2020年中考数学必考34个考点32 尺规作图

尺规作图问题

专题知识回顾

1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图可以

要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作已知线段的垂直平分线；

（4）作已知角的角平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：

写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：

（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂

直平分线.

（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三

角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.

（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆

（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.

专题典型题考法及解析

【例题1】（2019•湖南长沙）如图，放&8C中，ZC=90°,Z5=30°,分别以点/和点8为圆心，大诗

AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点,作直线交8c于点Z）,连接则的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】根据内角和定理求得NA4c=60。，由中垂线性质知DA=DB,即N5=30。，从而得出答

案.

在ALBC中，VZB=30°,ZC=90°,

AZBAC=lS00-ZB-ZC=60°,

由作图可知MV为48的中垂线，

：.DA=DB,

：.NDAB=/B=30。,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°.

【例题2】（2019山东枣庄）如图，8。是菱形48。的对角线，ZCBD=15°,

（1）请用尺规作图法，作N3的垂直平分线SF,垂足为E,交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接5/，求ND2尸的度数.

【答案】见解析。

【解析】（1）分别以A.8为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。

2

如图所示，直线即即为所求；

(2)根据ZDBF=ZABD-ZABF计算即可。

•・•四边形/BCD是菱形，

AZABD=ZDBC=—ZABC^15°,DC//AB,/4=/C.

2

AZ^5C=150°,Zy45C+ZC=180°,

：.ZC=ZA=30°,

•.•跖垂直平分线段N8,

：.AF=FB,

：.ZA=ZFBA=30°,

：.ZDBF=ZABD-NFBE=45°.

【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出/A，OB=/AOB的

依据是()

A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS)

【答案】B

【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运

用SSS,答案可得.

作图的步骤：

①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

②任意作一点O1作射线O7V,以O,为圆心，OC长为半径画弧，交O7V于点C]

③以C，为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D，；

④过点D作射线CKB，.

所以NAXTB，就是与NAOB相等的角；

作图完毕.

在AOCD与ACTCTT,

。C'=0C

<O'D'=0D,

CD，二CD

.♦.△OCD也△O'C'D'(SSS),

ZA'O'B'=ZAOB,

显然运用的判定方法是SSS.

【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：Za,直线/及/上两点B.

求作：RtAABC,使点C在直线/的上方，且N/2C=90。，ZBAC=Za.

AB4

【答案】见解析。

【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

先作ND4B=a,再过8点作则4D与AE的交点为C点.

如图，A4BC为所作.

专题典型训练题

一、选择题

1.（2019•广西北部湾）如凰在AlBC中，AC=BC,ZA=4Oo,观察图中尺规作图的痕迹，可知ZBCG的度

数为（）

A.4OoB.45oC.50。D.6Oo

【答案】C

【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CGLAB,则CG平分利用和三角形内角

和计算出/ACB,从而得到/BCG的度数.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.

由作法得CGLAB,

•：AB=AC,

；.CG平分/ACB,ZA=ZB,

,：ZACB=180°-40°-40°=100°,

1

:./BCG="ZACB=50°.

2.（2019•贵州贵阳）如图，在及48c中，AB=AC,以点C为圆心，C8长为半径画弧，交于点8和点。，

再分别以点3,。为圆心，大于±8。长为半径画弧，两弧相交于点"，作射线CM交43于点若NE=

2,BE=\,则EC的长度是（）

【答案】D.

【解析】利用基本作图得到CE，/比再根据等腰三角形的性质得到/C=3,然后利用勾股定理计算CE的

长.

由作法得则N/EC=90。，

AC=AB=BE+AE=2+1=3,

在放△/（7£中，CE=1型_/=乖.

3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

【答案】c.

【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到c选项作了两边的垂直平分线，从而可

用直尺成功找到三角形外心.

4.（2019•山东潍坊）如图，已知//OB.按照以下步骤作图：

①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交4408的两边于C,。两点，连接CD.

②分别以点C,。为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在//O8内交于点E,连接CE,DE.

