九年级数学上册基础知识讲练：一元二次方程根与系数关系(知识讲解)

专题2.14一元二次方程根与系数关系(知识讲解)

【学习目标】

掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

1

如果一元二次方程ax+bx+c-0(a丰0)的两个实数根是七，%2,

那么X]+%=---，苞尤2

a

注意它的使用条件为aWO,A20.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除

以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

知识框图：

1、求代数式的值

2、求待定系数

一元二次方程求根公式-根与系数关系-应用3、构造方程

4、解特殊的二元二次方程组

5、二次三项式的因式分解

【典型例题】

类型一、由根与系数关系直接求值

£>1.已知XI,X2是一元二次方程x2—3x—1=0的两根，不解方程求下列各式的值:

(1)xI-+xI

【答案】⑴11;(2)-3.

【分析】

由一元二次方程的根与系数的关系可得玉+%=3,网色=-1；

(1)将所求式子变形为(X/+X2)2—2X1X2,然后整体代入上面两个式子计算即可;

(2)将所求式子变形为幺土强，然后整体代入上面两个式子计算即可.

解：%2是一兀二次方程N—3x—1=0的两根，

玉+%=3,芯•9=,

(1)X；+X]2=(Xl+x2)2—2X1X2=32—2x(—1)=11；

11X.+

(2)—+-----------

X

%入2石•2■

【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二

次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键.

举一反三:

【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积:

(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.

3

【答案】(1)芯+/=-7,芯％2=6；(2)项+兀2=5，再々=一1

【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可.

解：(1)这里。=1力=7,0=6.

A=Z?2-46zc=72-4x1x6=49-24=25>0,

・•・方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是/，

那么%+%2=-7,再兀2=6.

(2)这里4=2,/?=-3,c=-2.

△=/—4QC=(-3)2-4x2x(-2)=9+16=25>0,

・•・方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是4%2,那么

31

%+%2=5，％1%2=.

【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知%+%=-'h，网电=c£是解题

aa

的关键.

【变式2】甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，

解得两根分别为3和2,乙抄错了一次项系数，解得两根分别为一5和一1,求原来的方程.

【答案】%2-5X+5=0

【分析】

解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取

乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程.

解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新

组合出原来正确的方程.

解：解法一：设原一元二次方程为d+ax+buO,代入甲解出的两根3、2得

[f49++23a+b=0。,解得[fba==6-5

，因为甲抄错常数项，所以取a=-5

同理,代入乙解出的两根一5和一1,可得5=5,而乙抄错了常数项,所以取b=5,

综上可得原方程为%2-5X+5=0

解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2,两根之和正确；乙抄错了一次项系数，

解得两根为一5和一1,则两根之积正确.设原方程的两根分别为毛、巧，可得玉+々=5,%%=5,

所以原方程就是—-5尤+5=0.

【点拨】在没有学习根与系数关系之前,可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，

学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单.

类型二、由根与系数关系求参数的值

^^^2.关于x的一元二次方程Y-（2%-l）x+疗=0的两根为,且。+6=仍-4,

求m的值.

嘉佳的解题过程如下：

解：a+b=2m—l,ab=m2,

2m—1=m2-4>

整理,得病-2加-3=0,

解得见=-l,m2=3.

嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程.

【答案】加的值为-1.

【分析】

根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答.

解：嘉佳的解题过程漏了考虑A.。这一条件.正确的解题过程如下：

根据题意得△=（2"z-l）2-4加..0,解得机，;.

4

a+b=2m-l,ab=m2,2m-1=m2-4,

整理得加1-2»i-3=0,解得叫=-1,外=3（舍去），

，加的值为-1.

【点拨】本题中忽略A.0这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所

给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“A。”，才能得出正确结果.

举一反三：

【变式1】已知天、巧是方程尤,-2依+公一Z=。的两个实根，是否存在常数匕使

%+强=；成立？若存在，请求出上的值；若不存在，请说明理由.

x2项2

【答案】不存在.理由见分析

【分析】

根据根与系数关系列出关于左的方程，根据方程有实数根列出关于左的不等式，求解即

可.

解：不存在.

/、巧是方程/一2h+左2一％=（）的两个实根,

Ab2-4ac>0,即（-2左）2-4伏2_左）20,

解得，左20；

由题意可知再+%=2%,=k2-k,

22

・・%+%2_+X2_（玉+X2）一？%1/3

玉工22

...（2Q22伏2-左）=3,解得匕=0,&=一7,经检验，&=-7是原方程的解，

k-k2

Vk>0,

不存在常数匕使五+强=|■成立.

x2再2

【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关

系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0.

