2022年广东省深圳市学校中考数学模拟试卷（原卷版）

2022年广东省深圳市宝安区第一外国语学校中考

数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题,共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数中，最大的数是（)

1

A.3B.C.D.7C

63

2.下列运算正确的是（)

331239

A.a5+a5=B.a-aa9D.a+Q=a

r2-l

3.若分式）的值为零,则％的值为（)

X2+X-2

A.X=1B.X=±lC.x=-lD.Xwl

nh

4.已知函数丁=—,当x>o时，y随1增大而减小，则关于1的方程ax-2+3x-b=0的根的情况是（）

X

A有两个正根B.有一个正根一个负根

C.有两个负根D.没有实根

5.某校篮球队五名主力队员的身高分别是173,180,181,176,178（单位：cm）,则这五名运动员身高

的中位数是（）

A181cmB.180cmC.178cmD.176cm

6.三年一班班长的钥匙串上有5把钥匙，其中两把是开本班教室门锁的随意用一把钥匙开本班教室门，能

打开本班教室门锁的概率为（）

211

B.-c.一D.-

'I536

7.关于x的一元二次方程f-4》+%-1=0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程4%+左=。

的根的情况是（）

A.有两个不相等实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

8.已知l<x<2,则下列不等式成立的是（）

A.-10<-2x+3<-8B.—1<—2x+3v1

C.-7<-2x+3<-5D.8<-2x+3<10

9.如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（）

主视图左视图

4

10.已知一次函数、=-尤+人与反比例函数丁=—的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）

x

A.b>4B.-4<z?<4C.b>4或b<TD.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.因式分解：x2y-9y3=.

12.若分式有意义，则字母x满足的条件是.

x+1

22

13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线yi=x+2x+2可以看作是抛物线y2=-x-2x-1经过若干次图形

变化（平移、翻折、旋转）得到的，写出一种由抛物线力得到抛物线力的过程：.

14.如图，PA，尸5是的切线，切点分别为A、B,若NAPB=40。，则NACB=°

15.某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点A、B,在直线/上存在点P,使得R4+M的值最小.解法：作点A关于直线/的

对称点A，连接AZ，则A'B与直线/的交点即为尸，且？A+依的最小值为AB.

A

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边A3的中点，P是AC边上的

一动点，则PB+PE的最小值为；

(2)几何拓展：如图2,中，AB=2,NH4c=30°,若在AC、A3上各取一点M、N使

BM+MN的值最小，求这个最小值___________；

(3)代数应用：求代数式+1+J(4—x)2+4(oWXW4)的最小值__________.

三、解答题

V2-1Y2-2x+l

16.化简求值：--…，-2,其中x=2.

x+1x~-x

17.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当

转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据：

(1)计算并完成表格:

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”的次数m68111136345564701

落在“铅笔”的频率m/n0.680.74A0.690.705A

(2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？

(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

(4)在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？(精确到1°)

18.如图是某种自动卸货时的示意图，AC时水平汽车底盘，是液压举升杠杆，货车卸货时车厢AB与

底盘AC夹角为30°,举升杠杆与底盘AC夹角为75°,已知举升杠杆上顶点B离火车支撑点A的距

离为(26+2)米.试求货车卸货时举升杠杆的长.

19.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为8(3,4)、A(-3,2)、C(1,0),正方

形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度.

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ASG,点Ci的坐标是；

(2)以点8为位似中心，在网格上画出△A282c2,使△A2&C2与△ABC位似，且位似比为1：2,点。2的

坐标是.；(画出图形)

(3)若M(a,b)为线段AC上任一点，写出点M对应点脑的坐标.

线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出以A3为边的四边形ABEF,点£、尸在小正方形的顶点上，且四边形ABEF是轴对称图

形而不是中心对称图形;

(2)在图中画出△CDH,点反在小正方形的顶点上，WnNCDH=3,且的面积等于3.

21.已知抛物线y=(x-l)2+1与y轴交于点A,过点A与点(L3)的直线与C］交于点B.

