第12章 二次根式（教师版）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第12章二次根式（思维导图+知识梳理+十大重点考向举一反三讲练）1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.知识点01：二次根式的相关概念和性质【高频考点精讲】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.【易错点剖析】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点02：二次根式的运算【高频考点精讲】1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：【易错点剖析】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.知识点03：二次根式的相关概念和性质【高频考点精讲】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.【易错点剖析】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点04：二次根式的运算【高频考点精讲】1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：【易错点剖析】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.重点考向01：二次根式有意义的条件重点考向02：二次根式的性质与化简重点考向03：最简二次根式重点考向04：二次根式的乘除法重点考向05：分母有理化重点考向06：同类二次根式重点考向07：二次根式的加减法重点考向08：二次根式的混合运算重点考向09：二次根式的化简求值重点考向10：二次根式的应用重点考向01：二次根式有意义的条件【典例精讲】（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【思路点拨】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【规范解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．【考点评析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，同时满足这两个条件，原等式在实数范围内才成立．【变式训练1-1】（2023春•招远市期中）若式子有意义，则x的取值可以是（）A．0 B．2 C．3 D．5【思路点拨】由式子有意义，可得，从而可得答案．【规范解答】解：∵式子有意义，∴，解得：x＞3，∴A，B，C都不符合题意；D符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练的建立不等式组解题是解题关键．【变式训练1-2】（2023•包河区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≤3．【思路点拨】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．【规范解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【考点评析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．【变式训练1-3】（2023•香坊区校级开学）已知，则＝．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件求出a的值，再求出b的值，最后代入求出的值即可．【规范解答】解：由题意可得：，解得：b＝2，∴a＝3，∴．故答案为：．【考点评析】本题主要考查不等式组的求解以及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．【变式训练1-4】（2023•平潭县校级开学）已知．（1）求x的值．（2）求的值．【思路点拨】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；（2）结合（1）确定y的值，然后将x、y的值代入求解即可．【规范解答】解：（1）根据题意可知，，解得，∴x＝2；（2）由（1）可知，x＝2，∴y＝0+0+5＝5，∴．【考点评析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、二次根式化简等知识，理解二次根式有意义的条件是解题关键．重点考向02：二次根式的性质与化简【典例精讲】（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A． B． C． D．【思路点拨】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【规范解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．【考点评析】本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前（n﹣1）行数据的个数是解决本题的关键．【变式训练2-1】（2023春•兰陵县期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【思路点拨】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定b﹣a的正负，然后再化简．【规范解答】解：由数轴知：c＜0，b＜0＜a，∴b﹣a＜0，∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c＝﹣a﹣b+a﹣c＝﹣b﹣c．故选：A．【考点评析】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简．两数相加，取决于绝对值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负．【变式训练2-2】（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．请根据材料解答下列问题：（1）填空：＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【思路点拨】（1）直接根据阅读内容进行变换化简即可；（2）根据例题把4，变成2，然后根据阅读内容进行化简；（3）先根据阅读内容先将分母进行化简，然后分母有理化，再通过合并同类项进行化简．【规范解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（）2+12＝4，，∴．故答案为：．（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，∵15+4＝19，15×4＝60，即（）2+（）＝19，，∴＝＝＝．（3）原式＝++＝++2﹣＝1．【考点评析】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题．【变式训练2-3】（2023秋•天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．【思路点拨】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．【规范解答】解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分的正负是解题关键．