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文档简介

第十三章函数列与函数项级数

§1一致收敛性

一．函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列(１)在点

设

(1)

是一列定义在数集E上函数,称定义在E上函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在第1页或第2页

总有例１证实它收敛证:(3)第3页它显然是发散,所以函数列例2

设

证实它收敛域为极限函数为

=0。证：因为对任何实数都有

故，对任意给定，就有第4页定义1所以数列收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不但要讨论它在哪些点上收敛，而更主要是要研究极限函数所含有解析性质。比如能否由函数列每项连续性，判断出极限函数连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。第5页一致收敛于f几何意义:不一致收敛于f几何意义:函数列在D上不一致收敛定义：第6页定理13.1(函数列一致收敛柯西准则)(4)第7页证:[必要性][充分性]一点都收敛，记其极限函数为(5)第8页定理13.2证:[必要性]由上确界定义有由此证得（6）式成立。[充分性]有由（7）式得（6）（7）第9页例3证实证：于是，

但因为

所以，该函数列在

上不一致收敛。第10页二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在Ｅ上函数项级数，为函数项级数部分和函数列。级数和函数：即若收敛，则称为收敛点。若发散，则称为收发散点。也就是说函数项级数收敛性就是指它部分和数列收敛性。第11页当当定理13.3（一致收敛柯西准则）或推论：定义2å.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4第12页定理13.4由此可知我们来看例4中级数若仅在[-a，a]（a<1）上讨论，由

可知级数在[-a，a]上一致收敛。若在（-1，1）上讨论这个级数，则由（）（）在（-1，1）内不一致收敛。第13页又对一切依据函数项级数一致收敛柯西准则，一致收敛。三.函数项级数一致收敛性判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）证：第14页例5

证实函数项级数在上一致收敛。在

证：因为对一切有

而正项级数是收敛，所以函数项级数上也收敛。定理13.6（阿贝耳判别法）设在区间I上一致敛；

是单调；（2）对每一个（1）（3）第15页则级数在区间Ｉ上一致收敛。

证：由（1），使得当时，对任意正整数p及有

又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理推论）得到

由此柯西准则定理得证。定理13.7（狄利克雷判别法）设第16页（1）部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调；（3）在I上一致收敛于零。则级数在区间I上一致收敛。

证：由（1），，对一切。所以当n，p为任意正整数时，

对任何一个由（2）及阿贝尔引理，得到

再由（3），对任给，存在正整数N，当n>N时，对一切有第17页所以

于是由一致收敛性柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例6

函数项级数在[0，1]上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例7

若数列单调且收敛于零，则

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