2023-2024学年九年级上学期期中复习原卷版（苏科版）期中复习09：圆中作图问题

圆中作图问题专题复习九

作三角形内切或外接圆

作圆与某直线相切

【考纲解析】

圆中作图题属于九年级考试常考题型，一般属于中等题或者基础题，但有时也考察难题，所以对于学

生来说，对于与圆有关的概念和作图问题要非常熟练，不能仅仅停留在掌握圆的性质，但作圆求解角度、

半径、确定圆心、做相切圆就无从下手；要学会合理利用知识点作出对应的图形

1.（2022秋•江苏扬州•九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，已知在AABC中，乙4=90。.

⑴请用圆规和无刻度直尺作出OP,使圆心尸在ac边上，且OP与4B,8C两边都相切；（保留作图痕迹,

不写作法和证明）

(2)若28=3,BC=5,求OP的半径.

2.（2023秋•江苏•九年级专题练习）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和

（1）【圆的作图】点P是NB4C中4B边上的一点，在图1中作。。，使它与NBAC的两边相切，点P是其中一

个切点；

（2）点P是NB4C中AB边上的一点，在图2中作O。，使它满足以下条件：

①圆心。在A8上；②经过点P；③与边4C相切；

⑶【不可及点的作图】如图3,从墙EF边上引两条不平行的射线EB、FC（交点在墙EF的另一侧，画不到），

作这两条射线所形成角的平分线.

4.（2023•江苏南京•统考二模）在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题："一组对边相等，一组对角相

等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”.小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例.

图②

（1）小明：如图①，RtAABC中，ZC=90°,把A4BC沿4B翻折，得至U△4BD,再以。为圆心，DB长为半径

作弧，交射线C8于点E,连接DE,过点4、E分别作AC、8c的垂线，交于点F.则四边形4FED是该命题的

一个反例.

请你说明此反例的合理性.

⑵小丽：作出图②，在△ABC中，ZB=90°,上NMB=LA.她发现四边形ZBMN48MN已满足一组对角

相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作

图作出符合要求的犷"，使四边形是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）.

5.（2023・江苏•模拟预测）过。。上一点A,可以用尺规按以下方法作出。。的切线；

①另取O。上一点8，以8为圆心，为半径作圆，将OB与。。的另一个交点记为点C；

②以A为圆心，AC为半径作弧，将。4与OB的另一个交点记为点Q,作直线4D.

直线力。即为。。的切线.

如图，小明已经完成了作图步骤①.

⑴用尺规完成作图步骤②；

（2）连接AC,AB,BC,BD,求证：4B平分NC4D；

⑶求证：直线2。为O。的切线.

6.（2023春•江苏南京•九年级校考阶段练习）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）.

（1）如图1,已知△力BC,作一个△4BD,使得乙ADB=4ACB,AD=BD.

⑵如图2,已知AABC和线段a,作一个△力BE,使得乙AEB=4ACB,AE+BE=a.（写出必要文字说明）

7.（2022秋•江苏无锡•九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1,已知。0,请你用圆规和无刻度的直尺

作一个以。为圆心，面积是原O。的两倍的圆；

②均分问题：如图2,已知。。，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以。为圆心，面积是原。。的一半的

圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）

（2）若。。的半径为5,则上述所作圆的周长分别是

8.（2023秋•江苏扬州•九年级统考期末）同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题,

接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：

⑴如图，已知△2BC,在AaBC内求作一点。，使N4DC=2/2BC.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是：;

（2）已知△48C中，NC=90。，请在线段A8上找一点。，使得△力BCsACBD.（尺规作图，保留作图痕迹,

不写作法）

在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是:

9.（2023春•江苏•九年级专题练习）作图：如图，已知点4、B和直线（保留作图痕迹，不写作法）

.B.8

（图I）（图2）

⑴在图（1）中，利用尺规在直线I上作出点P,使得N4PB=90°；

（2）在图（2）中，利用尺规在直线/上作出点Q,使得A4QB=60°.

