2023-2024学年北京延庆区高二年级上册期末数学试题及答案

2024北京延庆高二（上）期末

数学

本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={x,2＜4},集合8={x|x〉o},则Au3=（）

A.-2]B.[—2,0）C.[-2,+co）D.（0,2]

3

2.已知双曲线的一个焦点是（5,0）,渐近线方程为y[X,则双曲线的离心率为（）

5534

A.一B.—C.—D.一

3455

3.复数z=i（2+3i）,贝”的虚部为（）

A.2B.-3C.2iD.3i

22

4.已知尸是椭圆土+匕=1上的动点，则尸到椭圆的两个焦点的距离之和为（）

94

A.3B.4C.275D.6

5.到定点歹（i,o）的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在％轴的负半轴的轨迹方程是（）

A.y~=8xB.y2=4xC.y2-2xD.y2=x

6.正方体ABC。—AqC]A的棱长为2,则点G到平面AB。的距离为（）

A.1B.V2C.6D.2

7.已知圆好+丁=4上一点A和圆好+/一4%一4〉=0上一点8,则司的最大值为（）

A.2+472B.2+272C.4^D.272

22

8.“1＜加＜2”是“方程二一+^^=1表示椭圆”的（）

2—mm-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.若不论左为何值，直线y=Mx-2）+b与曲线必+丁=9总有公共点，则b的取值范围是（）.

A.（—石，石）B.[-6,6]C.（-2,2）D.[-2,2]

10.在平面直角坐标系xOy中，点A（l,l）,B（2,l）,C（2,2）,P是圆M:一+。一厅=2上一点，。是

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.ABC边上一点，则。P。。的最大值是()

A.8+2&B.12

C.8+4A/2D.16

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.椭圆3必+4丁=12的长轴长为.

2

12.双曲线匕-必=1的渐近线方程是

4

13.已知圆好+/=2,求经过点(1,1)的圆的切线方程.

14.已知方程2d-尤|y|+4=0,求》的取值范围.

15.若曲线/(x,_y)=0上的两点々(和%)，鸟(4,%)满足玉w》为，则称这两点为曲线

2222

*x,y)=o上的一对“双胞点”.下列曲线中：①2+\=i(y<o)；②亍―\=1(孙〉0)；③

V=4x(y>0)；④忖+1y|=1.存在“双胞点”的曲线序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.根据下列条件，分别求出曲线的标准方程：

(1)焦距是6,过点(0,5),焦点在》轴上的椭圆；

(2)一个焦点是(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=。的双曲线；

(3)焦点到准线的距离是4,而且焦点在》轴上的抛物线.

17.已知过点尸(0,5)的直线/被圆C：f+/+©_12y+24=0所截得的弦长为473.

(1)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径；

(2)求直线/的方程.

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是矩形，侧棱PAL底面A3CD,点E为棱PD的中

点，AB=1,AD=AP=2.

(1)求平面ACE与平面PA3夹角的余弦值；

(2)若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G,使得尸平面EFG.若存在，求线段AG的

长；若不存在，请说明理由.

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19.已知抛物线C：y2=4x,过焦点厂的直线/与抛物线C交于42两点，定点“（5,0）.

（1）若直线/的斜率为1,求△/?及■的面积；

（2）若是以M为直角顶点的直角三角形，求直线/的方程.

22_

20.已知椭圆E：1+4=1（a>>>0）的短半轴长为1,焦距为2g.

ab

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设椭圆E的右顶点为A,过点P（4,0）且斜率为左（左W0）的直线交椭圆E于不同的两点直线

AB,AC分别与直线尤=4交于点",N.求归+\PN\的取值范围.

21.给定正整数〃22,设集合Me{0,l},左=1,2,….对于集合M中的任意

元素夕=（再,/，和7=（%，%，一，先），记上7=不必+起％++xnyn.设,且集合

p,i=i,

A=[ai\ai={tii,tn<z=l,2,,n\对于A中任意元素4，%,若.则称A具

U，6，

有性质T（”,p）.

（1）判断集合4={（1/,0）,（1,01）,（0,1,1）}是否具有性质丁（3,2）?说明理由;

（2）判断是否存在具有性质T（4,p）的集合A,并加以证明.