【变式2】已知方程£+4尤-2加=0的一个根比另一个根小4,求这两个根和加的值.

【答案】占=0,%2=-4,m=0

【分析】设两根为XI和X2,根据根与系数的关系得X1+X2,X1.X2,由|X2-X1|=4两边平方，

得（X1+X2）2-4X「X2=16,代入解得m,此时方程为x2+4x=0,解出两根.

解：x2+4x-2m=0

设两根为X1和X2,则△=16+8m>0,

且XI+X2=-4,xrX2=-2m

由于仅2凶|=4

两边平方得X12-2X1,X2+X22=16

即（X1+X2）2-4Xl.X2=l6

所以16+8m=16

解得：m=0

此时方程为x2+4x=0,

解得xi=0,X2=-4.

【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方

程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根.

类型三、根的判断别与根与系数关系综合

每，3、已知一元二次方程一一2彳+相=0.

(1)若方程有两个实数根，求m的范围；

(2)若方程的两个实数根为%、%，且再+39=3,求m的值.

【答案】(1)7〃W1;(2)m=-

【分析】

(1)一元二次方程d—2x+m=0有两个实数根，ANO,把系数代入可求m的范围;

(2)利用根与系数的关系，已知再+%=2结合占+3%=3,先求不、%，再求m.

解:(1);,方程炉-2工+加=0有两个实数根，

，一=b°—4ac=(—2)~—4m—4—4m>Q,

解得m<l；

(2)由根与系数的关系可知，再+3=2,再々=根，

f%,+=2

解方程组、/

lx,+5X2—5

.3

x1,=一

解得?;，

x=一

I92

.313

・・m——x—.

f-224

【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别

式、根与系数的关系是解题的关键.

【变式1］已知关于x的一元二次方程/-(8+人口+8左=0.

(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根.

(2)若x；+考=68,求k的值.

(3)若等腰三角形的一边长为5,另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三

角形的周长.

【答案】(1)证明见分析；(2)%=±2；(3)这个等腰三角形的周长为21或18.

【分析】

(1)根据根的判别式即可得到结论；

(2)先计算△=(8+k)2-4x8k,整理得到4=(k-8)2,根据非负数的性质得到△“，

然后根据4的意义即可得到结论；

(3)先解出原方程的解为xi=k,X2=8,然后分类讨论：腰长为8时，则k=8；当底

边为8时，则得到k=5,然后分别计算三角形的周长.

解：(1)A=(8+%)2—4x8左=(左一8)2.

,(k-S)2..O,

/.A..0,

无论k取任何实数，方程总有实数根；

(2)X]+々=8+左,玉々=8左,X；+考=68,(%+々)2=片+考+2%彳2，

二.(8+左)2=68+16左，

解得％=±2；

(3)解方程Y-(8+左)龙+8左=0得再=k,x2=8.

①当腰长为8时，左=8.

8+5=13>8,能构成三角形,

周长为8+8+5=21.

②当底边长为8时，k=5.

5+5=10>8

.••能构成三角形，周长为5+5+8=18.

综上，这个等腰三角形的周长为21或18.

【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根与系数的关系：若方程两

个为XI,X2,则X1+X2=-2,xi-X2=-.也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的

aa

性质，掌握这些知识点是解题关键.

【变式2]已知关于x的一元二次方程无2左+1)无-2=0.

(1)求证：无论左为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根毛，巧满足玉-々=3,求上的值.

【答案】(1)见分析(2)0,-2

【分析】

(1)根据根的判别式即可求证出答案；

(2)可以根据一元二次方程根与系数的关系得人与的毛、巧的关系式，进一步可以求

出答案.

解：(1)证明：：=(2k+1)—4x—2)=2左2+4%+9=2(%+1)2+7,

••,无论左为何实数，2(左+1)220,

AA=2(A:+l)2+7>0,

无论左为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系得:

卒2T2-2,

%+%2=2k+1,

*.*x1-x2=3,

2

(Xj-x2)=9,

2

(玉+x2)-4玉龙2—9,

.•.(2A+l)2_4x[g公_2)=9,化简得：k2+2k=0,

解得k—Q,—2.

【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解

题.