【变式训练2-4】（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．（3）化简．【思路点拨】（1）根据小明的方法，将（m+n）2按完全平方公式展开，和a+b的系数进行对比，即可求出a和b的值；（2）欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b＝2mn＝4，进而得到mn＝2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a＝m2+3n2即可求出a的值．【规范解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n）2展开，得：m2+3n2+2mn，将m2+3n2+2mn与的系数进行对比，可得：a＝m2+3n2、b＝2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）观察a+4＝（m+n）2可知，b＝4，由（1）中的规律可知，2mn＝4，则mn＝2，由于m、n均为正整数，则有：或将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得：a＝13，将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得：a＝7，综上可知，a的值为13或7．（3）＝＝＝1+．【考点评析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．重点考向03：最简二次根式【典例精讲】（2023秋•蒸湘区校级期中）下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．【规范解答】解：A．为最简二次根式，所以A选项符合题意；B．＝，则不是最简二次根，所以B选项不符合题意；C．＝，则不是最简二次根，所以C选项不符合题意；D．＝2，则不是最简二次根，所以D选项不符合题意；故选：A．【考点评析】本题考查了最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解决问题的关键．【变式训练3-1】（2022春•舒兰市期末）下列各式属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【规范解答】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、2不能再开方，是最简二次根式，故此选项符合题意；D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【考点评析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式训练3-2】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是．【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【规范解答】解：，故答案为：【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．【变式训练3-3】（2021秋•侯马市校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【规范解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【考点评析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式训练3-4】（2023春•莱阳市期中）已知A＝5，B＝3，C＝，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求的值．【思路点拨】根据最简二次根式的定义可得2x+1＝x+3，从而可得：x＝2，进而可得A＝5，B＝3，然后求出C＝8＝，从而可得10x+3y＝320，进而可得y＝100，然后把x，y的值代入式子中进行计算，即可解答．【规范解答】解：∵A，B为最简二次根式，∴2x+1＝x+3，解得：x＝2，∴A＝5，B＝3，∵A+B＝C，∴C＝A+B＝8＝，∵C＝，∴10x+3y＝320，∴20+3y＝320，解得：y＝100，∴＝＝＝14，∴的值为14．【考点评析】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．重点考向04：二次根式的乘除法【典例精讲】（2023春•西和县期末）下列计算错误的是（）A． B．2 C． D．【思路点拨】根据二次根式乘除运算法则进行计算即可．【规范解答】解：A．，计算正确，故A选项不符合题意；B．，原计算错误，故B选项符合题意；C．，计算正确，故C选项不符合题意；D．，计算正确，故D选项不符合题意．故选：B．【考点评析】本题考查了二次根式的乘除运算，解答关键是根据相关运算法则进行计算．【变式训练4-1】（2023秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝73．【思路点拨】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可求得a+b的值．【规范解答】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），∵＝a•，∴a＝8，b＝82+1＝65，则a+b＝8+65＝73．故答案为：73．【考点评析】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．【变式训练4-2】（2023春•红安县期末）化简：的结果为：0．【思路点拨】根据二次根式的性质可得2﹣a≥0，进而化简得出答案．【规范解答】解：由题意可得：2﹣a≥0，解得：a≤2，故原式＝2﹣a﹣（2﹣a）＝2﹣a﹣2+a＝0．故答案为：0．【考点评析】此题主要考查了二次根式的乘除以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．【变式训练4-3】（2023春•宾阳县期中）观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式．【思路点拨】（1）利用已知，观察＝2，＝3，可得的值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；【规范解答】解：（1）∵＝2，＝3，∴＝4＝4＝，验证：＝＝，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴＝，验证：＝＝；正确；【考点评析】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．重点考向05：分母有理化【典例精讲】（2023春•莘县期末）下列运算中正确的是（）A． B． C． D．【思路点拨】运用二次根式的乘法和除法法则进行运算验证．【规范解答】解：A、2•3＝42≠6，故不符合题意；B、＝＝≠，故不符合题意；C、＝＝＝≠3，故不符合题意；D、÷（×）＝÷＝1，故符合题意．故选：D．【考点评析】本题主要考查了二次根式的化简和乘除法，以及分母的有理化．【变式训练5-1】（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝﹣1．【思路点拨】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+an＝，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．