10.（2022秋•江苏苏州•九年级校考期中）已知四边形4BCD,用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作

图痕迹，不写作法）如图，连接在BC边上作出一个点M.使得乙4M。=乙43。.

11.（2023秋•江苏•九年级专题练习）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应

字母.

（1）已知△ABC,作OP,使圆心P到AB、AC边的距离相等，且OP经过A、B两点.

⑵如图，四边形ABCD是直角梯形，作。0,使。0与AB、BC、CD边都相切.

12.（2022秋,江苏南京♦九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）用无刻度直尺和圆规作图（保留作

图痕迹，并简述作图过程）

.P

图1图2

（1）如图L点P在直线矽卜，作。。经过P且与直线Z相切.

（2）如图2,点P在直线矽卜，作。0,使。。经过P且半径为r,且与直线/相切.

13.（2023,江苏无锡•模拟预测）如图，点4、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成

下列作图.（不写作法，保留作图痕迹）

⑴在图1中，在直线MN上取点P使得乙4PM=乙BPN；

A

B

MN

（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得N4QM=^AQB.

,8

XfN

14.（2022秋,江苏•九年级期中）如图，在ABC中NC=90°,乙4<45°.

⑴请作出经过A、8两点的圆，且该圆的圆心。落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；

（2）在（1）的条件下，已知乙BOC=a,将线段AB绕点A逆时针旋转a后与回0交于点E.试证明：B、C、E

三点共线.

15.（2023,江苏徐州•校考三模）如图，已知尸是。。外一点.按要求完成下列问题:

⑴作图：（保留作图的痕迹）

①连接OP,与0。交与点A,延长4。，与。。交于点&

②以点P为圆心，OP长为半径画弧，以点。为圆心，长为半径画弧；

③两弧相交于点C,连接OC,与O。交于点连接DP,BD.

（2）证明：DP为。。的切线；

⑶计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧BD与弦BO所围"弓形”的面积为

cm?.（结果保留根号或精确到0.1cm）

圆中作图问题专题复习九

作三角形内切或外接圆

作圆与某直线相切

【考纲解析】

圆中作图题属于九年级考试常考题型，一般属于中等题或者基础题，但有时也考察难题，所以对于学

生来说，对于与圆有关的概念和作图问题要非常熟练，不能仅仅停留在掌握圆的性质，但作圆求解角度、

半径、确定圆心、做相切圆就无从下手；要学会合理利用知识点作出对应的图形

1.（2022秋•江苏扬州•九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，已知在AABC中，乙4=90。.

⑴请用圆规和无刻度直尺作出OP,使圆心尸在ac边上，且OP与4B,8C两边都相切；（保留作图痕迹,

不写作法和证明）

（2）若28=3,BC=5,求OP的半径.

【答案】⑴见解析

【分析】（1）作N4BC的平分线BP,交2C于P,以P为圆心，以P4为半径作OP即可.此时OP与4B,BC两

边都相切；

(2)设PA=PD—m,根据SMBC=S“BP+S^BCP，可得|x3x4=|x3xm+|x5xm,求出m即可

解决问题；

【详情解析】（1）作法：①作乙4BC的平分线BP,交2C于P,

②以P为圆心，以P4为半径作圆，

则OP就是符合条件的圆；

(2)过P作PD1BC于D,

在Rt△力BC中，

血血4c=90°,BC=5,48=3,

SAC=VBC2-AB2=4,

设PA=PD=m,

团SAABC=S^ABP+S4BCP,

0ix3x4=-x3xm+-x5xm,

222

3

团m=

2

【提优突破】本题考查作图一复杂作图，勾股定理，切线的判定和性质，三角形的面积公式，圆的面积公式

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

2.（2023秋•江苏•九年级专题练习）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和

圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

（1）【圆的作图】点尸是NB4C中力B边上的一点，在图1中作。。，使它与ABAC的两边相切，点尸是其中一

个切点；

⑵点P是ABAC中4B边上的一点，在图2中作。。，使它满足以下条件：

①圆心。在上；②经过点尸；③与边4c相切；

（3）【不可及点的作图】如图3,从墙EF边上引两条不平行的射线EB、FC（交点在墙EF的另一侧，画不到）,

作这两条射线所形成角的平分线.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；

（2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法.

（3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法.

【详情解析】（1）解：

图1

①过点P作PE1AB,垂足为点P；

②作NCAB的平分线AM交PE于点0；

③以点0为圆心，0P长为半径作圆；

则回。为所求的图形.

（2）

法1：①过点P作AB的垂线交AC于点E,

②在EA上截取EF=EP,

③作F01AC交AB于点0

（或作NAEP的平分线交AP于点0）；

④以点0为圆心，0P长为半径作圆；

则回0为所求的图形.

图2

法2：①过点P作PF1AC,垂足为点F；

②作4APF的平分线交AC于点G；

③作GP的垂直平分线交AP于点0；

（或过点G作GO1AC交AP于点0；或作GO||FP交AP于点0）；

④以点。为圆心，0P长为半径作圆；

法3：①反向延长射线AB,过点A作AF1AC,垂足为点A；

②作NEAF的平分线AG；

③过点P作PH||AG,交AC于点H；

④作HP的垂直平分线交AP于点0；

（或过点H作HO1AC交AP于点0）；

⑤以点。为圆心，0P长为半径作圆；

则回0为所求的图形.

法4：①在AP上任取一点D（除A、P外），作DF1AC,垂足为点F；

②以点D为圆心，DF长为半径作回D,交AB于点E；

③过点P作PM||EF,交AC于点M；

④过点M作0M||DF,交AB于点0；

⑤以点。为圆心，0P长为半径作圆；

则回。为所求的图形.

法5：①在AP上任取一点M（除A、P外），作MN1AC,垂足为点N；

②以点M为圆心，MP长为半径作回M交MN于点F；

③连接PF,并延长交AC于点E；

④过点E作EO1AC交AP于点0；

⑤以点0为圆心，0P长为半径作圆；

则回0为所求的图形.

（3）法1：①在FC上任取一点M（除F外），在EB上任取一点N（除E外），连接MN；

②作NFMN的平分线MG,作ZENM的平分线NG,两平分线交于点G；

③同样方法，得点H；

④作直线GH；则直线GH为所求的图形.

法2：①在FC上任取一点I（除F外），在EB上任取一点J（除E外），连接IJ；

②作NFIJ的平分线IE,作4EJI的平分线JG,两平分线交于点G；

③作NCIJ的平分线IH,作NBJI的平分线JH,两平分线交于点H；

④作直线GH；则直线GH为所求的图形.

法3：①在FC上任取一点I（除F外），在EB上任取一点J（除E外），连接IJ；

②作NCIJ的平分线IH,作ZBJI的平分线JH,两平分线交于点H；

③过点H作HM1FC,垂足为点M；

④过点H作HNLEB,垂足为点N；

⑤作NMHN的平分线HG；

则直线GH为所求的图形.

C

法4：①在EB上任取一点N（除E外），过点N作NPIIFC；

②作NENP的平分线NM,交FC于点M；

③作线段MN的垂直平分线GH；则直线GH为所求的图形.

法5：①在FC上任取一点M（除F外），在EB上任取一点N（除E外）；

②过点M作MI1FC,垂足为点M；过点N作NJ1EB,垂足为点N；MI与NJ交于点P；

③作NMPJ的平分线PK交FC于点K,射线PK反向延长线交EB于点L；

④作线段KL平分线GH；则直线GH为所求的图形.

法6:①在EB上任取一点N（除E外），过点N作NL1EB,垂足为点N；

②过点N作NKJ.FC,垂足为点K；

③作NKNL的平分线NM交FC于点M；

④作线段MN的垂直平分线GH；

则直线GH为所求的图形.

法7:①在EB上任取两点N、L（除E外），以点N为圆心，NL长为半径作团N；

②过点N作NM||FC,交回N于点P；

③连接LP并延长交FC于点K；

④作线段KL的垂直平分线GH；

则直线GH为所求的图形.

【提优突破】本题考查了尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线，其中熟练运用作图

方法并保留作图痕迹是解题关键.

3.（2023•江苏南京•校考二模）命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个

四边形是平行四边形.请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请

你利用直尺和圆规在下图的基础上画出反例，并写出必要的文字说明.

【答案】假命题，见解析

【分析】根据圆周角定理和轴对称图形的性质，即可说明原命题为假命题.

【详情解析】假命题

文字说明：

（1）作点C关于BD的对称点C；

（2）作△BUD的外接圆；

（3）以点B为圆心，CD长为半径画圆，两圆交于点A.

则四边形ABCD满足NA=ZC（一组对角相等），AB=CD（一组对边相等），但四边形ABCD不是平行四边形.

【提优突破】本题考查了圆周角定理，平行四边形的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

4.（2023•江苏南京・统考二模）在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题："一组对边相等，一组对角相

等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形".小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例.

⑴小明：如图①，RtAABC中，“=90。，把AABC沿4B翻折，得到△2BD,再以。为圆心，长为半径

作弧，交射线C8于点E,连接DE,过点4、E分别作4C、8C的垂线，交于点F.则四边形4FED是该命题的

一个反例.

请你说明此反例的合理性.

（2）小丽：作出图②，在AABC中，Z.B=90°,乙NMB=LA.她发现四边形A8MN已满足一组对角

相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作

图作出符合要求的4V,使四边形是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）.

【答案】⑴答案见解析

⑵答案见解析

【分析】（1）根据条件证明"四边形ADEF是一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边

形"即可得到答案；

（2）根据①在射线MN上截取MD=AB；②作DN7/BC,交AC于点N，；③在BC上截取MM，=DN，，连接

M，N',四边形ABM'N，即为所求.

【详情解析】（1）解：・・•△ABD由RtAABC翻折得到,

・•.AC=AD,ZC=ZADB=90°,

•・•EF1CE,AC1AF,

・•.Z.CAF=ZCEF=ZC=90°,

・•・四边形ACEF是矩形，

・•.AC=EF,

AD=EF,

在四边形ACBD中，Z.DAC=180°-Z.DBC,

Z.DBE=180°-zDBC,

•••Z.DAE=Z.DBE,

•・•BD=DE,

・•.zDBE=zDEB,

•••zDAC=Z.DEB,

vZFAD=90°-ZDAC,ZFED=90°-zDEB,

••・4FAD=ZFED<90°,

••・四边形ADEF满足一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形，但是它不是矩形;

（2）解:如图所示，

①在射线MN上截取MD=AB；

②作DN7/BC,交AC于点N'；

③在BC上截取MM，=DN\连接M，N，,四边形ABM，N，即为所求.

【提优突破】本题主要考查矩形的判定与性质，翻折的性质，角度的计算，尺规作图，掌握矩形的性质以

及尺规作图的方法是解题的关键.

5.（2023•江苏•模拟预测）过。。上一点A,可以用尺规按以下方法作出。。的切线；

①另取O。上一点2，以B为圆心，A8为半径作圆，将08与。。的另一个交点记为点C；

②以A为圆心，4c为半径作弧，将与。B的另一个交点记为点。，作直线4D.

直线力。即为。。的切线.

如图，小明已经完成了作图步骤①.

⑴用尺规完成作图步骤②；

(2)连接AC,AB,BC,BD,求证：力B平分NC力D；

⑶求证：直线力。为。。的切线.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】(1)根据题意完成作图即可；

(2)由作图可知，AC=AD,BC=BD=AB,证明△ABC三△ABD(SSS),即可求证；

(3)连接OA,OB,根据BC=AB推出OB1AC,则NOBA+NBAC=90。，进而得出4OAB+/BAD=90。，即

可求证.