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参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.【答案】C

【解析】

【分析】化简A={x|-2<x<2},再由集合并集的运算即可得解.

【详解】由题意A={x|x2<4}={x[—2<x<2},8={x|x>0},

所以ADB={x|-2<x<2}u{x|x〉。}={xIx之-2}=[-2,+<z>）.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出a，J再根据离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为"，焦距为2c,

b3

由题意可得双曲线的焦点在无轴上，且c=5,-

a4

3

所以b二:。，

4

又/+匕2=。2,所以36=25,解得标=16,所以"4,

lo

所以双曲线的离心率一c='5.

a4

故选：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】先根据复数的乘法运算求解出z,则复数的虚部可知.

【详解】因为z=i（2+3i）=2i+3i?=—3+2i,所以z的虚部为2,

故选：A.

4.【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆方程求解出。的值，再由椭圆定义可知结果.

【详解】由椭圆方程可知：a=3,

由椭圆定义可知：P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=6,

故选：D.

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5.【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的定义即可得解.

【详解】因为动点到定点歹(i,o)的距离比到》轴的距离大1,

所以动点到定点尸(L0)的距离等于到x=-l的距离，

所以动点的轨迹是以尸(i,o)为焦点，x=-l为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是=4x.

故选：B.

6.【答案】B

【解析】

【分析】根据等体积法可知％y即=匕一4G4，然后计算出SABD】，SAGR，结合三棱锥体积公式则点G

到平面4班\的距离可求.

【详解】设点G到平面482的距离为d,

因为%Y*=kca，所以;xSA町x"=gxSAGAXBB」

又因为SABX-\/22+22=2A/2,S——x2x2—2,

。——22X八ACD2

所以gx20xd=gx2x2,所以d=0,

故选：B.

7.【答案】A

【解析】

【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.

【详解】易知圆/+/=4的圆心为原点(0,0),半径弓=2,

由圆x2+y2—4x—4y=0=(x—2『+(y—2)2=8,故其圆心为(2,2),半径々=2血,

两圆圆心距为d=J(2—0)2+(2—0『=20e(2虚—2,20+2),所以两圆相交，

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贝=4+4+々=4亚+2,如图所示.

1

IImax4

故选：A

8.【答案】B

【解析】

22

【分析】根据“1＜加〈2”与“方程+工=1表示椭圆”的互相推出关系判断出属于何种条件.

2—mm—1

3丫22

【详解】当1＜加＜2时，取加=—,止匕时+^^=1=尤2+2=2,故方程表示圆；

22—mm—1

2-m＞0

22

当方程-^+-^=1表示椭圆时，则根—1＞0,

2—mm—1与1

33I

解得〈加1＜加＜一或一＜根＜2＞，

I22J

33]

止匕时＜加1＜加或万＜加＜2：是｛司1〈根＜2｝的真子集，

331

所以＜〃”＜机＜5或5＜相＜2|可推出｛川1＜根＜2｝；

22

综上可知，“1＜加＜2”是“方程+-L=I表示椭圆”的必要而不充分条件，

2-mm—1

故选：B.

9【答案】B

【解析】

【分析】由题知直线恒过定点（2涉），进而将问题转化为点（2涉）在圆内或圆上问题求解即可.

【详解】解：由直线方程可知直线恒过定点（2涉），

要使直线y=-x-2）+b与曲线d+丁=9总有公共点，则点Q向在圆内或圆上，

所以22+廿＜9,解得：-也WbM亚.

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所以，〃的取值范围是：[-石，石].

故选：B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】设「（石,%）,。（％，%），则。尸•。。=玉4+%%，因为马6[1,2],%6[1,2],所以当

々=2,%=2,即。点与。点重合时，0P♦。。=%了2+%%有最大值2（石+%），问题转化为尸（%,%）

在圆M：f+（y-4）2=2上，求芯+%的最大值，

【详解】解：设「（和％）,。（々，％），则。尸=（&%）,OQ=（%，%），

所以。尸•CQ=xxx2+%%,

因为々e[l,2],%e[l,2],

所以当％=2,%=2,即。点与C点重合时，。户•。。=%4+%%有最大值2（%+为），

所以问题转化为尸01，%）在圆加“2+（2-4）2=2上，求七+%的最大值,

因为点p（x,y）在圆M上，设点P（x,y）所在的直线/为了+>=/,

因为直线/与圆加有公共点,

所以圆心到直线的距离不大于半径，即<V2,

所以‘—4|<2,解得2<f<6,即2V石+%V6,

所以4<2（石+%）<12,

所以OPOQ的最大值是12,

故选:B

【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当

々=2,%=2,即。点与C点重合时，。尸•。。=%%2+%%有最大值2（%+%），问题转化为尸（%,%）

在圆加：X2+。一4）2=2上，求%的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合

的思想，属于中档题

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】4

【解析】

【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.