【规范解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+an＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【考点评析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．【变式训练5-2】（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝＝﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：＝﹣．【思路点拨】分子、分母同时乘以（﹣）即可．【规范解答】解：＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【考点评析】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【变式训练5-3】（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1）化简；（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．【思路点拨】（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为a＝3，小数部分为，代入即可求解．【规范解答】解：（1）＝＝＝；（2）∵，又∵，∴，∴的整数部分为a＝3，小数部分为，则．【考点评析】本题考查了分母有理化及无理数的估值，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．重点考向06：同类二次根式【典例精讲】（2024•岳阳楼区开学）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【思路点拨】先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可．【规范解答】解：A．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；B．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；C．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；D．与，被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【变式训练6-1】（2023春•蜀山区期中）使最简二次根式与是同类二次根式的x值是3或1．【思路点拨】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．【规范解答】解：由题意，得：x2+4＝4x+1，整理得x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x＝3或x＝1，故答案为：3或1．【考点评析】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．【变式训练6-2】（2023春•灌云县期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．（1）求x的值；（2）求与的乘积．【思路点拨】（1）根据同类二次根式的概念，列出关于x的方程进行求解即可；（2）将x的值代入式子进行计算即可．【规范解答】解：（1）由题意可知两个根式是同类二次根式，∵＝，∴x+1＝10，∴x＝9；（2）当x＝9时，＝，∴与的乘积为：×＝＝5．【考点评析】本题考查同类二次根式和最简二次根式，正确理解题列出算式是解题关键．【变式训练6-3】（2023秋•高州市期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解．【思路点拨】根据同类二次根式的定义知2a2﹣a＝4a﹣2，据此可以求得a的值；然后将其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0并解方程即可．【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴a2﹣a＝4a﹣6，解得：a＝2或a＝3，当a＝2时，关于x的方程为2x﹣3＝0，解得：x＝，当a＝3时，关于x的方程为x2+2x﹣3＝0，解得；x＝1，x＝﹣3，∴关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解：x＝1、x＝﹣3或x＝．【考点评析】本题考查了同类二次根式、解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答该题时需要注意二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）．重点考向07：二次根式的加减法【典例精讲】（2023春•民权县期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．（）2﹣＝【思路点拨】分别根据二次根式的加减法则、二次根式的乘除法则对各选项进行逐一计算即可．【规范解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；B、÷＝，原计算错误，不符合题意；C、×＝＝2，正确，符合题意；D、（）2﹣＝2﹣，原计算错误，不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查的是二次根式的加减法则、二次根式的乘除法，熟知以上知识是解题的关键．【变式训练7-1】（2023春•铜梁区校级期末）若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a和b使得；②只存在两组a和b使得；③不存在a和b使得；④若只存在三组a和b使得（c为定值），则c可以被49或64整除．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义得出，是同类二次根式，进而得出答案．【规范解答】解：①∵a和b都是正整数且a＜b，，可以合并的二次根式，+＝，∴+＝＝3，当a＝2时，b＝8，故该选项正确；②∵+＝＝5，当a＝3，则b＝48，当a＝12，则b＝27．故该选项正确；③∵+＝＝2，当a＝65时，b＝65，∵a＜b，所以不存在，故该选项正确；④只存在三组a和b使得，即：+6＝7，2+5＝7，3+4＝7，或+7＝8，2+6＝8，3+5＝8，其中与、为同类二次根式，且为最简根式，即c可以被49或64整除，故该选项正确；故选：C．【考点评析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．【变式训练7-2】（2023秋•海曙区期末）（1）解不等式：；（2）计算：．【思路点拨】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可；（2）先化简，然后合并即可．【规范解答】解：（1），去分母，得x+1＜9x，移项，得x﹣9x＜﹣1，合并同类项，得﹣8x＜﹣1，系数化为1，得x＞；（2）＝＝．【考点评析】本题考查了解一元一次不等式以及二次根式的加减，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解此题的关键．【变式训练7-3】（2023春•绥江县期中）已知：，，，…，，n为正整数，且n≥1．（1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an；（2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．）【思路点拨】（1）根据题目中的已知条件，即可求求得a2、a3的值，观察柿子的规律即可，通过猜想得到an；（2）可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和即可．【规范解答】解：（1）解：（1）由题意可得：a1＝3，a1+a2＝2+2×2＝8，解得a2＝5，a1+a2+a3＝3+2×3＝15，解得a3＝7，由题意可得a4＝9，由a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，可猜测：an＝2n+1；（2）由（1）可得an＝2n+1，则an+1＝2n+3．∵≠，∴bn＝＝＝＝＝﹣，∴b1+b2+b3+...+bn＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣．【考点评析】本题考查了二次根式的加减以及平方差公式和数字变化的规律，阅读理解题目中的信息，灵活运用所学知识是解决问题的关键．【变式训练7-4】（2023春•前郭县期中）计算：（b＞0）【思路点拨】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【规范解答】解：原式＝2ab﹣+ab＝．【考点评析】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．重点考向08：二次根式的混合运算【典例精讲】（2023秋•宽甸县期末）（1）计算：（+2）（﹣2）+|1﹣|×．（2）解方程组：．【思路点拨】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【规范解答】解：（1）原式＝5﹣4+﹣1﹣3＝﹣2；（2），①×3﹣②得：11y＝﹣11，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：x＝2，则方程组的解为：．【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练8-1】（2023秋•麻阳县期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝10﹣3；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简：．【思路点拨】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案．【规范解答】解：（1）＝＝﹣＝；故答案为：．（2）观察前面例子的过程和结果得：；（3）反复运用得＝＝＝＝﹣1+10＝9．【考点评析】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解．【变式训练8-2】（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝﹣；②＝+．（2）应用：化简．（3）拓展：＝．（用含n的式子表示，n为正整数）【思路点拨】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝+；故答案为：①；②+；（2）＝+++...+＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣；（3）＝+++...+＝+++...+＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）＝，故答案为：．【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练8-3】2023春•章贡区期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：（1）化简：①＝；②＝；（2）计算：；（3）已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【思路点拨】（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；（3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解．【规范解答】（1）解：①；②，故答案为：；．（2）＝＝＝2023﹣1＝2022；（3），同理：，，∵，∴a＞b＞c．【考点评析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．重点考向09：二次根式的化简求值【典例精讲】（2022秋•新化县期末）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A． B．﹣10 C．﹣2 D．【思路点拨】求出x﹣1＝，再根据完全平方公式进行变形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．【规范解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．【变式训练9-1】（2023春•康巴什期末）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为．【思路点拨】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：∵m＝2+，n＝2﹣，∴m+n＝（2+）+（2﹣）＝4，mn＝（2+）×＝1，∴＝＝＝，故答案为：．【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．【变式训练9-2】（2023秋•华容县期末）已知，，．求值：（1）m2+n2；（2）．【思路点拨】（1）先代入，再根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（2）先根据二次根式的乘法法则求出mn的值，再通分，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：（1）∵m＝+1，n＝﹣1，∴m2+n2＝（+1）2+（﹣1）2＝5+2+1+5﹣2+1＝12；（2）∵m＝+1，n＝﹣1，∴mn＝（+1）×（﹣1）＝5﹣1＝4，∴+＝＝＝3．【考点评析】本题考查了分式的混合运算和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．【变式训练9-3】（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：﹣1；（2）计算：+++⋯+＝9；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．【思路点拨】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先分母有理化求出a＝+2，再求出a﹣2＝，两边平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代数式的值即可．【规范解答】解：（1）＝＝﹣1．故答案为：；（2）原式＝+++......+＝﹣1+﹣+﹣+......+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案为：9；（3）∵，∴．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．重点考向10：二次根式的应用【典例精讲】（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为a，