【详情解析】(1)解：如图：直线AD即为所求；

(2)证明：由作图可知，AC=AD,BC=BD=AB,

在△ABC和△ABD中，

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

0AABC三△ABD(SSS),

0ZBAC=ZBAD,

E1AB平分/CAD.

(3)证明：连接OA,OB,

由(2)可得：BC=AB,

El点B为AC中点，

EIOB平分AC,

EIOB1AC,

0ZOBA+ZBAC=90°,

0OA=OB,

0ZOBA=ZOAB,

0ZBAC=ZBAD,

0ZOAB+zBAD=90°,即OAJ.AD,

回直线AD为OO的切线.

【提优突破】本题主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握在同

圆中，半径都相等；全等三角形对应角相等；经过半径外端且垂直于半径的直线与圆相切.

6.（2023春•江苏南京•九年级校考阶段练习）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）.

（图I）（图2

（1）如图1,已知△4BC,作一个△ABD,使得=AD=BD.

（2）如图2,已知AABC和线段a,作一个△48E,使得Z71E8=NACB,AE+BEa.（写出必要文字说明）

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）如图所示，作△ABC的外接圆0,AB的垂直平分线与。。的交点为D,则AABD即为所求；

（2）作△ABC的外接圆0,AB的垂直平分线与O0的交点为D,以D为圆心，以AD为半径作圆，以B为圆

心，以a为半径画弧，交圆D于M,BM交O0于E,则△ABE即为所求.

【详情解析】（1）解：如图2所示：

图2

作△ABC的夕卜接圆0,AB的垂直平分线与。0的交点为D,连接AD,BD,则AD=BD,zADB=Z.ACB,则△ABD

即为所求三角形，（答案不唯一）；

①同理作^ABC的外接圆0,AB的垂直平分线与O0的交点为D；

②以D为圆心，以AD为半径作圆，以B为圆心，以a为半径画弧，交圆D于M；

③BM交00于E,贝必ABE即为所求；

理由是：•••NAEB=4ADB=2NAMB,

•・.zAEB=zAMB+zEAM,

・•.zAMB=ZEAM,

・•.AE=EM,

BM=a=AE+BE.

【提优突破】本题考查复杂作图，主要考查了圆周角定理，尺规作垂线，以及中垂线的性质，等腰三角形

的判定和性质.熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

7.（2022秋•江苏无锡•九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1,已知。0,请你用圆规和无刻度的直尺

作一个以。为圆心，面积是原。。的两倍的圆；

②均分问题：如图2,己知。0,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以。为圆心，面积是原O。的一半的

圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）

（2）若。。的半径为5,则上述所作圆的周长分别是

ffll图2

【答案】（1）①见解析；②见解析（2）10V2TT,5V2Tt

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可.

【详情解析】解：（1）①作直径AB,过。作AB的垂线交圆与D,连接BD,以。为圆心，BD为半径画圆,

如图

②如图，以0C为半径作圆（或以0B为斜边作等腰直角三角形OCB）.

（2）­••O0的半径为5,

;原来圆的面积为25m

•••倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为r,

nr2=50it,得r=5A/2,

二所作倍圆的圆周长为2irr=10V2TT,

,•,均分问题中，所作圆面积为原来圆的1倍，设所作圆半径为rI，

225z5V2

=—it,得B,

.•.所作均分圆的圆周长为2互1\=5V2-rt.

【提优突破】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

8.（2023秋•江苏扬州•九年级统考期末）同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，

接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：

（1）如图，已知A/IBC,在AABC内求作一点D,使乙4DC=2N4BC.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是：；

（2）已知△48C中，NC=90。，请在线段AB上找一点。，使得△28CCBD.（尺规作图，保留作图痕迹,

不写作法）

A

在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是：.

