2024年高考数学第一轮复习 等比数列 思维导图及练习 含答案

6.3等比数列

思维导图

等比数列的概念

等差数列的概念公比的概念

等比数列的通项

等比数列等比数列求和公式的推导

求和^式的应用

通项的性质

前n项和的性质

知识点总结

1.等比数列的有关概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同

定义

一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列

通项设｛斯｝是首项为由，公比为g的等比数列，则通项公式推广:

nm

公式an=amq~(m3〃£N*)

等比如果在〃与力中间插入一个数G,使a,G,方成等比数列，那么G叫做

中项〃与方的等比中项.此时，G^=ab

2.等比数列的前“项和公式

nai9q=l,

/)ai-anq-

典型例题分析

考向一等比数列基本量的运算

L（2022•全国乙卷）已知等比数列｛斯｝的前3项和为168,公一。5=42,则由=（）

A.14B.12C.6D.3

〃1+。2+。3=168,

解析：选D设等比数列｛斯｝的首项为的，公比为q,由题意可得U-«5=42,即

“l(l-43)

=168,

i-q

3

a1q(l—q)=42,

卜1=96,

解得11所以“6=4炉=3,故选D.

卜=5，

2.（2023•岳阳模拟）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与

莫高窟、云冈石窟'麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量

是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮

雕像”的数量构成一个数列｛飙｝,则k>g2a4的值为（）

A.4B.5C.6D.7

解析：选C根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为砧前〃项和为S”.

于是ST=，，"--=1016=ai=8,则“4=8X2^=260log2a4=log226=6.故选C.

7

3.（2023•泸州模拟）记S“为递增的等比数列｛斯｝的前"项和，若的=1,&=中2,贝口4=.

775

解析：设等比数列｛斯｝的公比为矶由§3=5。2得，。1+。2+。3=¥2,即1+夕2=52解得4=2或4=

11—24

3，:是递增数列，，q=2,:.§4=1_,=24—1=15.

答案：15

方法总结

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a.,n,q,an,Sn,-

般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

⑵等比数列的前"项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=l时，｛斯｝的前"项和S„=n«i;当q^l

ai（l—qn）ai-aq

==n

时，｛斯｝的刖n项和Sn1_-1.

考向二等比数列的判定或证明

［典例］已知数列｛斯｝满足“1=3，02=1,即+2+4a“=5a“+i("GN*).

⑴证明：数列｛呢+1—即｝是等比数列;

（2）求数列｛%｝的通项公式.

［解］⑴证明：•.•斯+2+4斯=5斯+1,〃£N*,

an+2-an+i=4(an+i-«n),〃£N*,

«1=|,«2=1,

二数列｛斯+1—即｝是以方为首项，4为公比的等比数歹U.

n12n3

(2)由(1)知，a„+i—an=^X4~=2~,

当时,

斯=3〃-斯-1)+(斯-1-斯-2)H-----1-(«2-«1)+«1

=22n~5+22n-7+22n~9H-----1-2-1+2-1

1.-⑹)1

5+下^=§(22「3+1)

当"=1时，。1=；（2-1+1）=3黄足上式.

所以，a„=|(22«-3+l)(nGN*).

［方法技巧］等比数列的判定方法

若":"一如。为非零常数，"GN*）或："一q（q为非零常数且”22,

定义法

nGN*）,则｛斯｝是等比数列

中项公式法若数列｛斯｝中，斯#0且成+1=斯•即+2（〃GN*）,则｛斯｝是等比数列

若数列｛斯｝的通项公式可写成明=cq"-i（c,g均为非零常数，“e

通项公式法

N*）,则｛斯｝是等比数列

前n项和公若数列｛斯｝的前〃项和8=心/一左（左为非零常数，qWOJ）,贝U

式法｛斯｝是等比数列

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种

方法常用于选择题、填空题中的判定.

注意

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不

成等比数列即可

考向三等比数列的性质

［典例］(1)(2023•沈阳模拟)在等比数列｛斯｝中，a2,“8为方程/-4X+TT=0的两根，则a3a5a7的值为

()

A.Tt\［nB.—TTJTTC.士TtxfjtD.n3

(2)(2023•辽宁抚顺Ttr第二中学模拟)若等比数列｛斯｝的各项均为正数，且amo=9,贝Ulog9ai+log9a2

+…+log9aio=()

A.6B.5

l+log35

C.4D.—行匚

［解析］(1)在等比数列｛“"｝中，因为。2,。8为方程比2—4工+兀=0的两根，所以a2a8=兀=底，所以。5=

±\［n,所以的a5a7=ag=±k\5.故选C.

