6 微专题：平面向量共线的坐标表示 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见题型及解题策略：1、利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量；2、利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则”解题比较方便；主要命题角度1、利用向量共线求向量或点的坐标；2、利用向量共线求参数；【典例】例1、已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【提示】；【解析】【说明】本题考查了向量平行的充要条件：若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔∥；例2、已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线；【提示】；【解析】【说明】本题考查了向量的坐标表示与判断向量(或三点)共线的方法与步骤；例3、（1）已知向量＝(1，2)，＝(2，3)，若向量λ＋与向量＝(－4，－7)共线，则λ＝________．（2）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．若(3－)∥(＋k)，求实数k的值；（3）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．判断向量(3－)与(＋k)是反向还是同向？例4、已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．【说明】本题考查了向量共线的综合应用；证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据（1）对于向量，，若存在实数λ，使得＝λ，则向量，共线；（2）若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔∥；（3）对于向量，，则|·|＝||·||⇔与共线；若已知向量共线求参数的值，则可由已知条件与上述依据的对应性，通过解方程求解；【归纳】平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，常见题型及求解策略如下：1、利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2、利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．3、三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．4、利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解；【即时练习】1、已知向量＝(2，－1)，＝(x－1，2)，若∥，则实数x的值为()A．2B．－2C．3 D．－32、与＝(12，5)平行的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))3、已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2k)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.4、若＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，且∥，则锐角α＝______.考点向量共线的坐标表示的应用；题点已知向量共线求参数5、已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．6、（1）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，当k为何值时，k＋与－3平行？（2）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，判断当k＋与－3平行时，它们是同向还是反向？（3）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，当k为何值时，＋k与3－平行？”，又如何求k的值？【教师版】微专题：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见题型及解题策略：1、利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量；2、利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则”解题比较方便；主要命题角度1、利用向量共线求向量或点的坐标；2、利用向量共线求参数；【典例】例1、已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【提示】注意：向量平行的坐标表示；【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2－1，7－5)＝(1，2)，又因为2×2－4×1＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).又因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C三点不共线，所以AB与CD不重合，所以直线AB∥直线CD．【说明】本题考查了向量平行的充要条件：若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔∥；例2、已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线；【提示】注意：用好向量的坐标表示与向量平行的坐标表示；【解析】（1）由eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)；点M在第二或第三象限⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2<0，,2t1＋4t2≠0.))解得t2<0且t1＋2t2≠0.故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0；（2）[证明]当t1＝1时，由(1)知，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4t2,4t2＋2)，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，M三点共线；【说明】本题考查了向量的坐标表示与判断向量(或三点)共线的方法与步骤；例3、（1）已知向量＝(1，2)，＝(2，3)，若向量λ＋与向量＝(－4，－7)共线，则λ＝________．（2）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．若(3－)∥(＋k)，求实数k的值；（3）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．判断向量(3－)与(＋k)是反向还是同向？【提示】注意：利用向量平行的充要条件进行等价；【解析】（1）因为＝(1，2)，＝(2，3)，所以λ＋＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)；因为向量λ＋与向量＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2；故填2.（2）由3－＝(0，－10)，＋k＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3－)∥(＋k)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－eq\f(1,3).（3）由向量(3－)与(＋k)共线，得k＝－eq\f(1,3)，所以3－＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，＋k＝－eq\f(1,3)＝(1，－2)－eq\f(1,3)(3，4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(10,3)))＝eq\f(1,3)(0，－10)，所以向量(3－)与(＋k)同向；【说明】本题考查了根据向量共线求参数值；基本步骤：根据题意求得相关向量的坐标，再根据向量平行的充要条件列出等式，然后，解得参数；例4、已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．【提示】注意：等价转化；【答案】m≠1【解析】若点A，B，C不能构成三角形，则只能共线；因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1，所以若A，B，C三点能构成三角形，则m≠1；【说明】本题考查了向量共线的综合应用；证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据（1）对于向量，，若存在实数λ，使得＝λ，则向量，共线；（2）若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔∥；（3）对于向量，，则|·|＝||·||⇔与共线；若已知向量共线求参数的值，则可由已知条件与上述依据的对应性，通过解方程求解；【归纳】平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，常见题型及求解策略如下：1、利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2、利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．3、三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．4、利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解；【即时练习】1、已知向量＝(2，－1)，＝(x－1，2)，若∥，则实数x的值为()A．2B．－2C．3 D．－3【答案】D；【解析】因为∥，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2、与＝(12，5)平行的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))【答案】C；【解析】设与平行的单位向量为＝(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,12y－5x＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12,13)，,y＝\f(5,13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(12,13)，,y＝－\f(5,13).))3、已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2k)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.【答案】－eq\f(1,4)；【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－k,2k－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－2k，－3)，由题意可知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－eq\f(1,4)(k＝1不合题意舍去).4、若＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，且∥，则锐角α＝______.考点向量共线的坐标表示的应用；题点已知向量共线求参数【答案】eq\f(π,3)；【解析】∵＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，∥，∴eq\r(3)sinα－3cosα＝0，即tanα＝eq\r(3)，又α为锐角，故α＝eq\f(π,3).5、已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．【提示】平面向量共线的坐标表示；题点三点共线的判定与证明【证明】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－1，\f(1,2)＋3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－eq\f(7,2)×8＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，且AB，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．【方法归纳】(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证