(1)求直线A3的函数表达式;

(2)如图1,若点尸为直线AB下方的G上一点，求点尸到直线AB的距离的最大值；

(3)如图2,将直线A3绕点A顺时针旋转90。后恰好经过G的顶点C,沿射线AC的方向平移抛物线

G得到抛物线G，。2的顶点为。，两抛物线相交于点E设交点E的横坐标为冽•若NA£O=90。，求加

的值.

22.在平面直角坐标系尤Oy中，对于点尸(a,b)和点Q(a,b'),给出如下定义：若，=

Z一1(。22)

〈网(a<2)'则称点。为点P的限变点，例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,2),点(-2,-

5)的限变点的坐标是(-2,5),点(1,3)的限变点的坐标是(1,3).

(1)①点(括，-2)的限变点的坐标是.

2

②在点A(-2,2)、B(2,0)中有一点是双曲线y=—上的一个点的限变点，这个点是(填

x

“A"或"B").

(2)若点P在函数y=x-3(-2WxWk,k>-2)的图象上，其限变点。的纵坐标〃的取值范围是-

2W/W5,求人的取值范围.

(3)已知点M(-3,2),N(5,2),连结MN,点P是函数y=2x+m图象上一点，请直接写出点P的限

变点。所在的函数图象与线段MN有且仅有两个公共点时，机的取值范围.

-8

2022年广东省深圳市宝安区第一外国语学校中考

数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合

题目的一项）

1.下列实数中，最大的数是（）

A.3B.73C.D.71

【答案】D

【解析】

【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解.

【详解】解：V--<73<3<7?-,

3

...最大的数是》.

故选：D

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键.

2.下列运算正确的是（）

A.a5+«5=a10B.d./=/C.（3«3）3=9«9D.

1239

Cl4-d—Cl

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，同底数塞相乘，积的乘方，同底数塞相除，逐项判断即可求

解.

【详解】解：A、a5+a5=2a5,故本选项错误，不符合题意；

B、a3-a3^a6,故本选项错误，不符合题意；

C、（3/丫=27/,故本选项错误，不符合题意；

D、故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幕相乘，积的乘方，同底数幕相除，熟练掌

握相关运算法则是解题的关键.

r2-l

3.若分式J的值为零，则x的值为（）

X2+X-2

A.x=lB.x=±lC.x=-lD.x^l

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案.

v2-l

【详解】解：•••分式，的值为零,

x2+x-2

x2-1=0且X?+x-2#0,

解得：x=T.

故选C.

【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键.

ab

4.己知函数>=—,当x>0时，y随X增大而减小，则关于X的方程6a2+3%—）=0的

X

根的情况是（）

A.有两个正根B.有一个正根一个负根

C.有两个负根D.没有实根

【答案】B

【解析】

【分析】先根据反比例函数的性质求出">0,再根据一元二次方程根的判别式和根与系数

的关系判断即可.

【详解】解：•当x>0时，>随x增大而减小，

ab>0.

'：A=32-4a（-Z?）=9+4aZ?>0,

方程有两个不相等的根.

..b门

***%］入2—----<0,

a

...方程有一个正根一个负根.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解

题的关键是求出ab>0.

5.某校篮球队五名主力队员的身高分别是173,180,181,176,178（单位：cm）,则这五

名运动员身高的中位数是（）

A.181cmB.180cmC.178cmD.176cm

【答案】c

【解析】

【分析】将数据从小到大排列后，中间位置的数即为中位数.

【详解】解：将数据从小到大排序为：173,176,178,180,181,

所以中位数为178.

故选C.

【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义以及求解方法是解题的关键.中位数是

将一组数据从小到大排列后，最中间的数（或中间两数的平均数）就是这组数据的中位数.

6.三年一班班长的钥匙串上有5把钥匙，其中两把是开本班教室门锁的随意用一把钥匙开

本班教室门，能打开本班教室门锁的概率为（）

2211

A.-B.一C.—D.一

3536

【答案】B

【解析】

【分析】用能开教室门锁的钥匙除以总钥匙数即可得出答案.

