17 微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用极化恒等式是高等数学《泛函分析》中的知识内容；把极化恒等式降维至二维平面，则可以非常巧妙地建立向量和几何长度（数量）之间的关联，从而实现向量与几何、向量和代数的精妙结合。而且，由于极化恒等式本身所具有的作为代数与几何桥梁的特点，在近几年全国各地高考命题中迅速成为创新问题的热点，也随之出现了不少非常巧妙的向量试题；极化恒等式及其拓展1、极化恒等式：；（1）等式推导：【证明】（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点；则；【证明】ABCM3、三角形模式：如图，在中，设为的中点，ABCM则；（1）推导过程：（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差；【典例】例1、如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是；【解析1】【解析2】【解析3】【说明】本题考查了利用由极化恒等式求平面向量数量积的值；关键是：理解极化恒等式的图形特征；例2、（1）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.（2）在面积S＝2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【说明】本题考查了借助极化恒等式求平面向量数量积最值或范围：关键是：通过转化后；借助向量的代数与几何表示，数形结合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，则BC边上的中线AM的长是________；（2）设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为【归纳】极化恒等式的作用和使用范围1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。极化恒等式使用方法在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。【即时练习】1、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)2、在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq\f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，则()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC3、在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.4、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值为________.5、已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为6、在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，求cos∠ACB的值；【学生版】微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用极化恒等式是高等数学《泛函分析》中的知识内容；把极化恒等式降维至二维平面，则可以非常巧妙地建立向量和几何长度（数量）之间的关联，从而实现向量与几何、向量和代数的精妙结合。而且，由于极化恒等式本身所具有的作为代数与几何桥梁的特点，在近几年全国各地高考命题中迅速成为创新问题的热点，也随之出现了不少非常巧妙的向量试题；极化恒等式及其拓展1、极化恒等式：；（1）等式推导：【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型；设，则由向量的数量积运算，得（1）（2）如果将上面（1）（2）两式相减，即可能得：；（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点；则；【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型；设，则由向量的数量积运算，得（1）（2）ABCM如果将上面（1）（2）两式相减，得，即ABCM3、三角形模式：如图，在中，设为的中点，则；（1）推导过程：因为，由.又因为，即所以，（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差；【典例】例1、如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是；【提示】注意：题设“在中，是的中点”与极化恒等式的关联；【答案】；【解析1】设，由极化恒等式得，解之得可得，，因此；【解析2】由极化恒等式：，解得，故；【解析3】分点恒等式（拆分，基向量），；，；由又因为，其中，化简得；【说明】本题考查了利用由极化恒等式求平面向量数量积的值；关键是：理解极化恒等式的图形特征；例2、（1）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.（2）在面积S＝2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【提示】注意：借助“极化恒等式”的图形特征进行等价转化；【答案】（1）[－2，6]；（2）2eq\r(3)；【解析】（1）取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)；又由极化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)AB2＝PD2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]；（2）取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2(其中h为A点向BC边作的高)，当且仅当eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))时取等号.由上可知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥2eq\r(\f(h2,4)·\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))2)≥eq\r(3)S＝2eq\r(3)；答案2eq\r(3)；【说明】本题考查了借助极化恒等式求平面向量数量积最值或范围：关键是：通过转化后；借助向量的代数与几何表示，数形结合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，则BC边上的中线AM的长是________；（2）设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为【提示】注意：用好极化恒等式解答向量中的长度与角度；【答案】（1）eq\f(5,2)；（2）；【解析】（1）由极化恒等式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(AM,\s\up6(→)))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2]，eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2)＝eq\f(25,4)，即|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以BC边上的中线AM的长为eq\f(5,2)；答案：eq\f(5,2)；（2）取边的中点为，连接线段，设正三角形的边长为；由极化恒等式可得：；则当取最小值时，也取最小值，又；此时，点在上靠近的四等点；在中，余弦定理可得，由正弦定理可得：；【说明】本题考查了自觉利用极化恒等式直接或整合解三角形等知识求其他的长度与角度等几何量；【归纳】极化恒等式的作用和使用范围1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。极化恒等式使用方法在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。【即时练习】1、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)【答案】B：【解析】方法1：∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋0－1＝－eq\f(8,9).方法2：OF＝eq\f(1,3)，由极化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝OF2－eq\f(1,4)DE2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).2、在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq\f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，则()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC【答案】C；（2013·浙江卷）；【解析】取BC边中点D，由极化恒等式得eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，由eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，得eq\o(PD,\s\up6(→))2≥eq\o(P0D,\s\up6(→))2，即|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|，D到AB的最短距离为P0D，∴eq\o(DP0,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，设AB的中点为P′，又P0B＝eq\f(1,4)AB，∴DP∥CP，∴CP⊥AB，故AB＝AC.3、在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝____