2024海口二模海南省海口市2024年高考模拟二数学（理）含答案

海南省海口市2024年高考模拟试题(二)

数学(理科)

留意事项：

1.本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷

指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效.

2.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

第।卷选择题

选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)

1.设全集合&={尤€尺||尤|>3},集合B={xcRp<l},则集合©A)B=

x

A.(1,3]B.(1,3)C.(-3,0)(1,3)D.[-3,0)(1,3]

2.已知命题p：△ABC中，ABAC<0,命题q：△ABC是钝角三角形，则p是4的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.复数z=*需的共辗复数在复平面上对应的点在

1-r013

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

4.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式：①6+^22；©-+->2；③abWl；④

ab

G+扬4近恒成立的是

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

5.已知e是自然对数的底数，函数/(尤)=e'+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+%-2

的零点为b,则下列不等式中成立的是

A./(a)</(l)</(^)B./(a)</(/?)</(l)

C./(1)</(G)</(^)D./(&)</(l)</(«)

6.设sin(■了-。)=丁则sin29=

8、8「17c17

AA.---B.——C.—D.----

25252525

22

7.过双曲线=-A=13>0,b>0)的左焦点月作垂直于双曲线渐近线的直线，以右焦点F,

ab

为圆心，|O工I为半径的圆和直线相切，则双曲线的离心率为

A.B.2C.A/3D.75

2

8.设偶函数/'(x)=Asin(@c+e)(A>0,。>0,0<°<%)的部分图象如图所示，/\KLM

为等腰直角三角形，/KML=90。,\KL\=1,则的值为

V311V3

A.-------B.----C.——D.——

4424

9.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为

俯视图

x=7.若总体听从止态分布，试估计该次考试中10C

为

A.3413人B.4772A

C.8413人D.9722A

(参考数据：若XN(〃，/)，则P(〃-b<X4〃+b)=0.6826;

尸(〃一2b<XV〃+2b)=0.9544;尸(〃一3b<XV〃+3。)=0.9974)

11.已知球O的半径00=3,线段OD上一点M满意OAf=2MD,过M且与OD成30角

的平面截球O的表面得到圆C,三棱锥S-ABC的底面ABC内接于圆C,顶点S在球O

的表面上，则三棱锥S-加。体积的最大值为

A.8#B.873C.4#D.473

12.已知函数/(x)=oxlnx在x=l处的切线斜率为，贝I]g(x)=alnx的图象和直线x=e与尤轴

所围成的图形的面积是

A.B.C.e-1D.e2-l

第II卷非选择题

二.填空题：(本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的指定位置)

13.(2x-J=)6的常数项等于。

)7<X+1,

”一忖X\+l,

14.已知区域^2=｛（羽丁）y2O,},M=[(x,y)<｝,向区域。内随机投

go,

x<l,

一点尸，点P落在区域舷内的概率为.

sin3

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若任一=2,且/一/=±ac,

sinA2

贝UcosB=____________

16.已知抛物线/=2Px（p>0）的焦点为F,过焦点F倾斜角为30的直线交抛物线于A,

3两点，点A,5在抛物线准线上的射影分别是A,B',若四边形的面积为48,

则抛物线的方程为

三.解答题：（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请

将答题的过程写在爸整巷中指定的位置）

17.（本小题满分12分）

设数列｛%｝的前〃项和为S,,,且=S,+2〃+l,nwN*。

（I）求％,a,,%；

（II）求证：数列｛4+2｝是等比数歹U；

（III）求数列｛〃4｝的前〃项和北。

18.（本小题满分12分）

2024年，首都北京经验了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1

月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（AQI）技术规定

（试行）》依据AQI指数凹凸将空气污染级别分为：优，指数为0—50；良，指数为51—100；

稍微污染，指数为101—150；轻度污染，指数为151—200；中度污染，指数为201—250；

中度重污染，指数为251—300；重度污染，指数大于300.下面表1是该观测点记录的4

天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）的状况，表2是某气象观测点记录的

北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，

表1:AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）状况

AQI指数M900700300100

空气可见度y（千米）0.53.56.59.5

表2:北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计

AQI指数[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

频数361263

(I)设变量余=2-,依据表1的数据，求出，关于余的线性回来方程；

100■

(II)小王在记录表2数据的观测点旁边开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量

影响很大。假设每天空气质量的状况不受前一天影响。经小王统计：AQI指数不高于200时,

饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在200至400时，饭馆平均每天净利润约400元，

AQI指数大于400时，饭馆每天要净亏损200元.

(i)将频率看作概率，求小王在连续三天里饭馆净利润约1200元的概率；

(ii)计算该饭馆一月份每天收入的数学期望.