类型四、根与系数关系拓展应用1

^^>4、已知机，w是方程N-2x-1=0的两个根，是否存在实数a使-(m+n)(Tm2

-14m+fl)(3w2-6n-7)的值等于8?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，a=-6

【分析】

根据方程的解的定义得出加2-2加=1,"2_2”=1,m+n=2,再整体代入即可得出。的值.

解：存在，理由如下：

,:m,w是方程2%-1=0的两个根，

••加之-2m1,—29T1,〃—■2,

-(m+n)(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)

=-(m+n)[7(m2-2m)+a][3(/-2H)-7]

=-2x(7+a)(3-7)

=8(7+a),

由8(7+〃)=8得a=-6,

・,・存在实数a=-6,使-(m+n)(7m2-14m+«)(3n2-6n-7)的值等于8.

【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出/-2加=1,

/-2及=1,m+n=2,注意解题中的整体代入思想.

【变式II阅读材料：已知方程夕2-1=0,1-9-夕2=()且〃疗1,求P,+l的值.

q

解：由p2-p-1=0,及1-g-g2=o可知冰o,

又,：pq=^l,

・•・〃，一1.

q

11

VIFF2=O可变形为(_)29——_1=0,

qq

i91

根据p2-p-1=0和(一)-1=0的特征，

qq

；.p、L是方程N-x-1=0的两个不相等的实数根，

q

qq

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2m2-5机-1=0,二+*-2=0,且*〃，求：

nn

(1)mn的值；

(2)-z-H—Z-.

mn

【答案】(1)-：；29.

【分析】

(1)由题意可知：可以将方程2九2一5九一1=0化简为占+»-2=0的形式，根据根与

mm

系数的关系直接得：工」的值；

mn

(2)将士+士变形为=fl+」求解.

mnn)mn

解：由2m2—5m—l=0知m#),

,•*—z-T2=0,YYl^R,

nn

.一J,

mn

和L是方程f+5x-2=0的两个根，

mn

(1)由,和1是方程/+5x—2=0的两个根得!,=-2,

mnmn

,1

经检验：加=4是原方程的根，且符合题意.

(2)由一和一是方程d+5x-2=0的两个根得一+—=-5,

mnmnmn

—+—--—=25+4=29.

mn

【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次

方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键.

【变式2］定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(arO)的两个实数根为xi,

X2(X1<X2),分别以XI,X2为横坐标和纵坐标得到点M(XI,X2),则称点M为该一元二

次方程的衍生点.

(1)若方程为X2-2X=0,写出该方程的衍生点M的坐标.

(2)若关于X的一元二次方程x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)的衍生点为M,过点

M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.

(3)是否存在b,c,使得不论k(k^O)为何值，关于x的方程x?+bx+c=0的衍生点

M始终在直线y=kx-2(k-2)的图象上，若有请直接写出b,c的值，若没有说明理由.

【答案】(1)衍生点为M(0,2)；(2)」；(3)存在，b=-6,c=8；

2

【分析】

(1)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；

(2)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建

方程即可解决问题；

(3)求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；

解：(1)Vx2-2x=0,

/.x(x-2)=0,

解得：xi=0,X2=2

故方程x2-2x=0的衍生点为M(0,2).

(2)x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)

Vm<0

2m<0

解得：xi=2m,X2=L

方程x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)的衍生点为M(2m,1).

点M在第二象限内且纵坐标为1,由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x

轴y轴恰好围城一个正方形,

所以2m=-1,解得加=一心.

(3)存在.

直线y=kx-2(k-2)=k(x-2)+4,过定点M(2,4),

x2+bx+c=0两个根为xi=2,X2=4,

/.2+4=-b,2x4=c,

，b=-6,c=8.

【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题

的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题.

类型五、根与系数关系拓展应用2

^^5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边与x轴重合，顶点A在y轴的正

半轴上，线段08,OC(OB<OC)的长是关于x的方程尤2-7x+6=0的两个根，且满足

CO=240.

(1)求直线AC的解析式；

(2)若尸为直线AC上一个动点，过点P作RDLx轴，垂足为。，尸£)与直线交于点

Q,设△CP0的面积为S(SwO)，点尸的横坐标为a,求S与。的函数关系式；

(3)点M的坐标为(m,2),当AMAB为直角三角形时，直接写出机的值.

