圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题（解析版）-2024年中考数学重难点

圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题

知识剖析

切割线定理:反a模型

图形相似的证明结论

@DC2=DB-DA；

因为f/OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

・・.\DCB~bDAC

经典例题

题目①（北雅）如图，。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上，且NCDA=ACBD.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作OO的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tanZCDA=。,求跳;的长.

O

【解答】⑴证明：连OD,OE,如图，•.2B为直径，J./ADB=90°,即乙4。。+/1=90°,

又■/ACDA=ACBD,而NCBD=Z1,/.Zl=ACDA,：.2CDA+AADO=90°,即ZCDO=90°,

.♦.CD是。。的切线；

⑵解：:EB为。。的切线，：.ED=EB,OE±DB,：./ABD+ZDBE=90°,NOEB+NDBE=90°,

：.AABD=ZOEB,：.ACDA=ZOEB.而tan/CD4=tanZOEB=零=4，；Rt/\CDO〜

33

RtACBE,.•.铛=需=票=高,.•.CD=^x6=4,在中，设BEy,(rc+4)2=x2+62,

UJDJob/job/33

解得名=£.

题目叵〕（南雅）如图，。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上，且CD?：CA-CB.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作。。的切线交CD的延长线于点石，若BC=10,tan/CD4=求BE的长.

5

•••

：./ADC=ZDBC,OB=OD,：.ABDO=/DBO,：AB为OO的直径，，ABDA=90°,

NBDO+^ODA=ZCDA+ZODA=90°,：.OD±CD,：.CD为。0的切线；

(2)•:BE、CE是OO的切线，：.ED=EB,•:/XDCA〜ABCD，,4DBA=ACDA,：.器=架

BCyIDL)

tanZDBA=tanZCDA.•.CD=3BO=6,设BE=rc,则DE=rr,CE=a;+6.在RtACBE中，

55

_16

(t+6)2=a:2+102,解得:x

-3，

o

题目叵〕（长郡）已知:如图，OO的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD

（1）求证：PD是。。的切线.

（2）求证：PD2=PB-PA.

（3）若PD=4,tanZGDB=y,求直径AB的长.

【解答】（1）证明：连接OD,OC,•••PC是。。的切线，二/PCO=90°,•••AB_LCD,AB是直径,

DO=CO

弧BD=孤BC,；.ZDOP=Z.COP,在/XDOP和△8P中，，2DOP=4COP,

OP=OP

：.ADOP笃△COP(SAS),APDO=2PCO=90°,1•。在。。上，；.PD是。。的切线；

(2)证明：AB是。。的直径，/.AADB=90°,/APDO=90°,/.AADO=NPDB=90°-ZBDO,

•：OA^OD,：.ZA=AADO,：.ZA=APDB,VABPD=NBPD,：.4PDB〜APAD,

•,.恩=篝,••.P02=P4PB；

⑶解：・・・ZX7_LAB,AADB=ADMB=90°,ZA+ZZ)BM=90°,ACDB+ADBM=,

••NA—/-CDB,VtanZCDB=]，工tanA=]=，:/^PDB~/\PAD,：.—%?•—《4•—；•

•・・PO=4,・・.PB=2,P4=8,・•.AB=8-2=6.

题目@（明德）如图，AB为圆。的直径，。为圆。上一点，AD和过。点的直线互相垂直，垂足为。，且AC

平分/。43,延长48交。。于点及CFL于点F.

（1）求证:直线06与。O相切；

（2）若EB=2,EC=4,求⑷。的半径及AC、人。的长；

（3）在（2）的条件下,求阴影部分的面积.

【解答】解：（1）连接OC;/。4。+/月。0=90°;又：>1。平分/1143,OA=OC,

：.NDAC=ACAO,Z.CAO=AACO,：.ZDAC=AACO,：.ZACD+AACO=90°,即OCXDC,

直线DE与。O相切.

（2）•:EC是OO的切线，/.EC2=EB>EA,而EC=4,EB=2,：.EA=8,AB=8-2=6;

.•.（DO的半径为3.•.•4。平分/DAE,.•.*=空，.・.恶=莓="=2,.・.4。=2。。（设为2）;

AECEDCEC4

（AC=ac

・・・4C平分NZZ4B,CDrAD,CF_LAB,.・.CD=GF;在△ADC与△AFC中，《,

[CD=CF

：./XADC空AAFC（HL）,AF=AO=26，BF=6-26；TAB为。O的直径，.・.Z.ACB=90°;

由射影定理得：CF2=AF-BF,即x2=2z（6—2,）,解得：a;=AD="；

55

由勾股定理得：AC2=（wy+（¥y，47=今⑤，

即。。的半径及AC、AD的长分别为3,毕⑤，空.

