2024届安徽“江南十校”3月联考数学试题含答案

姓名座位号

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

2024届安徽省“江南十校”联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合工=e2,训，B={JC|1-X2>0),则ZU8=

A.{x|-l<x<l}B.|x|0<x<l|C.{x|x>_“D.1x|x>0]

2.已知复数z满足(l+2i*=4+3i,贝Ijz=

2

A.2+iB.2-iC~—+iD.

55

3.己知向量a,b满足a+b=（l,加），a_b=G,l）.若a〃b,则实数加

1

A.BC.3D.-3

3-i

4.已知函数/（》）=35拘（2》+夕）（|勿＜二）的图象向右平移四个单位长度后，得到函数g（x）的图

26

象.若g（x）是偶函数，则夕为

▲兀C九71c兀

A.—B.--C.—D.——

6633

5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100加血液中酒精

含量达到20~797ng为酒后驾车，80啰及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血

液中酒精含量上升到了L2mg/〃”.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速

度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（精确到0.001.参考数据：lg2«0.3010,1g3«0.4771）

A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时

6.已知函数/（x）=lnx—g在点。,一1）处的切线与曲线y=ax2+（a-l）x-2只有一个公共点,

则实数a的取值范围为

数学试题第1页（共4页）

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0,-1,-9）

7.已知圆Lx?+/-8x+12=0,点.过原点的直线与圆C相交于两个不同的点4，B，

则|祝1+应司的取值范围为

A.（V7-2,V7+2）B.（3,V7+2]

C.（2万-4,2"+4）D.（6,2>/7+4]

8.己知数列{（}的前〃项和为S“，数列也}的前〃项和为Tn,且a.=S“+〃，q=1，6“=—^―，

a”+1

则使得Tn<M恒成立的实数M的最小值为

37

A.1B.-C.-D.2

26

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），

箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和

下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示

最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5

月和6月的空气质量指数（AQD箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200,说明污染

严重.则

（第9题图1）

A.该地区2023年5月有严重污染天气

B.该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中

C.该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中

D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月

数学试题第2页（共4页）

10.已知抛物线E:j，2=2p.v的焦点为尸，从点尸发出的光线经过抛物线上的点P(原点除外)

反射，则反射光线平行于X轴.经过点尸且垂直于X轴的直线交抛物线E于8,C两点，经过

点P且垂直于X轴的直线交.V轴于点。；抛物线E在点尸处的切线/与x,y轴分别交于点

M,N,则

A.\PQf=\BF\-\QF\B.=\BC\-\OQ\

c.|PF|=|A/F|D.FNLI

11.已知点S,48,C均在半径为6的球面上，△NBC是边长为2道的等边三角形，SA1BC,

SA=3y[2,则三棱锥S-48C的体积可以为

A.——'B.—■^3C.3>/3D.J51

35

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所

组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为.

13.若函数/(x+2)为偶函数，y=g(x+l)-5是奇函数，且/(2-x)+g(x)=2,则“2023)=

14.过双曲线E:=l(a>0,6>0)的右焦点F的直线分别在第一、第二象限交E的两条渐

2

近线于M,N两点，且。"若|。阂+|跖叮-|。乂|=铲，则双曲线E的离心率

为•

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知％6,c分别是△Z5C三个内角4B,C的对边，且JJcsinZ+acosC=6+c.

(1)求

(2)若BC=2,将射线3Z和O分别绕点8,C顺时针旋转15°，

30°.旋转后相交于点。(如图所示)，且NO5C=3(T,

求NO.

16.(15分)

如图，在四棱锥尸-Z8C0中，底面488为平行四边形,

PB=AB=1,AD=PD=2,ZBAD=60°.

(1)求证：平面PAB1平面ABCD；

(2)若二面角尸-8。-/的大小为12(T,点E在枝上，且

PE=2ED,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

数学氏题第3贝(共4页)

17.(15分)

某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm即视为合格品，否则视为不合格品.假设

误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值

为0,样本方差为4.用样本估计总体.

(1)试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1);

(2)在(1)的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱

产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则

判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1

件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱

产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100

箱该产品利润的期望值.

附：若随机变量Z服从正态分布N(〃02),则P(〃-b<Z<〃+b)v0.6827,

P(〃-2b《Z<〃+2cr)a0.9545,尸(〃一3bMZM〃+3b)a0.9973.