一片H----a,ci(-

42'/

7221么八

------CL---------CL,—O<〃<0

142

(3加的值为一3或一1或2或7；

【分析】

(1)根据一元二次方程的解求出。2和0C的长度，然后得到点8,点C坐标和。4的

长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；

(2)根据点A,点B坐标使用待定系数法求出直线AB的解析式，根据直线解析式

和直线AC解析式求出点P,Q,。坐标，进而求出P。和C。的长度，然后根据三角形面积

公式求出S,最后对A的值进行分类讨论即可；

(3)根据AM42的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可.

(1)解：解方程X?-7x+6=0得为=6,x2=1,

..•线段。2,OC(OB<OC)的长是关于x的方程尤2—7x+6=0的两个根，

.*.08=1,OC=6,

B(l,0),C(-6,0),

'：CO=2AO,

：.OA=3,

设直线AC的解析式为y=kx+b(k^0),

/、/、f—6k+Z?=0

把点A(0,3),C(-6,0)代入得，

I(J—D

\=L

解得,2,

b=3

直线AC的解析式为y=；x+3；

(2)解：设直线AB的解析式为尸px+q,

把A(0,3),3(1,0)代入直线AB解析式得第=；+,

解得[片：

〔4=3

直线AB的解析式为y=-3w+3,

•••POLx轴，垂足为。，尸。与直线AB交于点。，点P的横坐标为a,

+3),Q(a,—3a+3),D(a,0),

PQ=(一3。+3)一1/a+3J=5a,CD=|a+6],

117

：.S=-PQCD=-x-a也+6|,

当点尸与点A或点C重合时，即当4=0或〃=-6时，此时S=0,不符合题意,

](7、721

当々＜—6时，S=+6)]=,

(〃+6)=-"乙

当一6＜。＜0时,S=-x

2v742

S，L(a+6)="L,

当〃＞0时,

221742

一a2Ha,

.o_42'/

・・3—4；

721「

—a2-----a,—6＜。＜0n

I42

(3)解：；A(0,3),3(1,0),M(m,2),

/.AB=J(l-Op+(0-3)2=布，AM=J(〃?_op+(2-3)2=JW+1,

BM=^(m-l)2+(2-0)2=y]nr-2m+5,

当NMA2=90。时，AM2+AB2=BM2,

解得m=-3,

当NABM=90。时，AB2+BM2=AM2，

解得m=n,

当NAM2=90。时，AM2+BM2=AB2,

解得见=T,，％=2,

.•.根的值为一3或-1或2或7.

【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、

勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键.

【变式4c在平面直角坐标系中的位置如图所示，心与丁轴交于点3(0,2),点「

的坐标为(-1,3),线段。4,OC的长分别是方程尤2_9尤+14=0的两根，OC＞OA.

(1)求线段AC的长；

(2)动点。从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿无轴负半轴向终点C运动，过点。

作直线/与x轴垂直，设点O运动的时间为f秒，直线/扫过四边形O3PC的面积为S,求S与

f的关系式；

(3)/为直线/上一点，在平面内是否存在点N,使以A,P,M,N为顶点的四边形

请说明理由.

(3)存在满足条件的N点，其坐标为(2,3)或(-4,0)或(-1,-3).

【分析】

(1)解方程可求得。4、OC的长，则可求得A、C的坐标，从而可得AC长；

(2)分两种情况：①当0〈也1时；②当1〈江7时，利用梯形的面积公式即可求解；

(3)分两种情况：①AP为正方形的对角线时，②AP为正方形的边时，根据正方形以

及等腰直角三角形的性质，可求得N点坐标.

(1)解：解方程N-9x+14=0可得x=2或x=7,

:线段OC的长分别是方程N-9x+14=0的两根，且。0。4,

：.OA=2,OC=7,

AA(2,0),C(-7,0),

AC=2-(-7)=9.

(2)解：过点P作/WLOC于"，而尸(-1,3),

:.OH=1,PH=3,CH=6

设直线AB解析式为而点8(0,2),

[一4+6=3[^=-1

。，解得/)，

[6=2\b=2

直线AB解析式为y=-x+2,

①如图1所示，当0<二1时，点E(-r,r+2),

；.S=S赭那OBEO=?(2+f+2)=；〃+2f(0<z<l)；

②如图2所示，当1〈匹7时，

设直线CP解析式为

VC(-7,0),点尸的坐标为(-1,3),

1

m=—

f-7m+n=0,解得5

\-m+n=3

n=—

17

直线CP解析式为y=5尤+],

7

设L

-

2

7

-

2

：.S=S梯形OBPH+S梯形HPED=