③连接OE交C£＞于点M.

下列结论中错误的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MD

C.ZOCD=ZECDD.S^=—CD-OE

四边形OCEDQ

【答案】c.

【解析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可.

由作图步骤可得：是N/08的角平分线，

：.ZCEO^ZDEO,CM=MD,S^=—CD-OE,

四边形OCED2

但不能得出NOCD=NECD

5.（2019•湖北宜昌）通过如下尺规作图，能确定点。是3C边中点的是（）

【答案】A

【解析】作线段8c的垂直平分线可得线段2c的中点.

作线段8c的垂直平分线可得线段BC的中点.由此可知，选项/符合条件，故选A.

6.（经典题）作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a.

求作：线段AB,使AB=a.

【答案】见解析。

【解析】作法：

①作射线AP；

②在射线AP上截取AB=a.

则线段AB就是所求作的图形。

（已知）

A*r1Bi>

7.（经典题）已知三边作三角形。

已知：如图，线段a,b,c.

求作：AABC,使AB=C,AC=b,BC=a.

--------------a

______________b

___________c

【答案】见解析。

【解析】作法：

①作线段AB=c；

②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心

a为半径作弧与前弧相交于C；

③连接AC,BCo

则AABC就是所求作的三角形。

-----------n

----------------b

（已知）

（已知三边作三角形）

8.（经典题）已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m,n,Za.

求作：AABC,使NA=/a,AB=m,AC=n.

【答案】见解析。

【解析】作法：

①作NA=/a；

②在AB上截取AB=m,AC=n；

③连接BC。

则AABC就是所求作的三角形。

（已知）

:已知两边及夹角作三角形）

9.（经典题）做已知线段的中点

已知：如图，线段MN.

求作：点O,使MONO（即O是MN的中点）.

【答案】见解析。

【解析】作法：①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同

线段为半径画弧，两弧相交于P,Q;

②连接PQ交MN于O.

则点0就是所求作的MN的中点。

（作线段的中点、）

10.（经典题）作已知角的角平分线。

已知：如图，ZAOB,

求作：射线OP,使/AOP=/BOP（即OP平分/AOB）o

【答案】见解析。

【解析】作法：

①以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分另！］交OA,OB于M,N；

②分别以M、N为圆心，大于1/2MN

的相同线段为半径画弧，两弧交/AOB内于P；

③作射线OP。则射线OP就是NAOB的角平分线。

（作角平分线）

11.（经典题）已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，/a,ZP,线段m.

求作：ZABC,使/A=/a,ZB=ZP,AB=m.

【答案】见解析。

【解析】作法：

①作线段AB=tn；

②在AB的同旁作/A=/a,作,

ZA与/B的另一边相交于Co

则AABC就是所求作的图形（三角形）。

m

,（已知）1

（已知两角及夹边作三角形）

12.（2019•河北模拟题）如图,已知AABC（ACVBC）,,用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符

合要求的作图痕迹是（）

A

P

C.P'、D.

【答案】D

【解析】要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确

D选项中作的是AB的中垂线，

；.PA=PB,

VPB+PC=BC,

/.PA+PC=BC

13.（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心,

大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,

根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【答案】B

【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。

•••分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D,

；.AC=AD=BD=BC,

，四边形ADBC一定是菱形。

14.（2019・湖南益阳）已知M、N是线段48上的两点，AM=MN=2,NB=\,以点/为圆心，/N长为半径画

弧；再以点6为圆心，2M长为半径画弧，两弧交于点C,连接/C,BC,则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】依据作图即可得到/C=/N=4,BC=BM=3,48=2+2+1=5,进而得到/C2+8C2=/32,即可得

出2U3C是直角三角形.

如图所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+}=5,

:.AC2+BC2=AB2,

...△/5C是直角三角形，且N4C8=90。，故选B.