(2)log9al+log9a2T----卜log9aio=log9［(aiaio>(a2a9>(a3a8>34劭>35a6)］=log?95=5.

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前〃项和公式的

变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

基础题型训练

一、单选题

1.数列｛即｝的前〃项和为若S“=3向+3-相，且｛劭｝是等比数列，则()

A.0B.3C.4D.6

2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题："三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为："有一个人走了378里路，第一天

健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4

天走了（）

A.60里B.48里C.36里D.24里

3.设｛4｝是首项为正数的等比数歹!J,公比为4,则"q<0"是"对任意的正整数n,a2n_｝+g,<0"的

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知数列｛q｝的前〃项和S"=2a“-1,则确定组W2的最大正整数〃的值为（）

n

A.2B.3C.4D.5

5.在各项都为正数的等比数列｛%｝中，％=3,al2=al，则公比q的值为（）

A.-3B.3C.±3D.2

6.已知数列｛%｝的前”项和为S“，其中％=1,%,2a2,%+3成等差数列，且

a“+i=XS“+l（〃cN*,4*-l）,则%=（）

A.2"-1B.2"-1C.（1+2），，-1-1D.（l+A）"

二、多选题

7.已知等比数列｛见｝是单调数列，设S”是其前”项和，若4=243,%=3,则下列结论正确的是（）

A./=±27B.«„=36-

c.s.一口

D.a。…4,—

〃2

8.已知函数〃x）=lgx,则（）

A./（2）,八灰可，〃5）成等差数列B."2）,/（4）,/（8）成等差数列

C./（2）,“12）,”72）成等比数列D./（2）,/（4）,“16）成等比数列

三、填空题

9.等比数列｛/｝中，/=2,%=8,则%=

10.等比数列｛%｝为非常数数列，其前”项和是S“，当S3=3%时，则公比4的值为

11.在递增的等比数列｛4｝中，&=2百，/+%=8,贝1」咏=______.

“2021

12.已知数列｛q｝的前〃项和为S.=2,+f(其中/为常数)，若｛为｝为等比数列，则仁

四、解答题

13.已知等比数列｛〃“｝的首项1=16,公比<7=L，在｛%｝中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和

原数列的数一起构成一个新的等比数列｛〃｝.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)记数列也｝前“项的乘积为试问：1是否有最大值？如果是，请求出此时”以及最大值；若不是，

请说明理由.

14.已知数列｛?｝满足q=(,〃用=力7

⑴证明：存在等比数列低｝,使〃〃=占；

1111一

⑵若一+—+—+…+—<2022,求满足条件的最大整数〃.

%a2a3an

15.已知等差数列｛4｝的公差d=2,且4+%=2,｛%｝的前〃项和为S”.

(1)若S-%、与成等比数列，求加的值.

(2)令6“=2%-1,求数列｛〃｝的前“项和T”.

16.已知回｝是递增的等差数列，q+%=18,%,%，%分别为等比数列抄/的前三项.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(2)删去数列物/中的第4项(其中i=l,2,3,),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列｛cj,求数列

｛%｝的前〃项和S“.

提升题型训练

一、单选题

1.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S〃，s2=4,且83=402+%,则85=（）

A.40B.120C.121D.363

2.记等比数列｛4｝的前〃项和为S”，已知S5=10,%=50,则九二（）

A.180B.160C.210D.250

3.等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，公比为q,若幻+42+43=2,S6=9$3,贝!]89=（）

A.50B.100C.146D.128

4.已知数列｛4｝是等比数列，S〃为其前〃项和，若q+〃2+〃3=4,&+〃5+4=8,则§12=（）

A.40B.60C.32D.50

5.已知等比数列｛q｝中，%=2X3〃L则由此数列的奇数项所组成的新数列的前〃项和为（）

A.3"—1B.3（3n-l）C.；（9〃-1）D.|（9n-l）

6.已知｛q｝为等比数列，若。2.%=%，且。4与2%的等差中项为，，则的值为（）.

O

A.5B.512

C.1024D.64

二、多选题

7.记S,为数列｛见｝的前〃项和，若25“=2叫,且Q,%,佝成等比数列，则（）

A.｛%｝为等差数列B.4=12

C.%，。9，%成等比数列D.S,有最大值，无最小值

8.以下关于数列的结论正确的是（）

A.若数歹£见｝的前〃项和S“=-/+2”，则数列｛%｝为等差数列

B.若数歹1]圾｝的前w项