百(千米)，

在Rt^ABE中，48=/需=等=2e(千米),

''T

•••小明和小亮家的距离为2&千米；

(2)小明先到达地铁站，

•.•族=由=2百(千米)，

：CE=2千米，

：.BC=BE+CE=(2+2V3)千米，

在RtZkBC尸中，ZBCF=60°,

：.BF=BC-sin60°=(2+2仲义吟=(3+V3)千米，

CF=BC-cos600=(2+2V3)x^=(1+V3)千米，

在RtZXBPD中，ZBDF=9Qa-45°=45°,

/=(3+用千米，

加='=呼=(3‘+付千米，

:.CD=DF-CF=3+W—(1+V3)=2(千米)，

:小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米,

小明到达地铁站需要的时间=|另=0.25(小时)，

o4

小亮到达地铁站需要的时间=宜第«0.27(小时)，

V0.25小时＜0.27小时，

小明先到达地铁站.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

17.如图，在△OAB中，OA=8,OB=6,ZA=30°.

（1）求A3的长；

（2）嘉琪认为：如果本题去掉“如图”两个字，那AB的长还有另外一个值，请同学们

直接写出另外一个值.

B

0A

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】（1）AB=4V3-2V5；

（2）AB=4V3+2V5.

【分析】（1）过。点作交AB的延长线于点C.在Rt^ABC中，ZC=90°,

NA=30°,s讥30。=*=急，即可得OC=4,AC=4V3,在RtABOC中，利用勾股定

理可得BC=2有，问题得解；

（2）当点。为钝角时，如图，过B点作交AO的延长线于点D在

中，ZD=90°,ZA=30°,s讥30。=»盥，cos30。=苧=瑞设则AB

=2x,AD=V3x,即有。。=百万-8,在RtABOZ）中，利用OD2+BD2=OB2,可得

（V3x-8）2+x2=62,解方程即可求解.

【解答】解：（1）过。点作0CLA8,交的延长线于点C.

1nr

在Rt/XABC中，ZC=90°,ZA=30°,s出30°=讶=总

VOA=8,

/.OC=4,皿30。=孚=器,

：.AC=4V3,

在RtZSBOC中，ZC=90°,

OC2+BC2=OB2,

.,.42+BC2=62,

：.BC=2V5,

：.AB=4V3-2V5；

(2)当点。为钝角时，如图，过8点作交AO的延长线于点D

B

DoA

在RtZXAB。中，ND=90°,ZA=30°,s讥30。=»器，cos30。=孚=瑞,

设BD=x,则AB—2x,AD=V3x,

VOA=8,

OD—y/3x—8,

在Rt/XBOO中，ZC=90°,OB=6,

：.OD2+BD2=OB2,

(V3x—8)2+=62,

解得：x=2-\/3±V5,

当％=2b一遍时，OD=,x-8VO,不合题意舍去，

：.BD=2V3+V5,

=2BD=4V3+2V5.

【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的知识，正确的作出图形，灵活运用

三角函数，是解答本题的关键.

18.计算:

(1)4sin60°-3tan30°+2cos450,sin450；

(2)在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,求/A的余弦值和正切值.

【考点】解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】⑴V3+1；

125

（2）NA的余弦值为一，NA的正切值为一.

1312

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；

（2）先利用勾股定理求出再根据锐角三角函数的定义解答即可.

【解答】解：（l）4sin60°-3tan3O°+2cos45°sin45°=4X^_3xf+2xfxf=

2V3-V3+1=V3+1；

（2）•.•在RtZkABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,

.".AB=y/AC2+BC2=V122+52=13,

.*AC12,BC5

.,cosA=—=_,tanA=-=-

125

•••ZA的余弦值为一，ZA的正切值为一.

1312

【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在Rt^ABC中，ZC=90°,锐角A的对边a

与斜边c的比叫做/A的正弦；锐角A的邻边6与斜边c的比叫做/A的余弦；锐角A

的对边。与邻边6的比叫做NA的正切.还考查了勾股定理，特殊角三角函数值的混合

运算.掌握特殊角三角函数值及锐角三角函数的定义是解题的关键.

19.昆明西山万达广场是万达集团斥资100亿元打造的第100座开业万达广场.项目位于昆

明市西山区前兴路东侧，是“昆明金产区”核心.其中万达•昆明双塔写字楼是昆明城市

新地标，定位为西南金融总部基地.在大楼的顶部有一块广告牌，广告牌位于写字楼顶

部如图所示的两点之间.某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们

选定点D为观测点，测得广告牌顶端A的仰角为33°,测得广告牌底B的仰角为30°,

已知楼高B