55

（/Jo）\...bc^ABc—1MA乂12_365Q半圆O一_万1X乂T？rTX乂JQ2_97r・..bQ阴影一_9^7-r---3.6

题目回（雅礼）如图，在。。中，AB为直径，OC，AB,弦CD与OB交于点F,在48的延长线上有一点

E,且EF=ED.

（1）求证：DE是。。的切线

（2）若tanA=-1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明;

（3）在（2）的条件下，若OF=1,求O。的半径和CD的长.

【解答】（1）证明：连接OD,如图，•/EF=ED,：.NEFD=NEDF,：NEFD=NCFO,：.NCFO=

NEDF,•：OC±OF,：.AOCF+ACFO=90°,•/OC=OD,：.AOCF=ZODF,：./LODC+NEDF=

90°,即NOOE=90°,・・.OOJ_OE,・.•点。在。O上，・・・。石是。O的切线；

⑵解；线段AB、跳;之间的数量关系为：4B=3BE.证明：:4B为。O直径，.・.AADB=90°,

・・・4ADO=ZBDE,，：OA=OD,：,AADO=ZA,：./BDE=/A,和/BED=/DEA,：.mBD~

4EDA,：,毕=器=需,・・・RtAABD中，tan_A=弟=[:•熊=器=4，—=2DE,DE

AEDEADAD2

=2BE,

：.AE=4BE,；.AB—3BE;

(3)解：设BE=%则DE=EF=2*=3/，半径拉=OF=1,.・.OE=1+2力,

在Rt/\ODE中，由勾股定理可得：既劣)2+(2力尸=(1+2力人，x——~|■(舍)或力=2,

・・.4B=30=6,・••圆O的半径为3.过点。作OH_LCD,

•/OC=OD,CD=2cH,在RtAOCF中，CF=JOCe+o尸2=视,(JH=,

GJT10

在办△OS中，tan/OCH=3="：.CH=3OH=^^~,：.CD=2CH=^^~.

C/i(JG3105

题目回(青竹湖)如图，已知AB是。。的直径，直线AC与。。相切于点4过点B作BD〃。。交。。于

点。，连接CD并延长交AB的延长线于点E.

(1)求证：CD是⑷。的切线.

⑵求证：。E2=EB.EA；

•M

【解答】解：（1）BD〃OC,：.NDBO=ACOA,NODB=NCOD,；OB=OD,：.ADBO=NODB,

CO=CO

：.ACOA=Z.COD,在ACOA和/\COD中，，Z.COA=ZCOD,：./\COA空ACOD（SAS）,

,OA=OD

：./.CAO=/CDO,AC是。。的切线，/.CAO=90°=/CD。，即。D_LEC,：OD是G>O的半径,

.•.EC是OO的切线；

（2）VEC是。。的切线，4ODE=90°,即AEDB+AODB=90°,又AB是。。的直径，

NADB=90°,/.NABD+ABAD=90°,又：ZODB=ZOBD,：.2EDB=NEAD,

又；NE=NE,：./\EBD〜AEDA,：.萼=塔，即DE?=AE，BE;

DEAE

（3）VZACO+2cOA=90°,ABAD+AOBD=90°,而NOBD=ZODB=2cOD=ZCOA,

AAABD+ABAD=90°，,ABAD=AACO,由/\EBD〜/\EDA,；.署=笔=tanZBAD=1，

Uh/ATJ2

•；BE=1,；.DE=2,由DE?=AE・BE得,2?=1XAE,，AB=4,，AB=4—1=3,设BD=a，则AD=

2a,由勾股定理得，BD2+AD2^AB2，即<?+（2a）2=3之,解得a=锂5,...AD^2a^维2.

55

题目习（北雅）如图①，△ABO内接于。。，点P是△ABC的内切圆的圆心，4P交边BC于点。，交。。于

点E,经过点E作。O的切线分别交4B、AC延长线于点F、G.

⑴求证：BCV/FG；

（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；

（3）当图①中的FE=AB时,如图②，若FB=3,CG=2,求AG的长.