18.（17分）

已知矩形ABC。中，=BC=2也，瓦死G,H分别是矩形四条边的中点，以矩形中

心。为原点，所在直线为x轴，EG所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线

HF,BC上的动点R,S满足OR=AOF,'CS=ACF(2GR).

(1)求直线ER与直线GS交点P的轨迹方程；

(2)当a=-逅时，过点火的直线m(与x轴不重合)和点尸轨

3

迹交于M,N两点，过点N作直线/:x=-3的垂线，垂足

为点0.设直线MQ与x轴交于点K,求4KMN面积的

最大值.

19.(17分)

已知函数/(x)=(x-a)e*-x,aeR,/'(X)是f(x)的导函数.

(1)证明：/'(X)在(-8,长。)上存在唯一零点七；

(2)设函数g(x)=(x2-奴+1/+X+1).

「e-4、

①当aw—，用时，求函数g(x)的单调区间;

_2)

②当ae(v,三二)时，讨论函数g(x)零点的个数,

4

数学试题第4贝(共4页)

2024届安徽省“江南十校”联考

数学试题评分参考

一、单项选择题

1.己知集合/=卜,叫,5=卜卜一—>0),则/U8=()

A.{小1<》<1}B.{x10Wx<l}C.{x|x>-l}D.1x|x>0}

【解析】由2，之1得x»0，由1—f>0得—1<X<1,所以NU5={x|x〉—1}

【答案】C

2.已知复数z满足(l+2z•丘=4+3,，贝!|z=()

22

A.2+2B.2—iC.-----\~iD.------i

55

【解析】]=勺3=吆3=2—z,，所以z=2+i

l+2z5

【答案】A

3.已知向量〃，〃满足〃+〃=(1,加)，a-b=(3,1).若aHb,则实数加二()

11c

A.--B.-C.3D.-3

33

m+1YYl—\

【解析】由于。+分=(1,m)，a—6=(3,1),所以。=(2,下一)，8=(一1，下一)，又因为。〃分，所以

一加一1m+1人1

2---------1----------=0，解得m=—.

223

【答案】B.

4.已知函数〃x)=3sin(2x+0)(S[<二)的图象向右平移四个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)是

26

偶函数，则9为

A兀R兀「兀n兀

6633

【解析】将函数/(x)=3sin(2x+e)(|0|<0)的图像向右平移工个单位长度后得到g(x)的图象，

6

则g(x)=sin(2x-M+9),因为g(x)是偶函数，所以2x0-2+夕=左万+囚，keZ,即9=包+左左，ksZ,

3326

又|夕|苫,令左=一1,可得夕=_,

【答案】B.

5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100成血液中酒精含量达

到20^坊次为酒后驾车，80喝及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上

升到了1.2冽g/加.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要

的时间至少为(精确到0.001.参考数据：lg2-0.3010,lg3ao.4771)

A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时

1g6Ig2+lg3

【解析】由已知得：12x0.8工<0.2,所以x>

l-31g2l-31g2

0.3010+0.4771n77R]

即x>p8.022,所以8.022

1-3x0.30100.0970

【答案】C

1

6.已知函数/(x)=lnx-1在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax?+(a-l)x-2只有一个公共点，则实数。的

取值范围为

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0,-1,-9}

【解析】由/'(x)=4+4得/''(1)=2

XX

所以切线方程是y=2(x—1)—1=2x—3

①若a=0,则曲线为y=-x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点；

②若aHO,贝!12x-3=渥+(a-1)》-2

即ax2+(a—3)x+l=0

由A=(a—3)2—4a=0,即。10。+9=0

得a=1或a=9

综上：a—0或a=1或a=9

【答案】B

7.已知圆。:/+)2一8》+12=0,点M(0,G).过原点的直线与圆C相交于两个不同的点4瓦则

|届+应回的取值范围为

A.(近一2,77+2)B.(3,77+2]

C.(2近-4,2近+4)D.(6,277+4]

【解析】设48的中点为点P,贝“疝+而卜2|应石，由垂径定理知CPJ.QP,则可得点P的轨迹E为

以OC为直径的圆(圆C内部的圆弧)

其方程为E:(x-2)2+/=4(3<xW4),则可得点M(0,6)到轨迹E上点P的距离取值范围为(3,g+2],

从而即+叫=2师]的取值范围为(6,2b+4].