二、填空题

15.（2019武汉）如图，80是矩形/8CD的对角线，在8/和8。上分别截取BE,BF,使BE=BF；分别

以E,F为圆心，以大于士E尸的长为半径作弧，两弧在内交于点G,作射线BG交AD于点P,若

2

AP=3,则点P到BD的距离为.

【答案】3

【解析】结合作图的过程知：BP平分/ABD,

'：ZA=90°,AP=3,

...点P到AD的距离等于4P的长，为3。

16.（2019济南）如图，在RtZMBC中，ZC=90°,以顶点8为圆心，适当长度为半径画弧，分别交48,

BC于同M,N,再分别以点M,N为圆心，大于基N的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线8尸交/C

一2ABCD

于点。.若N/=30°,则（-------=________.

3△ABD

【答案玲.

【解析】由作法得8。平分N/3C,

VZC=90°,NZ=30。，

N/BC=60。，

・•・/ABD=NCBD=3。。,

:・DA=DB,

在Rt/^CD中，BD=2CD,

：.AD=2CDf

^ABCD

SAABD

=1/2

17.（2019甘肃省兰州市）如图，矩形4BCD,NA4c=60。.以点/为圆心，以任意长为半径作弧分别交

4B.ZC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧交于点P，作射线/尸

交BC于点、E,若BE=l,则矩形/BCD的面积等于.

【答案】3耳.

【解析】由题可知/尸是/历IC的角平分线

ZBAC=6Oo

：./BAE=NE4C=3Q。

：.AE=2BE=2.

'.AB=73

：.NAEB=60。

又：Z.AEB=NEAC+NECA

：.ZEAC=ZECA=3Oo

..AE—EC—2

，BC=3

18.（2019四川成都）如图，口4BCD的对角线NC与50相交于点O,按以下步骤作图：①以点/为圆心，

以任意长为半径作弧，分别交于点M,N；②以点。为圆心，以/〃长为半径作弧，交OC于点；

③以点"'为圆心，以"N长为半径作弧，在/CO8内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC

于点E,若43=8,则线段。£的长为.

【答案】4

【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN和因为

AM=OM',AN=ON',MN=M'N',所以AAMN=AOM'N'（SSS）,所以，AMAN=AM'ON',

所以。E〃AB,又因为。是AC中点，所以OE是△ABC的中位线，所以。E=：A3,所以OE=4.

三、填空题

19.（2019•六盘水模拟题）如图，在AABC中，利用尺规作图，画出AABC的外接圆或内切圆（任选一个.不

写作法，必须保留作图痕迹）

【答案】见解析。

【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。

图2

20.（2019石景山二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.

已知：ZAOB.

求作：NAPC,使得

作法：如图，

①在射线OB上任取一点C；

②作线段OC的垂直平分线，

交O/于点尸，交于点。；

③连接PC-,

所以//PC即为所求作的角.

根据小华设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）.

证明：•••£）2是线段。。的垂直平分线，

：.OP=（）.

：.ZO=ZPCO.

•：ZAPC=ZO+ZPCO（）.

，NAPC=2/A0B.

【答案】见解析。

(2)PC；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

21.(2019•湖北省仙桃市)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

(1)如图①，四边形/BCD中，AB=AD,/B=/D,画出四边形/BCD的对称轴加；

(2)如图②，四边形48。中，AD//BC,/4=/D,画出2c边的垂直平分线".

【答案】见解析。

【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即

可画出直线.

(1)连接/C,/C所在直线即为对称轴加.

如图①，直线机即为所求

(2)(2)延长R4,CD交于一点,连接/C,BC交于一点、,连接两点获得垂直平分线

如图②，直线”即为所求

093)

22.（2019•四川省达州市）如图，在比A4BC中,ZACB=90°,AC=2,BC=3.

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.

①作N/C2的平分线，交斜边48于点D；

②过点。作2C的垂线，垂足为点反

（2）在（1）作出的图形中，求。E的长.

【答案】见解析。

【解析】（1）利用基本作图，先画出CD平分//C3,然后作。EL8C于E。

（2）利用CD平分NACB得至I]ZBCD=45°,再判断ACDE为等腰直角三角形，所以DE=CE,然后证明LBDE

s^BAC,从而利用相似比计算出DE.

