小题压轴题专练39-计数原理1-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练39—计数原理1一．单选题1．现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有种．A．552 B．864 C．912 D．10082．设，若，则的值为A．63 B．64 C．65 D．3．已知，则A．10935 B．5546 C．5465 D．54684．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有A．80种 B．120种 C．130种 D．140种5．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有A．35种 B．30种 C．28种 D．25种6．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有A．48种 B．72种 C．96种 D．144种7．某班安排6位班干部在周一至周六值日，每天1人，每人值日1天，若6位班干部中的甲、乙排在相邻两天，丙、丁不排在相邻两天，则不同的安排方案共有A．72种 B．144种 C．288种 D．720种8．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A．12 B．24 C．48 D．60二．多选题9．已知二项式，则下列说法正确的是A．若，则展开式的常数为60 B．展开式中有理项的个数为3 C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大为第4项10．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有A．若任意选择三门课程，选法总数为种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种11．如图，小明、小红分别从街道的、处出发，到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3 B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35 C．若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32 D．若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为1812．已知正方体，下列命题正确的是A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对 B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体 C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对 D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种三．填空题13．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有种．14．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人．这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人．三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有人．15．将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为（用数字作答）．16．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有种．（用数字作答）

小题压轴题专练39—计数原理1答案1．解：由题意，设表示两名学生位置，表示两名教师位置，表示三名家长位置，第一步：先排学生有种方法；第二步：再排两名教师，有①与，②与，③与三种情况，对于①，教师有种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有种方法；对于②，教师有种排法，然后家长先在与之间和与之间各选一个家长排入，剩余一个家长插入剩余三个空中的一个空中，有种；对于③，教师有种排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的四个空中，有种排法，综上，共有．故选：．2．解：因为，则，解得．在中，令，则，令，则，所以，故选：．3．解：令，则．令，则．令，则，令，则，所以，所以．故选：．4．解：若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；若夫妻二人全都被选，则有种不同的方案，故总计共有140种不同的方案，故选：．5．解：这3人中既有男性又有女性，包括2男1女和1男2女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有种，故选：．6．解：根据题意，如图，假设5个区域依次为、、、、，分4步分析：①，对于区域，有4种涂法，②，对于区域，与相邻，有3种涂法，③，对于区域，与、相邻，有2种涂法，④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法，若区域与区域不同色，则有1种涂法，则、区域有种涂色方法，则不同的涂色方案共有种；故选：．7．解：根据题意，设6人中出甲乙丙丁之外的2人为、，分3步分析：①，将甲乙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，②，将这个整体与2人全排列，有种安排方法，③，排好后，有4个空位可选，在其中任选2个，安排丙丁，有种安排方法，不同的安排方案共有种；故选：．8．解：根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，有4种分组方法，②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有种情况，③、将剩余的3张票全排列，分给其他三人，有种分法，则共有种不同分法，故选：．9．解：二项式的展开式的通项公式为，对于，当时，令，解得，所以展开式中的常数项为，故选项正确；对于，当，2，4，6时，展开式中的项为有理项，故选项错误；对于，令，则展开式中各项系数之和为，又展开式中各项系数之和为64，所以，解得或，故选项错误；对于，因为展开式中共有7项，所以展开式中的二项式系数最大项为第4项，故选项正确．故选：．10．解：对于．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断正确；对于．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故错误；对于．若物理和历史不能同时选，选法总数为种；对于．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理与化学都选，有种选法，故总数为种，故错误．故选：．11．解：如图，小红到老年公寓的最短路径有：，，，共3条，故正确；由小红到老年公寓的最短路径可知，当纵向的路径确定后，横向的路径也是确定的，从左向右分别标为1，2，3，4，5，小明确定出最短路径有三条纵向的路径可以选择，①若三条纵向的路径标号相同，共5种，②若三条纵向的路径标号两条相同，共有种，③若三条纵向的路径标号各不相同，共有种，故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35种，故正确；同理，由到的最短路径共有种，故若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故正确；故若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种，故错误；故选：．12．解：先找出与棱所在直线异面其它棱所在直线：，，，共4条，相互异面的共（对，故对；从8个顶点取4个顶点的组合数为：，由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种组合，可得到（个不同的四面体，故错；与面对角线成的面对角线有：，，，，，，，共8条，所有面对角线构成共对，故错；当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有（种方法．当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有．共（种涂色方法，故对．答案故选：．13．解：当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种，所以满足条件的情形共有种．故答案为：28．14．解：把学生54人看成集合，选择物理科的人数组成集合，选择化学学科的人数组成集合，选择生物学学科的人数组成集合，记选择物理与化学未选择生物的学生组成集合，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，这三门课程都选的8人，则其他课程选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学，生物的最少7人，单选物理，生物的最少7人，单选生物最少3人，以上人数最少45人，故区域最少8人，则选物理化学未选生物的有9人．15．解：将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2