【详解】解：•••有2把钥匙能开教室门锁，共有5把钥匙，

2

.••小芳能打开教室门锁的可能性为：j.

故选：B.

【点睛】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数

之比.

7.关于了的一元二次方程/一4犬+%-1=0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程

d—4x+左=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

【答案】C

【解析】

【分析】根据f-4x+Z-l=0两个相等的实数根，计算出左的值，再根据上的取值范围

计算出方程式—4%+左=0的根的判别式，即可进行解答.

【详解】解：:•方程/-4%+%-1=0两个相等的实数根，

；./—4ac=（—4）2—4x1x（左一1）=0,解得：k=5,

一元二次方程-4%+左=o中，a=l,b=-4,c=k,

人2_4。。=（—4『一4xlx^=16—4人,

*/k=5,

16—4^=-4<0,

•••d—4%+左=o无实数根.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握相关内容的解题的关

键.匕2—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根,/?2-4ac=0时，方程有两个相等的

实数根，4ac<0时，方程没有实数根.

8.已知则下列不等式成立的是（）

A.-10<-2x+3<-8B.—1<—2x+3<1

C.―7<—2x+3<—5D.8<-2x+3<10

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质进行计算即可;

【详解】解：•••IvxvZ

2x(—2)<—2x<1x(—2),即：—4<—2x<—2,

—4+3<—2x+3<—2+3,即：—1<—2x+3<1；

故选B.

【点睛】本题考查不等式的性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.注意不等式左右

两边同乘一个小于。的数，不等号的方向要改变.

9.如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（

主视图左视图

俯视图

D.

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何

体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状.

【详解】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是

故选：B.

【点睛】考核知识点：三视图.理解三视图的定义是关键.

4

10.已知一次函数、=-尤+匕与反比例函数丁=—的图象有2个公共点，则b的取值范围是

龙

()

A./?>4B.-4<Z?<4C.b>4或Z?<TD.b<-4

【答案】C

【解析】

【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解.

'_4

【详解】解：由<二最，消去y得到：/—法+4=o，

y=-x+b

4

一次函数y=r+6与反比例函数y=—的图象有2个公共点，

x

△>0,

即Z?-16>0,

：.》〉4或z?<y,

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思

考问题.

二、填空题(本大题共5小题，共15分)

11.因式分解：x2y-9y3=.

【答案】y(x+3y)(x-3y)

【解析】

【分析】先提取公因式》然后利用平方差公式继续分解.

【详解】解：x2y-9y3

=y(d—9力

=y(x+3y)(x-3y).

故答案为：y(x+3y)(九-3y).

【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握运用提公因式和平方差公式分解因

式.

12.若分式——有意义，则字母x满足的条件是.

x+1

【答案】#-1

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】由题意得，x+lwO,

解得*-1,

故答案为：x#-l.

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键.

13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线yi=x?+2x+2可以看作是抛物线y?=-x?-2x-1经

过若干次图形的变化(平移、翻折、旋转)得到的，写出一种由抛物线y?得到抛物线外

的过程：.

【答案】抛物线y?先绕点(-L0)旋转180。，然后再向上平移1个单位长度即可得到抛

物线力(答案不唯一)

【解析】

【详解】yj=x~+2x+2=(x+1)2+1,

2

y2——x—2x—1=-(x+1)2,

抛物线”先绕点(-1,0)旋转180。，然后再向上平移1个单位长度即可得到抛物线yi,

故答案为抛物线”先绕点(-1,0)旋转180°,然后再向上平移1个单位长度即可得到抛

物线力(答案不唯一).

【点睛】本题考查了抛物线与图形变换，先把解析式变为顶点式，然后根据确定变换的过

程是解题的关键.

14.如图，PA>PB是。的切线，切点分别为A、B,若NAPfi=40。，则NAC8=

【答案】70

【解析】

【分析】首先连接OB,由B4、P8是。。的切线，即可得/HlO=/PBO=90。，又由

ZAPB=40°,即可求得/AOB的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.