_“____

(用最小二乘法求线性回来方程系数公式6=上---------a=y-bx)

―"尤

;=1

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸—ABCD中，AD//BC,AB1AD,

ABLPA,BC=2AB=2AD=4BE,平面平面

ABCD,

(I)求证：平面PED_L平面上4C；

(II)若直线PE与平面丛C所成的角的正弦值为

―,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值

5

(第19题图)

20.(本小题满分12分)

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相像”的.如图，椭圆G与椭圆Q

22

是相像的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆C-三+•=13>6>0)的长轴长是4,

ab

22

椭圆c?：J+・=1(机>”>0)短轴长是I,点片，外分别是椭圆G的左焦点与右焦点，

mn

(1)求椭圆6，c2的方程；

(II)过月的直线交椭圆C2于点M,N,求4F2MN

面积的最大值.

21.(本小题满分12分)

设函数/(彳)=办2+COSX

(I)证明：azg时，函数/(x)在[0,+oo)上单调递增;

(II)证明：4sinx+2xlnx-3x2一1<0恒成立.

四.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做

题计入总分，满分10分.请将答题的过程写在答季卷中学零的位置)

22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲

切线他与圆切于点3,圆内有一点C满意钻=AC,NCR的平分线钻交圆于。，

E,延长EC交圆于延长DC交圆于G,连接FG.„----

(I)证明：AC//FG-,

(II)求证：EC=EG.R--------------

(第22题图)

23.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

己知曲线G的极坐标方程是O=4cos6,以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直

角坐标系，直线的参数方程是：，=2+fcos?(为参数).

[y=l+/sin。

(I)求曲线C1的直角坐标方程；

(II)设直线与曲线G交于A，3两点，点用的直角坐标为(2,1),若AB=3"B,求

直线的一般方程.

24.(本小题满分10分)选修4■—5:不等式选讲

已知函数/(%)=|兄+1|—|x|+a.

(I)若a=0,求不等式/(%)20的解集；

(II)若方程/(%)=%有三个不同的解，求。的取值范围.

2024年海口市高考模拟测试

数学试题（理科）参考答案

一'选择题:

题号123456789101112

答案DACBADBDACBA

三、解答题：

1

13.6014.-15.16.y2=2^/5%

24

三、解答题

；

17.解(I)q=3,a2=8,a3=18

3分

(II)因为2a“=S”+2〃+1,所以有2a”+1=S〃+i+2〃+3成立

两式相减得:2a“+1—2an—an+l+2,所以an+l=2an+2,即an+l+2—2(。〃+2)

所以数列｛4+2｝是以5为首项，公比为2的等比数列。

1分

(III)由(II)得：a,,+2=5x2"T,即a,=5X2"T—2,则“a”=5〃-2"T—2〃

设数列｛5小｝的前n项和为Pn,

则只=5xlx2°+5x2x2i++5xnx2n-l

12,!

2Pn=5xlx2+5x2x2++5X(H-1)X2^'+5XHX2

2

两式相减得:~Pn=5+5X21+5X2++5X2"T-5x〃x2"=(5-5九>2"-5

所以巴=(5〃-5>2"+5

所以数列｛〃/｝的前〃项和7；=(5“—5)•2"+5—2x“(,),

整理得：7；=(5〃—5)2—〃2_”+5

12^-

18.解：(I)由尤=且，则占=9,X,=7,

X3=3,—1,元=5,y=5

100'

44

Z'X=9x0.5+7x3.5+3x6.5+1x9.5=58,fx；=140

4=1i=l

_58-4x5x521

^=5-5x(--)=—

―140—4x5220204

2141

y关于x的线性回来方程是y二---xd---

204

6分

(H)(i)由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1,AQI指数在200至400的频率为0.2,

AQI指数大于400的频率为0.7,设“饭馆某天收入约700元”为事务A,“饭馆某天收入约

400元”为事务3饭馆某天亏损约200元”为事务C,若将频率看作概率，则尸(A)=0.1,

尸(3)=0.2,尸(C)=0.7.

则“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率：

P=P(BBB)+P(ACC)+P(CAC)+P(CCA)=0.23+C;x0.12x0.7=0.029

(ii)由(i),设饭馆每天的收入为X,则X的分布列为

X-200400700

P0.70.20.1

」。今

贝IX的数学期望为E(X)=-200x0.7+400x0.2+700x0.1=10

19.法一(I)取AD中点F,连接所，则FDIJBE,

.••四边形是平行四边形，，旗〃瓦)