【答案】⑴作图见详情解析；圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半

⑵作图见详情解析；直径所对的圆周角是直角

【分析】（1）分别以点A,B,C为圆心，以大于（AB,［BC为半径画弧，分别交于点G,F,E,H,连接GF,EH交于

点D,连接AD,CD,即可求解；

（2）以BC为直径作圆，分别以点B,C为圆心，以大于］BC为半径画弧，分别交于点P,Q,连接PQ交BC于点F,

以点F为圆心，以BF为半径作圆，交AC于点D,连接CD,即可求解.

【详情解析】（工）解：如图所示，

分别以点A,B为圆心，以大于：AB为半径画弧，交于点GF,连接GF；分别以点B,C为圆心，以大于：BC为半

径画弧，交于点E,H,连接EH,则GF与EH交于点D,连接AD,CD,根据三角形三边垂直平分线的交点是三角

形的外接圆的圆心，由圆周角定理可知，ZADC=2ZABC,

团点D为所求点的位置，

团运用的圆的相关知识是：圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半，

故答案为：作图见详情解析，圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半.

（2）解：如图所示，

以BC为直径作圆，分别以点B,C为圆心，以大于］BC为半径画弧，分别交于点P,Q,连接PQ交BC于点F,以

点F为圆心，以BF为半径作圆，交AC于点D,连接CD,

EIBC是OF的直径，

0ZBDC=90°,NC是公共角，

0AABCCBD,

回运用的圆的相关知识是：直径所对的圆周角是直角，

故答案为：作图见详情解析，直径所对的圆周角是直角.

【提优突破】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同圆中，圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角是

直角是解题的关键.

9.（2023春•江苏•九年级专题练习）作图：如图，已知点4、B和直线（保留作图痕迹，不写作法）

.BB

I/

（ffil）（图2）

⑴在图（1）中，利用尺规在直线I上作出点P,使得乙4PB=90。；

⑵在图（2）中，利用尺规在直线/上作出点Q,使得乙4QB=60。.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）作AB的垂直平分线，以AB的中点为圆心,AB为直径，作圆，交1于点P,连接PA,PB,则4APB=90°；

（2）分别以A,B为圆心，AB为半径作圆，两圆交于点C,连接CA,CB,则AABC是等边三角形，分别作AB,BC

的垂直平分线，找到△ABC的外心，作△ABC的外接圆，交1于点Q,连接QA,QB,贝UNAQB=60。.

【详情解析】（1）如图所示，点P即为所求；

（图I）

（2）如图所示，点Q即为所求.

B

【提优突破】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角线段，作线段的垂直平分线，作圆，

掌握以上知识是解题的关键.

10.（2022秋・江苏苏州•九年级校考期中）己知四边形ABC。，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作

图痕迹，不写作法）如图，连接BD.在BC边上作出一个点使得N2MD=N4BD.

【答案】见解析

【分析】作AABD的外接圆交BC于M,则根据圆周角定理得到NAMD=NABD.

【详情解析】解：点M为所作.

【提优突破】本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，解题关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图

形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

11.（2023秋•江苏•九年级专题练习）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应

字母.

（1）已知AABC,作OP,使圆心P至！JAB、AC边的距离相等，且OP经过A、B两点.

（2）如图，四边形ABCD是直角梯形，作。0,使。。与AB、BC、CD边都相切.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN,再作NBAC的角平分线AE交MN于P,再以P为圆心，以PA为半径

作圆即可；

（2）分别作NABC、NBCD的角平分线，二者交于P,过点P作PE1BC于E,以P为圆心，以PE为半径画圆

即可.

【详情解析】（1）解：如图所示，即为所求；

【提优突破】本题主要考查了尺规作图一作角平分线，作线段垂直平分线，作圆，熟知相关作图方法是解题

的关键.

12.（2022秋•江苏南京•九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）用无刻度直尺和圆规作图（保留作

图痕迹，并简述作图过程)

图1图2

(1)如图1,点P在直线矽卜，作。。经过P且与直线/相切.