22

【详解】由3/+4丁2=12=亍+.=1,

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显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为2义4=4.

故答案为：4

12.【答案】y=±2x

【解析】

【详解】根据双曲线的渐近线公式得到y=±-x,y=±2x

b

故答案为丁=±2》.

13.【答案】x+y-2=0

【解析】

【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线

方程.

【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为丁一1=左(％-1),即日—y+1-左=0,

.・・且筌=0,解得左=一1,所以切线方程为x+y—2=0.

yjl+k2

故答案为：x+y—2=0.

14.【答案】(―oo,—4&][J[4&,+OO)

【解析】

44

【分析】分离出1例，得|丁|=2兀+—，求出对应的/(%)=2%+—的值域即可求解.

xx

【详解】当x=0时，原式化为4=0,无解，故九。0,

4

则|y\=2x+—,由|y|NO得力＞0,

x

4

设/(%)=2%+—,由对勾函数知，

x

函数在(0,&)单调递减，(后,+8)单调递增，

故/(x)min=/(V2)=442,则/(X)的值域为[40,+00),

即则或)＜一4后.

故答案为：(―oo,—[4A/2,+OO)

15.【答案】①④

【解析】

【分析】根据定义结合椭圆、双曲线、抛物线的性质与图象一一判定即可.

【详解】对于①J+J=l(y＜0)，如L—⑹显然符合“双胞点”定义；

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2222

对于②二—匕=1（盯〉0），易知其图象为双曲线上—匕=1：的图象在第一、三象限的部分，

显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；

对于③V=4x（j>0）,易知其图象为抛物线丁=4x的图象在第一象限的部分，

显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；

对于④|x|+回=1,如《（-1,0）,/^］，一£|显然符合“双胞点”定义；

综上①④有“双胞点”.

故答案为：①④

【点睛】思路点睛：根据“双胞点''的定义结合椭圆、双曲线、抛物线的图象与性质一一判定选项即可.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22

16.【答案】（1）匕+土=1；

2516

x2

(2)--

16

(3)x1—+8y.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的焦距与顶点及焦点在y轴上写出椭圆标准方程即可;

（2）根据双曲线的焦点及渐近线方程写出双曲线标准方程即可；

（3）根据抛物线的性质及焦点在y轴上写出抛物线标准方程即可.

【小问1详解】

2x2

由题意可设与+=l(a>b〉0),

a

2

a2-b2=(~

可知<12=>/=25万=16,

6Z—5

则椭圆的标准方程为：-^+―=1;

2516

【小问2详解】

易知双曲线的焦点在横轴上，

22

可设标准方程为=1（a>03>0），

则a2、b252,且云-ay=。是其一条渐近线，

即2故/=1612=9,所以双曲线的标准方程为：—-^=1；

a4169

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【小问3详解】

若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：x2=2py（p>0）,

因为焦点到准线的距离是4,则有0=4,所以犬=8〉，

若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：x2=-2py（p>0）,

因为焦点到准线的距离是4,则有0=4,所以必二8y,

综上抛物线的标准方程为：x2=±8y.

17.【答案】⑴（x+2y+（y—6）2=16,圆心坐标为（—2,6）,半径为4.

⑵3%-4丁+20=0或1=0.

【解析】

【分析】（1）根据圆的一般方程与圆的标准方程的关系，即可求解；（2）根据直线与圆的位置关系，当直

线斜率存在时，结合勾股定理和点到直线的距离公式即可求解，当直线斜率不存在时，特殊情形验证下即

可.

【小问1详解】

由题意整理圆的方程得，标准方程为（x+2）2+（y-6『=16,故圆心坐标为（-2,6）,半径为4.