详解】解：如图，连接04,0B,

：抬、尸8是。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

'：ZAPB=A0°,

：.ZAOB=3600-ZAPB-ZB\O-ZPBO=14Q°,

：.ZACB=|ZAOB=70°.

故答案为：70.

【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，

注意数形结合思想的应用.

15.某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点A、B,在直线/上存在点P,使得R4+PB的值最小.解法：作

点A关于直线/的对称点A，连接A'B，则A历与直线/的交点即为P，且的最

小值为AB.

图1图2

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，

P是AC边上的一动点，则P3+PE的最小值为；

(2)几何拓展：如图2,—A3C中，AB=2,ZBAC=3Q°,若在AC、A3上各取一

点、M、N使BAf+MN的值最小，求这个最小值___________；

⑶代数应用：求代数式Jx?+1+J(4—MP+4(0VxW4)的最小值___________.

【答案】0.V10②.也③.5

【解析】

【分析】(1)作点8关于AC的对称点8,连接B'E，交AC于点尸，连接AB'，根据轴

对称的性质可得AB'=JAC?+5。2=2直，PB=PB,ZABC=ZABC=45°,最后

根据PB+PE=PB+PE=EB即可求解；

(2)作点B关于AC的对称点p，过点8'作B'N于点N,交AC于点M,连接BB,

交AC于点。，根据8〃=5应可知90+肱\』8应+跖丫=3加，根据轴对称的性质和含

30。角的直角三角想30。角所对的边等于斜边的一半，分别求出53'和8N的长度即可；

(3)根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于正+1和J(4—x)2+4，用勾股定

理进行即可进行证明.

【详解】(1)解：如图，作点8关于AC的对称点8,连接BZ，交AC于点尸，连接

AB

A

:点8和点8'关于AC对称，

AB=VAC2+BC2=2A/2，PB=PB,ZABC=ZAB'C=^°,

...在△ABB'中，/BAB'=90°，

:点E为4?中点，

.'.AE=—AB=5/2,

2

•••EB=JAE、（AB'丫=屈,

,:PB=PB,

；•PB+PE=PB+PE=EB=屈,

故答案为：回.

(2)作点B关于AC的对称点2，过点8,作B'N于点N,交AC于点M,连接BB,

交AC于点O,

BC

A

N

根据轴对称的性质可知，55'

AB=2,ZBAC=3Q°,ZAOB=9Q°,

B0=—AB=1,NNBB=60°,

2

:.BB=250=2,

在RtdNBB'中，/NBB=60。,

.•.ZB=30°,

1

：.NB=-BB=1,

2

•••BN=y](BB)2-BN2=G，

-：BM=BM，

，BM+MN=BM+MN=也,

故答案为：拒.

(3)如图，构造图形，点尸A2边上一点，其中AB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

作点C关于AB的对称点C‘，连接C'。交A8于点P,延长。8,过点C'作垂

足为。，

根据轴对称的性质可知，AC=AC=1，CP=CP-

,：AB=4,AC=1.

.••CO=4,BO=AC'=h

：.DO=3,

在心△co。中，CD7co2+DQ2=5,

：AB=4,AP=x,AC=\,BD=2,

•••CP=yjAC2+AP2=V7+i，DP=^JBD2+BP2=7(4-%)2+4，

•.*CP+DP=CP+DP=CD=5，

AVx2+1+7(4-%)2+4的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用

轴对称的性质构造直角三角形是解题的关键.

三、解答题

22

16.化简求值：-V--1V-/2%+1-2,其中x=2.

x+1-x

【答案】X-2；0

【解析】

【分析】根据平方差公式、完全平方公式和提公因式对式子进行因式分解，然后得到最简

式子将x=2代入进行求值.

r2-1r2-2x+1

【详解】解：-~-2

x+1X-X

(x+l)(x-l)

-2

x+1

=x-2,

当x=2时，原式=2—2=0.

