福建省清流一中2023-2024学年数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

福建省清流一中2023-2024学年数学高一下期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图像关于直线对称，则的最小值为（）A． B． C． D．12．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移.3．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A． B． C． D．4．已知，向量，则向量()A． B． C． D．5．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（）A． B． C． D．6．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则8．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于()A． B． C． D．9．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形10．若，，那么在方向上的投影为（）A．2 B． C．1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列满足，则__________．12．若向量与平行．则__．13．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.14．函数的定义域为__________；15．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．16．已知直线与圆交于两点，若，则____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值时的值18．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量与的夹角；（2）设，且向量满足，求的最小值；（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量，求的概率.19．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.20．在中，角所对的边分别为．（1）若，求角的大小；（2）若是边上的中线，求证：．21．在中，三个内角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

的对称轴为，化简得到得到答案.【详解】对称轴为：当时，有最小值为故答案选C【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，将对称轴表示出来是解题的关键，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.2、B【解析】

利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.【详解】为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．3、C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型4、A【解析】

由向量减法法则计算．【详解】．故选A．【点睛】本题考查向量的减法法则，属于基础题．5、A【解析】

由已知易得圆柱的高为，底面圆周长为，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。【详解】底面圆周长，，所以故选：A【点睛】此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。6、C【解析】

画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题7、D【解析】

试题分析：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，在A中：若，，则，相交、平行或异面，故A错误；在B中：若，，，则，相交、平行或异面，故B错误；在C中：若，，则或，故C误；在D中：若，，由面面平行的性质定理知，，故D正确.考点：空间中直线、平面之间的位置关系.8、D【解析】

根据正弦定理把边化为对角的正弦求解.【详解】【点睛】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除.9、B【解析】

利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.10、C【解析】

根据定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解．【详解】，，那么在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由等差数列的性质计算．【详解】∵是等差数列，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题．等差数列的性质如下：在等差数列中，，则．12、【解析】

由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．【详解】由题意，向量与平行，所以，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．13、【解析】

可以利用前项的积与前项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，数列中，，且，则当时，；当时，，则，当时，；当时，，则，所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】

根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．15、【解析】

求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．16、【解析】

根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离：，由得，解得.【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，函数取得最小值.【解析】

（1）将代入函数计算得到答案.（2）根据降次公式和辅助角公式化简函数为，当时取最小值.【详解】(1)(2)由可得，故函数的最小值为，当时取得最小值.【点睛】本题考查了三角函数的计算，三角函数的最小值，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；（3）根据余弦定理，解得，以及的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）因为故可得，解得①②由①-②可得，解得，将其代入①可得，即将其代入②可得解得，又向量夹角的范围为，故向量与的夹角为.（2）不妨设，由可得.不妨设的起始点为坐标原点，终点为C.因此，点C落在以)为圆心，1为半径的圆上（如图）.因为，即由圆的特点可知的最小值为，即：.（3）当时，因为，，满足勾股定理，故容易得.当时，假设此时点落在如图所示的F点处.如图所示.因为，由余弦定理容易得，故.所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.由几何概型的概率计算可知：的概率即为圆心角的弧度除以，即.【点睛】本题考查向量垂直时数量积的表示，以及利用解析的手段解决向量问题的能力，还有几何概型的概率计算，涉及圆方程的求解，以及余弦定理.本题属于综合题，值得总结.19、（1）.（2）1.【解析】

（1）利用向量平行的代数形式得到x的值；（2）由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.【详解】（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）•=30，∴18+3x=30，解得x=1．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.20、（1）；（2）见解析【解析】

（1）已知三边的关系且有平方，考虑化简式子构成余弦定理即可。（2）观察结论形似余弦定理，通过，则互补，则余弦值互为相反数联系。【详解】（1）∵，∴∴由余弦定理，得，∴∵，∴，∵，∴（2）设，，则在中，由余弦定理，得在中，同理，得∵，∴，∵，∴，∴【点睛】解三角形要注意观察题干条件所给的形式，出现边长平方一般会考虑用到余弦定理。正弦定理和余弦定理是我们解三角形的两大常用工具，需要熟练运用。21、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作①，把的度数代入求出的值,记作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值,由②③可知与为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据大于，可得出，的值