:直角△血1尸和直角△CBA中，&=g=2

AFBA

二直角△549直角△CBA,易知班'_LAC

/.EDI.AC2分

:平面PABL年而ABCD,PABWffiABCD=AB

ABrPA

R4_L平面ABCD

/.PAYED,_________________________________4^-

PAAC=A

ED_L平面R4C.5分

，平面PED_L平面RAC.6万

(II)设即交4c于G,至IPG,厕/EPG是直及PE与平面上4c所成的角.设3E=1

由△AGOACGE,知型=丝=2,

GEEC3

AB^AD=2

33亚出

EG=—DE=,DKJ一

555

EG75

sinZEPG=

~PE~~5

：.PE=3,AE=y/5,PA=y/PE2-AE2=2

9分

祚GH_LPC于H,由PC_LDE,知PCJ_平面HDG,

・•・PCA.DG,

：.Z.GHD是二面角A-PC-D的平面角

10^

・・•△尸C4△GCH,

而GC=JCE?-EG2=述

GHGC5

.z_PA-GC®

a■(Til--------------------

tanZGHD=—

3

：.cosZGHD^—,即二面角A-PC-D的平面角

12^

注二：(I)•.•平面上4B_L平面A5CD,

平面BIB平面=ABrPA

：.R4_L平面ABCD

又；A5JLAr),故可如图建立空间直角坐标系o-邙

2分

由已知。(0,2,0),E(2,l,0),C(2,4,0),P(0,0,2)(Z>0)

AC=(2,4,0),AP=(0,0,2),DE=(2,-1,0)

ADEAC=4-4+0=0.DEAP=Q,

：.DELAC,DELAP,

：.ED_L平面A4C.4分

・・・平面PED_L平面PAC6分

(II)由(I),平面R4C的一个法向量是。石=(2,-1,0),PE=(2,1,-2)

设直线PE与平面PAC所成的角为。，

4-1J5

Asin<9=Icos<PE,DE>\=\.|=—,2=±2

石，5+35

*/Z>0

・•・4=2,即P(0,0,2)

§登

设平面PCD的一个法向量为忆二(%,%,z0),OC=(2,2,0),DP=(0,-2,2)

由〃_LDC,nJ_DP

e/2x+2y=O人

••〈oo，Y—1，则

1-2%+2z0=0

吟a=巫

cos<n,

V3x^55

加显二面角A-PC-D的平面角是锐角，

岳

二面角A-PC-D的平面角的余弦为

支金

20.(I)设椭圆q的半焦距为c,椭圆C2的c'.由已知a=2,b=m,〃=；.

:椭圆Cj与椭圆C2的离心率相等，即£=二

am

bn

am

39

BPbm=吩=an=l,

b=m=l

4分

,椭圆G的方程是j+/=i，椭圆c?的方程是丁+,=1

4

§登

(II)明显直线的斜率不为0,故可设直线的方程为：x=my-^.

x=my-6

联立,得V+4(my—石)2—1=0,即(1+4根2)/—86冲+n=0

y1+4x2=1

7±

■\l4-rn2—11

A=192m2-44(1+4m2)=16m2-44>0|MN|=2jl+〃/

l+4m2

8分

陌-0根+@2A/3

△F2MN的高即为点F2到直线I:x-my+43=0的距离h=

1+m21+m2

99

174m2-112百

•••△89的面积5=5|四伙=26

i+4加,12

V4m2-11

2等号成立当且仅当«疗一口=12

'4m-11+^^——>2712=473,,即

“苏-1174m2-11

机=士叵时,

2

S<^=-，即△F,MN的面积的最大值为工

47322

12^

21.(I)证明：g(i)=/'(%)=2or—sinX，贝！Jg(0)=0,g'(;r)=2a—cos%,1

为

9•a>—,-1<cosx<1，

2

g'(x)—2a—cosx>l—cosx>l—1=0.

g(x)在[0,+8)单调递增

3登

・•・—())=且(°)=°，即r(x)>o

M而/(x)在[0,+8)上单调递增

§金.

(II)证明：要证4sin%+2xln%-3%之一1<。，

只需证一2%lnx+3%2+l>4sinx,即x(-21nx+3x+—)>4sinx，证明如下：

x

,几1/\ClC1rrt.l1f7\2c1312—2x—1(3x+l)(x—1)

设/z(x)=-21nx+3x+-,贝lj/(%)=一—+3一一=----------=-----y——-,

XXXrXX

§登

已知当工£(0,1)时，/ir(x)<0,人(%)单调递减；

当了£口,+8)时，hr(x)>0,%(%)单调递增.

h(x)在(0,+8)上的最小值为/i(l)=4,即〃(x)=-21nx+3x+,24，

lOjt

又由(I),当。=,且x>0时，x>sin尤，

2

x(—21nx+3x+—)>4sinx，即不等式4sinx+2xlnx—3x2—1<0恒成立.

x

12^

H.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做

题计入总分，满分10分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置)

22.(I)证明：：钻切圆于3,

AB2=ADAE,

又：AB^AC,

AC2=ADAE,

：.△ACD△AEC,

,ZACD=ZAEC,

又；ZAEC^ZDGF,

：.ZACD=ZDGF

AC//FG5_分

(II)证明：连至BD,BE,EG

由AB=AC,==知△ABD三△ACD,同理有三△ACE,

AZBDE=