【答案】D

8.已知数列{4}的前〃项和为S”,数列也,}的前"项和为7；,且%+1=与+〃，/=1,bn=---，则

.，%+]

使得7；<M恒成立的实数M的最小值为

A.1B.2C.ZD.2

26

【解析】当"=1时，％=4+1=2

当“22时，an=Sn_}+n-\

所以4+1_能=Sa+“_(S“T+«-1),即4+i=2a„+1

所以4+1+1=2(%+1)

[1,〃=1

则也+1},〃22为等比数列，4=

3-2>2

即〃22时，％+1=3・2"一之

111171177

所以(二—I—(1-\----1------1-----z-)=------x—-<—,得M2一

〃232*632〃-266

【答案】C

2

二、多项选择题

9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1）,

箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分

位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最

大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空

气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200,说明污染严重.则

异常值

上边缘

上四分位数

平均值

中位数

下四分位数

下边缘

异常值

（第9题图1）（第9题图2）

A.该地区2023年5月有严重污染天气.

B.该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中.

C.该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中.

D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月.

【解析】对于A选项可以从图2所示中5月份有AQI值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值

结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于B,C选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的

箱体高度小，说明5月的AQI值比6月的AQI值集中；对于D选项，虽然5月有严重污染天气，但从图

2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI值整体集中于较小值，说明从整体上看,

该地区2023年5月的空气质量略好于6月.

【答案】ACD

10.已知抛物线E:j?=2px的焦点为尸，从点尸发出的光线经过抛物线上的点P（原点除外）反射，则

反射光线平行于x轴.经过点尸且垂直于x轴的直线交抛物线E于民C两点，经过点尸且垂直于x

轴的直线交x轴于。；抛物线£在点P处的切线/与轴分别交于点则下列说法成立的是

A.\PQf=\BF\-\QF\B.\PQ^=\BC\-\DQ\

c.\PF\=\MF\D.FN

【解析】对于A,B选项，设点尸（x,y）,而|尸。|=J2Px,而忸曰=p]^）F\=y-x,px,

则A选项错误，又忸C|=2p,|O0|=x,则B选项正确；对于C选项，如下图所示，过点尸作X轴的平行

线RH,与抛物线E的准线交于点〃，又题意所给抛物线的光学性质可得=,又

ZSPR=ZPMF,所以NMPF=NPMF,从而忸刊=|九0]；对于D选项，因为NSPR=NHPM,所以

NMPF=NHPM,即为/打尸的角平分线，又由抛物线定义知7W=P尸，结合|尸尸|=|儿因，可得

QMFPH,而歹轴经过线段切中点，从而PW与歹轴的交点即为点N,所以网

3

【答案】BCD

11.已知点S,A,B,C均在半径为新的球面上，A43C是边长为2G的等边三角形，SAVBC,SA=342,

则三棱锥S-/2C的体积可以为（）

A.――B.—y/3C.3A/3D.VM

35

【解析】方法一：如图，设三棱锥S-48C的外接球球心为。，ZU8C的中心为连接/O,SO,/O「延

长NO1交8C于。，连接SD,则。是3c中点，所以3CL4D,又8C1.&4,所以8C_L平面”D,又因

为BCu平面4BC，所以平面&4。1平面4BC,过S作/。的垂线，垂足为G,则SG1平面48C,在Rt^AOO,

中，OO|=V5^4=1,设/G=d,SG=肌过。作SG的垂线，垂足为E.若4&在SG的同侧，则在必4G

25或1所以三棱锥&/BC的

中有屋+昭=]8,在RtAsOE中有“_2y+(A-1)=5联立得

u7=—21

5

体积为N4■或36;若4Q在SG的异侧，同理可解得5或（'=3,与"<2矛盾（舍去）.

521[d=3

a7=——'

15

【答案】BC.

S

方法二：设三棱锥S-43C的外接球球心为0,连接/O并延长交大圆于歹，过S作4。的垂线，垂直为G,

可证得SG,面45。

（1）若点S在直线4方的上方，设/SAF=a,/FAG=/3,则tana=Ltan/?=1

32

所以tan/"G=tan（a+2）=tana+tan/?二1，ZSAG=-

1一tanatan134

B

可得SG=AS•sinZ&4G=3V2--=3

2

，匕=gS/Bc.SG=3百

（2）若点S在直线/尸的下方，则tana=；,tan/=；

4

匚口、i,c、tan£—tana1.,0,八

所以tan/SAG=tan(/7-a)=-----------=—,sinZSAG=—

1+tanatan(3710

可得SG=NS•sin/S/G=3JLJ=—

105

-.V2=-S.iBC-SG=—,故选BC.