(2)如图2,点P在直线矽卜，作o。，使。。经过P且半径为r,且与直线Z相切.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)根据题意：，①在直线I上任意找一点N,以N为圆心，任意长为半径画弧交直线I于点C、D

两点；②作线段CD的垂直平分线NE；③连接PN,作线段PN的垂直平分线与直线NE交于点0,即为圆心;

④连接0N,即为半径，以。为圆心，ON为半径作圆即为所求；

(2)①在直线I上任意取两点A、B,然后分别以A、B为圆心，r长为半径画弧，交直线I分别为E、F、C、

D点；②分别作线段EF、线段CD的垂直平分线交圆于点G、点H,(均在直线I上方)；③作直线GH；④以

点P为圆心，r长为半径画弧交直线GH于点0,即为圆心；⑤以0为圆心，।•长为半径作圆即为所求.

【详情解析】Q)解：如图所示，①在直线I上任意找一点N,以N为圆心，任意长为半径画弧交直线I

于点C、D两点；

②作线段CD的垂直平分线NE；

③连接PN,作线段PN的垂直平分线与直线NE交于点0,即为圆心；

④连接ON,即为半径，以。为圆心，ON为半径作圆即为所求；

I

举

(2)如图所示：①在直线I上任意取两点A、B,然后分别以A、B为圆心，r长为半径画弧，交直线I分别

为E、F、C、D点；

②分别作线段EF、线段CD的垂直平分线交圆于点G、点H,(均在直线I上方)；

③作直线GH；

④以点P为圆心，r长为半径画弧交直线GH于点0,即为圆心；

⑤以。为圆心，r长为半径作圆即为所求.

【提优突破】题目主要考查作图，垂直平分线及符合题意的圆，理解题意，熟练掌握垂直平分线的性质及

圆的基本性质是解题关键.

13.（2023•江苏无锡•模拟预测）如图，点4、点8是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成

下列作图.（不写作法，保留作图痕迹）

⑴在图1中，在直线MN上取点P使得乙4PM=4BPN；

B

MN

（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得N4QM=N4QB.

B

MN

【答案】⑴作图见解析

⑵作图见解析

【分析】（1）如图1,过点B作BO1MN于点0,延长B0,用尺规作B0=B，0,连接AB，交MN于点P,根据

线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质可证；

（2）如图2,以点A为圆心，以AB长为半径画圆，交直线MN于点口，过A作BB，的垂线交MN于点Q,根据垂

径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证;如图3,以点A为圆心，以AB长为半径画圆，交直线MN于点B”,

过A作BB”的垂线交MN于点Q,根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证.

【详情解析】（1）如图1,过点B作BO1MN于点0,延长B0,用尺规作B0=B，0,连接AB，交MN于点P,

A

B

豺；N

B'

图1

由图可知，NAPM=NB'PN,

0BO1MN,BO=B'O,

0PB=PB',

0ZBPN=NB'PN,

0ZAPM=ZBPN.

故点P即为所求.

(2)如图2,以点A为圆心，以AB长为半径画圆，交直线MN于点B',过A作BB，的垂线交MN于点Q,

团AQ1BB',点A为圆心，

E1AQ垂直平分BB，，

0BQ=B'Q,

团乙AQM=ZAQB.

如图3,以点A为圆心，以AB长为半径画圆，交直线MN于点B",过A作BB”的垂线交MN于点Q,

图3

EIAQ1BB”,点A为圆心，

EIAQ垂直平分BB",

fflBQ=B〃Q,

0ZAQM=ZAQB.

回点Q即为所求.

【提优突破】本题考查了作图一复杂作图，熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线和等腰

三角形的三线合一的性质是解本题的关键.

14.（2022秋,江苏•九年级期中）如图，在RtAABC中NC=90°,乙4<45°.

⑴请作出经过A、8两点的圆，且该圆的圆心。落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不