【小问2详解】

由（1）,又直线被圆截得的弦长为4君，

故弦心距为卜二孚=2，

当直线斜率存在时，设直线的斜率为限则过尸（。，5）的直线，可设为丁=履+5,即依-y+5=0,

1•直线与圆C的圆心相距为2,

卜2左-6+5|3

此时直线的方程为3x-4y+20=0,

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0,也符合题意.

故所求直线的方程为3x—4y+20=0或x=0.

18.【答案】（1）逅；

6

（2）不存在，因为PC,E尸不垂直.

【解析】

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可；

（2）设存在点G满足条件，利用线面垂直的向量关系判定即可.

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【小问1详解】

因为底面ABC。是矩形，侧棱P4,底面A5CD,可知PA,AB,AD三线两两垂直,

如图示建立空间直角坐标系，由题意可知C（l,2,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,所以E（O,1,1）,

则AE=（O,l,l）,AC=（l,2,O）,

771,A.E—/?+C—0

设平面ACE的一个法向量为m=（〃也c）,贝叶

m-AC=a+2b=0

令b1,则〃=2,c=l,即根

易知平面PAB的一个法向量为n=（0,1,0）,

设平面AC£与平面P45的夹角为。，

m-n\,_1_V6

贝！Jcoscif=|cosm,n|

\m\-\n\V66

【小问2详解】

假设存在点G,使得尸平面MG,且G（0,01）,

根据⑴可知bg』/],PC=（1,2,—2）,则跖=g,O,o],EG=（O,—l,"l）,

若PCJ_平面所G,又E尸u平面EFG,所以尸CLET"

而尸C・EF=LWO,则PC,所不成立，所以尸Cd_平面ERG不成立.

2

19.【答案】⑴872

⑵y=+^-（x-l）

【解析】

【分析】（1）A3的斜率为1时，/：y=x—L代入抛物线方程得d—6x+l=0,求出|A3|,点M到

直线A3的距离，即可求AAEW的面积；

4

（2）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去人根据韦达定理表示出%+4=2+”，

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玉%2=1，%%=-4,由44_1_如，求得k值，进而得出结论.

【小问1详解】

解：由题意尸(L0),当A3的斜率为1时，/：y=x—1

代入抛物线方程得x--6x+l=0

设4%，％),B(X2,%)，Xj+x2=6,|AB|=+x2+2=8,

点M到直线AB的距离d=与”=272

V2

ABAf的面积S=！X8X2A/^=8j^；

2

【小问2详解】

解：易知直线时不符合题意.可设焦点弦方程为y=k(x—1),4再，%),B(X2,

代入抛物线方程得左2%2_(242+4)x+勿2=0,则

c4,

%!+X2—2+=1，=-4

MALMB,肱4=(占-5,%),MB={X2-5,%)，

MA,MB=X1%—5(X[+X])+25+%%=22—5义(2+—^)=0,:.k=土'..

故L的方程为丁=±卓5—1)

20.【答案】(1)2

2

(2)(2石,+co)

【解析】

【分析】(1)由短半轴，焦距及/=62+02求解出仇C,再根据离心率公式即可得解;

(2)设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表达出|PM|+|PN|=g,结合左2<

求得答案.

【小问1详解】

必=1

依题意知,解得a=2,>=1,c=,

a2=b2+c2

所以离心率e=£=虫

a2

【小问2详解】

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2

由⑵得，椭圆£的方程为亍+:/=1,则A（2,0）,

设直线BC的方程为y=々（X-4）（左w0）,

y=/r（x-4）

联立%2,得（1+4左2）%2_32左2》+64k2—4=0,

---1-y2=1'

14•

1

△=（32左2）一2—40+4左2）（64左2—4）=160—12左2）＞0,得父＜在，且公力。.,

设8（%,%）,。（x2，%）,<2,X2<2,

32k264V-4

则M+Xy-----------—,XyXy--------------，

121+4左2121+4左2

7/ZVITV

设朋'（4,根）,N（4,“），依题意有：不=一3，-=—

因为％%=/（占一4）（々-4）＞0,

所以加飞—£—2）2

所以=帆+阿=帆+"=

2Mxi-4）2Mx2-4）玉+%2―4

4k1-

玉一2冗2-2%9-2（%+x2）+4