【答案】BC.

三、填空题

12.从0,2,4,6中任意取1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的

三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为.

【解析】若0在，则三位数有C；4=12；若0不在，则三位数有C\Cl4=54.所以没有重复数字的

三位数有66个，其中偶数的个数是C；£=24个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是

24_4

66-11

4

【答案】—

11■

13.若函数/(x+2)为偶函数,y=g(x+l)—5是奇函数，且/(2-x)+g(x)=2,则/(2023)=.

【解析】由/(x+2)为偶函数，得/(2-x)=/(2+x),

由〉=g(x+l)—5是奇函数,得g(l+x)-5=-g(l-x)+5,即g(2-x)+g(x)=10

由/(2-x)+g(尤)=2,得/(x)+g(2—x)=2

相加得:/(2-x)+/(%)=-6(*)

用2+x代换x得/(2+x)+/(%)=-6

从而/(4+x)+/(x+2)=-6

故〃x+4)=/(x)

所以4是>=/⑺的一个周期

故/(2023)寸(3)=/(—I)结合(*)式得/(3)=/(-I)=-3

【答案】-3.

22

14.在平面直角坐标系X。中，过双曲线-4=1(a>0,6〉0)的右焦点尸的直线在第一、第二象限

a-b

2

交E的两渐近线分别于两点，且若|。7图+|亚0|-|皈|=§.,则双曲线E的离心率

为--

【解析】如图，设NF0M=a,/M0N=20,因为(W,MTV,易知但叫=b,tana，所以|(W|=a；

214

又|(W|+WW|—|ON卜铲，所以Ww|—|ON|=—§a,在直角AOW中，利用勾股定理可得阿乂|=§〃，

所以tan26=3,求得tan9=L(负值舍去)，也即tana=2=--一=2,所以可得离心率为痛.

32atan0

【答案】旧.

5

四、解答题

15.已知a,6,c分别是AA8C三个内角4B,C的对边，且6csin/+4cosC=b+c.

⑴求N;

⑵若8c=2,将射线胡和C4分别绕点民C顺时针旋转15°,30°,旋转后相交于点。（如图所示），且

/DBC=3Q。,求4D.

.0

IV

15.【解析】（1）因为百csinZ+acosC=b+c

所以gsinCsinZ+sinAcosC=sin5+sinC

又因为sin5=sin（/+C）=sinAcosC+cosAsinC

所以百sinCsin/=cos/sinC+sinC.......................................................................................（3分）

由于sinC>0,所以6sin4=cos/+1,即sin（Z,

62

冗.TC5TCI-.I71IT>>i冗八、

又——<Z----<——，则/=一，因此4=一・.....................................（z6分）

666663

（2）在A48C中，由正弦定理得/C=—些—sin//BC=拽

sinABAC3

在ASOC中，由于NB£）C=45°

由正弦定理得CD=———sinZD5C=V2.......................................................................（10分）

sinZBDC

于是，在A4CD中，由余弦定理得：

AD=4AC1+CD2-2AC-CDcosZACD=J-+2-2-41--=—...................（13分）

V3323

6

16.如图，在四棱锥尸一/BCD中，底面/BCD为平行四边形，PB^AB=l,AD=PD=2,ZBAD=60°.

(1)求证：平面PAB1平面ABCD；

(2)若二面角2-3D-4的大小为120°,点E在棱尸。上，且PE=2ED,求直线CE与平面PBC所成

角的正弦值.