平分//C3,

ZBCD=—ZACB=45°,

2

•:DELBC,

...△CDE为等腰直角三角形，：.DE=CE,

'：DE//AC,：.ABDEsABAC,

,DE_BEDE_3-DE

，*AC-BC，~~

..DE=一.

5

23.（2019•广东）如图，在A4BC中,点D是4B边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在A4BC内,求作使/ADE=/B,DE交AC于E；（不要

求写作法，保留作图痕迹）

ADAE

（2）在（1）的条件下，若不3=2,求薪的值.

L）D

I).

【答案】见解析。

【解析】（1）如图所示，/4DE为所求.

(2)•:NADE=NB

：.DE//BC

.AEAD

EC-DB

ADAE

*.**=2.*•------2

DBEC

24.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知A4BC,请根据基本事实作出使△DEP/△4BC.

【答案】见解析。

【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形的判定.

先作一个/。=//,然后在的两边分别截取ED=84DF=AC,连接所即可得到AD跖。如图，

FC

D1

△DE尸即为所求.

25.（2019•湖北孝感）如图，放ZUBC中，ZACB=90°,一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交4B于点G；分别以点G、B为圆心，以大于会"GB的长为半径画

弧，两弧交点K,作射线CK；

②以点8为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点交的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，

以大于£儿亚的长为半径画弧，两弧交于点尸，作直线8P交NC的延长线于点。，交射线CK于点E.

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段CD与CE的大小关系是_______；

（2）过点。作。尸交的延长线于点尸，若/C=12,BC=5,求力”/。2尸的值.

【答案】见解析。

【解析】（1）由作图知C£_L/8,BD平分/CBF,据此得/1=/2=/3,结合/CE8+N3=/2+/CDE

=90。知/（7。=/。。£,从而得出答案；

CD=CE,

由作图知BD平分NCBF,

；./1=/2=/3,

•/NC£5+N3=N2+NCDE=90。,

：.ZCEB=ZCDE,

：.CD=CE,

故答案为：CD=CE；

（2）证ABCD出LBFD得CD=DF,从而设CD=DA=x,求出48="否^^=匕，矢口5山/。/尸=累

BC5解之求得苫=竽，结合尸可得答案.

即一5c=3=5

，

AB12+K13

,:BD平分NCBF,BCLCD,BFLDF,

：.BC=BF,/CBD=NFBD,

在4BCD和A5FD中，

'/DCBLDFB

ZCBD=ZFBD,

,BD=BD

:.ABCD经4BFD(AAS),

：.CD=DF,

设CD=DF=x,

=:22=13,

在RtA4CB中,^SJAC+BC

5

sinZDAF=­=—

ADAB13

解得苫=竽

,:BC=BF=5,

DF

：.tanZDBF=—

BF252

26.（2019•广东模拟题）如图，点。在A/BC的48边上，且N/CD=NA.

（1）作NADC的平分线DE,交BC于点£（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线。E与直线/C的位置关系（不要求证明）.

A

BC

【答案】见解析。

【解析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可;

（2）根据角平分线的性质可得田金/8。。，根据三角形内角与外角的性质可得再根据

22

同位角相等两直线平行可得结论.

DE//AC

；DE平分/BDC,

：.ZBDE^=-ZBDC,

2

'：NACD=NA,NACD+ZA=ZBDC,

：.ZA=^-ZBDC,

2

ZA=ZBDE,

：.DE//AC.

27.（2019平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知:如图1,直线/和/外一点P.

求作:直线/的垂线，使它经过点P

作法:如图2,

（I）在直线/上任取一点4

（2）连接4P,以点尸为圆心，4P长为半径作弧，交直线/于点2（点/,8不重合）；

（3）连接BP,作//P8的角平分线，交AB于点、H；

（4）作直线尸〃，交直线/于点

所以直线尸”就是所求作的垂线.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规