EE

图（1）图（2）

【解答】⑴证明：连接BE,•.•点P是△AB。的内心，.•./BAD=/CAD.火；FG切60于E,

：.4BEF=ABAD.又:/DBE=ACAD,：.ABEF=ADBE.：.BC//FG.

（2）解：连接BP,则ZABP=ZCBP.•：NBPE=NBAP+NABP=NPBC+AEBD,：.ZBPE=

NPBE.

：.BE=PE.在/\ABE和^BDE中，ZBAE=NEBD,ABED=AAEB,：./\ABE〜^BDE.

.•.笆=强.：.BE2=AE-DE.：.PE2=AE-DE.

AEBE

⑶解：：FE2=FB-FA=FB（FB+AB），而FE=AB,；.AB2=3（3+AB）.设AB=rr,则x2-3x-9=0,

解之得c=.♦.AB=（取正值）.由（1）在△AFG中，BC7/FG,.•.祭=冬.

22k）rCG

A

EG

题目⑼（青竹湖）如图，。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。，过点。作。?〃,交AC

于点E,交。。于点F,连接DC,点、。为弧DF的中点.

（1）求证：BC为。。的切线；

⑵若。。的半径为3,。尸=42,求CE-CA的值；

（3）在（2）的条件下,连接AF,若,求AO的长.

【解答】(1)证明：连接CO并延长交。。于G,连接DG,如图：；CG为直径，AGDC=90°,

ADCG+ADGC=90°,VADGC=/BAC,点。为弧OF的中点，，ACDF=ABAC,

AADGC=ZCDF,AZDCG+4CDF=90°，:DF〃BC,：.ACDF=ZDCB,：.ADCG+ZDCB=90°,

0。_13。，又：0。是00的半径，为。。的切线；

(2)解:连接OC交。F于河，为弧。F的中，OC±DF,:.DM=MF=%DF=2",

•r。。的半径为3,OM=^OD2-DM2=732-(2^/2)2=1,CM=OC-OM=3-1=2,

ADC2^DM2+CM2^(2V2)2+22=12,-：cb^CF,：.ADAC^ACAF,V4CDF=ACAF,

AZCDF=ADAC,•：ADCE=ZACD，二^DCE〜4ACD,：.喘=,：.亦=CE-CA,

7T.OO-L-Z

.•.CE-CA=12;

•.•四边形ADCF内接于。O,NADC+4AFC=180°,又：NBDC+ZCDA=180°,AAAFC=

ABDC,

/.CD=CF=2V3,又,/BD^AF,：./\BDCZ△AFC(SAS),二BCAC,ABCD=

NACF,

AACF^AADF,AZBCD=AADF,VDFIIBC,：.4CDF=4BCD,：.4CDF=2ADF,：.AF=

CF,：.AF=CF,BD=CF=2V3,：.AC=DF,：.AC=DF==BC,'：2BCD=2CDF=2CAF

ADAC,ZDBC=4ABC,：.4DBC〜4CBA,：.掾=嗯，：.BC?=BD*AB,：.(4A/2)2=2V3-AB,

JDUBC>

：.AB^^-V3,AAn=AB-BZ?=^-V3-2V3=^-V3.

ooo

题目回（麓山国际）如图，AB是。。的直径，点。是。O上一点,AD与过点。的切线垂直，垂足为点

直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分2ACB,交4B点F,连接BE.

（1）求证：力。平分NDAB；

（2）求证：PC=PF；•M

⑶若tan/ABC=a，4B=14,求线段P。的长.

o

【解答】⑴证明：；PD切0O于点、C,：.OCLPD,又-/AD±PD,：.OC//AD,：.NACO=ADAC.

•：OC^OA,：.AACO^ACAO,：./OAC=/C4O,即AC平分/DAB；

（2）证明：•.•AD_LPD,/DAC+乙4c0=90°.又：AB为。。的直径，.•.乙4cB=90°.

/PCB+/ACD=90°,J./ZX4C=/PCB.又：/DAC=/CAO,r./CAO=/PC®.•rCE平分

AACB,：.NACF=ABCF,：.ACAO+/ACF=ZPCB+ABCF,：.4PFC=NPCF,：.PC=PF;

（3）解：；APAC=4PCB,ZP=ZF,/\PAC〜AFCB,/.第=器.又：tan/ABC=y,

4，.•.叁=4*，设PC=4k,PB=3k,则在Rt/XPOC中，P°=3k+7，℃=7，：0。2+℃2=

3JrIDo

OP2,

（4ky+7?=（3fc+7）2,.'.k—d（k—0