【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分，

得到最简分式或整式，接着把字母的值代入计算得到对应的分式的值；有括号的先算括

号，掌握分式的化简求值的步骤是解题的关键.

17.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转

动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行

(1)计算并完成表格:

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”的次数m68111136345564701

落在“铅笔”的频率m/n0.680.74△0.690705△

(2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？

⑶假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

⑷在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？(精确到1°)

【答案】(1)0.68,0.701；(2)0.7；(3)0.7；(4)252°.

【解析】

【分析】(1)根据频率的算法，频率=/频言数，可得各个频率；填空即可；

总数

(2)根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；

(3)根据概率的求法计算即可；

(4)根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与

360。的比计算即可.

【详解】(1)填表如下：

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”的次数m68111136345564701

落在“铅笔”的频率m/n0.680.740.680.690.7050.701

(2)当n很大时，频率将会接近(68+111+很大345+564+701)十

（100+150+200+500+800+1000）=0.7,

故答案为0.7；

（3）获得铅笔的概率约是0.7,

故答案为0.7；

（4）扇形的圆心角约是0.7义360。=252。.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计

图中得到必要的信息是解决问题的关键.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数

之比.

18.如图是某种自动卸货时的示意图，AC时水平汽车底盘，08是液压举升杠杆，货车卸

货时车厢A3与底盘AC夹角为30°,举升杠杆与底盘AC夹角为75。，已知举升杠杆

上顶点B离火车支撑点A的距离为（2百+2）米.试求货车卸货时举升杠杆OB的长.

【答案】2应米

【解析】

【分析】过点。作OD_LAB于点。，先根据三角形的外角性质可得NB=45°,设=x

米，则AD=（2逝+2-x）米，再在Rt30。中，解直角三角形可得0。=%米，

OB=g米,然后在Rt—40。中，解直角三角形可得尤的值，由此即可得.

【详解】解：如图，过点。作SLAB于点。，

4=30。""=75°,

=N5OC—NA=75。—30。=45。，

设_BZ）=x米，则AD=AB—BD=（2，^+2—x）米,

.,.00=5。-3115=兀米，OB=BD=点工米,

cosB

在Rt.40。中，tanA=^=^——=—,

AD2V3+2-X3

解得x=2,

经检验，x=2是所列分式方程的解，

:.0B=2立米,

答：货车卸货时举升杠杆。8的长为2a米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关

键.

19.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为B(3,4)、A(-3,2)、C

(1,0),正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度.

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△481cl，点Ci的坐标是；

(2)以点B为位似中心，在网格上画出△A2&C2,使△A232c2与△ABC位似，且位似比

为1：2,点C2的坐标是；(画出图形)

(3)若M(a,b)为线段AC上任一点，写出点M的对应点M2的坐标.

〃+3力+4

【答案】(1)作图见解析，(1,-4)；(2)作图见解析，(2,2)；(3)(亍，—)

【解析】

【分析】(1)将点A、B、C分别向下平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；

(3)根据(2)中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C2的坐标.

【详解】解：(1)如图，△4SC1即为所求，点Ci的坐标是(1,-4),

故答案为：(1,-4)；

(2)如图所不，△AJBCZ即为所求，点C2的坐标是(2,2),

故答案为：(2,2)；

(3)若Af(a,b)为线段AC上任一点，

〃

则点M的对应点区的坐标为：（巴+上3，-Z?-+4）.

22

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出图形变化后边长解题关键.

20.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段A3和线段CD的端点均在小正方形

（1）在图中画出以A3为边的四边形点、E、尸在小正方形的顶点上，且四边形

ABEF是轴对称图形而不是中心对称图形；

（2）在图中画出△CDH,点H在小正方形的顶点上，tanNCDH=3,且△CM的

面积等于3.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的性质画出符合要求图形即可；（2）过点C作

垂线，使得CM=3C£>,连接。M,在。M上确定点X使得△CDH的面积等于3即可.

【详解】解：（1）如图所示，四边形A3EF即为所求.