【解析】(1)证明：由余弦定理得BD=V12+22-2-1-2COS60°=V3

所以=7^2+BD2,PD2=PB2+BD1

因此PB±BD

又因为48cPB=B,AB,PBu平面PAB

所以8D_L面P48

又因为BDu平面48CD

故平面平面/BCD....................................................(6分)

(2)由于A8LAD,PB±BD

所以二面角P——/的平面角为NPA4,即/尸氏4=120°........................(7分)

在平面P48内过点5作48的垂线，交4P于E

由平面PAB，平面ABCD,得斯，平面ABCD

以5为坐标原点，343。，3尸为》//轴正方向

建立如图所示的空间直角坐标系5-xyz

则5(0,0,0),。(0,0,0),。(一1,石,0),P(--,0,^)................................(9分)

设平面PBC的法向量为“=(x,y,z),

-x+6y=0

,[n-BC=0

则\__,,即＜]由，令x=V3,则y=z=1

n•BP-0——x+——z=0

I22

7

所以3=（百,1,1）.......................................................................................................................................（11分）

设直线CE与平面PBC所成角为（9

•.•屈=而+而=屈+29乌

3636

.门।-IICE-n|

sm0=cos<CE,n>=-=——；

\CE\-\n\

（15分）

5

17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从

正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0,样本方差为4.

用样本估计总体.

（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）;

（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均

不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如

果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果

抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000

元；整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.

附：若随机变量Z服从正态分布"（〃,d）,则P（〃-bWZV〃+b）a0.6827,

-2crVZV〃+2cr）»0.9545,-3crVZV〃+3（r）»0.9973.

【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数〃和b,得产品的尺寸误差X〜M0,22）,

P（忖＜4）=尸（〃—2bWZW〃+2b）“0.9545,因此估计这批产品的合格率为95.45%.

因此样本的不合格品率为1-0.9545=0.0455,

所以估计100件产品中有100x0.0455=4.5525件不合格品..............................（6分）

（2）方法一：设&="抽检的第1件产品不合格”，4="抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被

拒绝的事件为4。（彳4）-

8

因此p(4U(44))=P(4)+P(%4)=P(4)+P(4)P(a|4)

595597

------1-----x-----.......................................................................................................(10分)

10010099990,

893

设100箱产品通过检验的箱数为Z,则Z〜8(100,施).

所以100箱利润W=1000Z+(-89)(100-Z)=10897-8900

893

因此平均利润E(沙)=E(1089Z-8900)=1089E(Z)—8900=1089x100x8900

=89330(元)..(.1.5.分..)....................................................

C297

方法二：记一个整箱产品被拒绝为事件A,则尸(2)=1——六=——.......................(10分)

Goo990

9797893

设整箱产品的利润为随机变量自,则PC=-89)=—=1000)=1--

990

884367

所以E(J)=—89x——+1000x——

990990990

设100箱该产品的利润为随机变量X,则X=1004

所以E(X)=E(100J)=100E(J=89330(元)........................................(15分)

18.已知矩形48CD中，AB=2瓜BC=2亚,E,£G,〃分别是矩形四条边的中点，以矩形中心。为

原点，放所在直线为x轴，EG所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系.直线上的动

点R,S满足OR=WF,CS=2CF(2GR).

(1)求直线ER与直线GS交点P的轨迹方程；

(2)当彳=一中时，过点火的直线加(与x轴不重合)和点尸的轨迹交于M,N两点，过点N作直线

/:x=-3的垂线，垂足为点。.设直线与x轴交于点K,求面积的最大值.

H

【解析】(1)设点P(x〃)，R(XR,0),S(布,外)

由OR=AOF得4=s/~6A,即7?(V6A,0)

由赤=2而得力=血(1_为，即S(布，血(1—4))

当时，直线=—亚①

V6A

9

直线GS：y=+6②

V6

由①②消去参数力得3+五）3-五）=-；x?

22

即上+匕=l（xwO）；

62

当2=0时，得交点尸（0,五）；

22

综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：土+匕=1（不含点（0,-亚））..................（6分）

62

（2）当彳=一日时，点R（-2,0）,过点火的直线加可设为x=q—2（7w-亚）

22

代入3+三=1得-2）2+3/=6

即（/+3）y2_4夕—2=0

设"（XQJ,N（22）

4t-2

贝匹

由题得0（—3,%）

则直线〃0:了-了2Jf（X+3）

演+3

所以令y=0

得4=一型玉+3）_3=-哒F.......................................................（8分）

71-^2月一了2

又因为再=Wi-2,2tyry2=-(必+%),代入上式得:

X「2肛-2)-3Y二-tyiy2+2y2-3y}/+%)+2%-3M

k

Ji-y2必一力%一为

55

12必+/_5

%一当2

所以直线MQ过定点^(-1,0)...........................................................(12分)

由于SAKMN=；|m限一%|=；-2+3%_了2|=：>1一%|

而|%-巴卜J(%+八2>-4必为==2而，;'2........................................(1