【点睛】本题主要考查网格作图，解决本题的关键是要熟练掌握几何图形的性质.

21.已知抛物线G：y=(x—1了+1与y轴交于点A,过点A与点(1,3)的直线与G交于点

(2)如图1，若点P为直线A3下方的上一点，求点P到直线A3的距离的最大值；

(3)如图2,将直线A3绕点A顺时针旋转90。后恰好经过G的顶点C,沿射线AC的

方向平移抛物线G得到抛物线。2，G的顶点为。，两抛物线相交于点E设交点E的横

坐标为〃?•若/AED=90°,求用的值.

【答案】⑴尸+2

9&

(3)"7=1+0

【解析】

【分析】(1)先根据抛物线的函数表达式求出点A的坐标，再将点A的坐标和(1,3)代

入〉=丘+6,即可求出直线AB的函数表达式；

(2)过点P作PQ〃丁轴交直线A8于点Q,过点尸作垂足为点M,易证

△MP。为等腰直角三角形，分别表示出点尸和点。的坐标，求出尸0的最大值，当尸。取

最大值时PM也取最大值，

(3)过点£作PQ〃x轴，交x轴于点P,过点。作。。，尸。，垂足为。，易证△APE〜

__PEAP

△DEQ,将点。的坐标用机表示出来，根据；即可求出机的值.

DQEQ

【小问1详解】

解：当x=0时，,=(0—1)2+1=2,

AA(0,2),

设直线A8的函数表达式为：y=kx+b,

把A(0,2)和(1,3)代入y=fcr+6,

,2=bk=l

解得:

3=k+bb=2

...直线AB得函数表达式为：y=r+2.

【小问2详解】

将抛物线的函数表达式整理为一般式为：>=炉-2x+2,

如图，过点P作尸。〃丁轴交直线AB于点°,过点P作尸垂足为点”,

设点尸的坐标为(。，/一24+2),

•；PQ//y轴,

.,.点。的横坐标为。，

:点。在直线AB上，

，点。的坐标为(a,a+2),

PQ=(a+2)—(6—2a+2)=—〃+3a,整理得：PQ=-(«-j)2+1,

39

当.=5时’产。有最大值‘最大值为“

:直线A8与竖直方向得夹角为45。，

/.ZMQP=45°,

:AMPQ为等腰直角三角形，

：.PM=PQsin45o,

当P。取最大值时，尸M也取最大值，

的最大值为：PM=-x—=

428

【小问3详解】

..•抛物线的函数表达式为：y=(x—1了+1,

顶点C(1,1),

设直线AC的函数表达式为：y=kx+b,将点C和点A的坐标代入得:

2=b[k=-l

<,解得：〈，

l=k+b[b=2

,直线AC的函数表达式为：y=-x+2,

设点D的横坐标为b,

丁点。在直线AC上，

・•・点。的纵坐标为4+2,即。(44+2),

「・。2的函数表达式为：y—(x—Z?)2—Z?+2,

石的横坐标为相，

・・,点七在抛物线Ci上，

・••点E的纵坐标为：m2—2m+2，

・・•点E也在抛物线G上，

・••点E的纵坐标为：(m-b，-/?+2,

*'•m2-2m+2=(m-Z?)2-b+2,

整理得：s—2m)S—1)=。解得：氏2根或氏1(舍),

(2m,-2m+2),

过点E作尸。〃入轴，交X轴于点尸，过点。作。。，尸Q,垂足为Q,

VZAED=90°,NE以=90。，

ZAEP+ZDEQ=90°,ZAEP+ZEAP=90°,

・・・ZDEQ=ZEAP,

在△?1?£；和△0EQ中，

ZDEQ=ZEAP,ZAPE=ZDQE,

：.^APE-ADEQ,

.PE_AP

••项二W

2

VA(0,2),E(m,m—2m+2)，D(2mf-2m+2),

：.PE=m,EQ=m,

DQ=(m2-2m+2)—(—2m+2)=m2,

AP=(m2-2m+2)—2=m2—2m,