2024届湖北省省实验学校、武汉一中等六校高三第二次联考数学试卷含解析

2024届湖北省省实验学校、武汉一中等六校高三第二次联考数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知平面向量满足|a|=|b|,且（、历a-6）J_6,则a,6所夹的锐角为（）

7171

A.B.—D.0

64

2.设一个正三棱柱ABC-每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬

到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为几，则片。

为()

1

A.B.

314

D-rQ}4

3.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

图表图表

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

4.如图，四边形ABC。为平行四边形，E为中点，产为CD的三等分点（靠近。）若A/=xAC+yOE,则y一x

的值为（）

4EB

121

A.——B.——C.——D.-1

233

5.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与

单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗

内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为“个，已知圆环半径为1,则比值P的近似值为（）

6.已知在AA5C中，角A氏C的对边分别为"c,若函数/（x）=一呢卜存在极值，则

角B的取值范围是（）

2%+l,x<0__

7.已知函数/■（%）=｝[11乂x〉0，则方程/"（]）]=3的实数根的个数是（）

A.6B.3C.4D.5

8.已知函数〃x）=-+3x+3,g（x）=-x+m+2,若对任意玉总存在无2c[1,3],使得/（不）=g5）

X+1

成立，则实数冽的取值范围为（）

-171（171

A.—,9B.卜5U[9,+oo）

「1791（171「9）

[42jI4」[2J

9.已知等差数列｛a“｝的公差不为零，且一，一，一构成新的等差数列，为｛4｝的前“项和，若存在“使得"=0,

^3^^4

则”=()

A.10B.11C.12D.13

10.如图，在直角梯形A5CD中,45〃。。,4。，。。,4。=。。=245,£为4。的中点，若CA=+£H),

则幺+"的值为()

8

C.2D.

3

11.若%+q（2%—1）+〃2（2%一1）2+%（24一1）3+。4（2%一1）4+%（2%一1）5=,则〃2的值为（）

2555

A.B.D.

481632

12.如图所示，正方体ABCD-Ai&Gd的棱长为1,线段明功上有两个动点E、F且EF=41,则下列结论中错误

2

的是()

A.AC±BEB.EF〃平面A3CZ>

C.三棱锥A-5E尸的体积为定值D.异面直线AE1尸所成的角为定值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃x)=Acos2(ox+9)+l(A>0,o〉0,0<o<f的最大值为3,“力的图象与y轴的交点坐标为

(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则/(1)+/⑵+…+”2015)=

14.若四棱锥尸-ABCD的侧面PAB内有一动点Q,已知Q到底面A5C。的距离与Q到点P的距离之比为正常数k,

且动点。的轨迹是抛物线，则当二面角P-AB-。平面角的大小为30。时，左的值为.

15.已知同=忖=2,(a+2bj(a—人)=一2,则a与人的夹角为.

16.函数/'(x)=^匚的极大值为.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数/(%)=5—卜+。|—卜―2|.

(1)当。=1时，求不等式/'(x)»0的解集；

(2)若/(x)<l恒成立，求。的取值范围.

18.(12分)如图，在四棱锥尸—A5CD中，底面ABC。为菱形，底面ABC。，ABAD=60)AB=4.

P

(1)求证：班)，平面PAC；

(2)若直线PC与平面ABC。所成的角为30°，求平面R43与平面PC。所成锐二面角的余弦值.

19.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A5C。,后五所高校中

任选2所.

(1)求甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率；

(2)若已知甲同学特别喜欢4高校，他必选A校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没

有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所.

(0求甲同学选。高校且乙、丙都未选D高校的概率；

。力记X为甲、乙、丙三名同学中选。高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

20.(12分)已知数列｛4｝,其前〃项和为S〃，若对于任意加，“eN*,且"件〃，都有+%+%]“".

m+nm-n

(1)求证：数列｛4｝是等差数列

⑵若数列｛%｝满足c,=a,+i/+2—d("eN*),且等差数列｛为｝的公差为g,存在正整数P，q,使得4+%,求

同的最小值.

21.(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方

能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们

出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层

抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联

表：

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？

（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

n{ad-bc)

(〃+/?)(c+d)(a+c)(/?+d)

2

P[K>k]0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

22.（10分）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，2s“+a“=l（〃wN*）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

11f.1

（2）若9,=^——+---------，（为数列｛c“｝的前”项和.求证：Tn>2n—.

1+4-an+l3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】

根据题意可得（缶-为小=0,利用向量的数量积即可求解夹角.

【详解】

因为（缶―方），6n（缶—6）1=0

即42a-b=\b^

,/.\a-ba-bv2

而cos(〃,0)=----------=——-=——

''\a\-\b\lb，2

1T

所以。力夹角为一

4

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.

2、D

【解析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为？.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率

91

为］②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-5十如果爬上来，其概率是弓（1-匕_1），两种事件

21

又是互斥的，可得P„=~^+-（1-P『i）,根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为月.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为§匕_1（〃之2）；

②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1—用1,22）.如果爬上来，其概率是g（1-a-）,522）,

两种事件又是互斥的,...匕=：匕T+；（1-匕_J,即与=；%+；，J

数列［匕-g1是以;为公比的等比数列，而《="|1

所以H——,

2

1<1V01

当”10时，+5,

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.

3、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

4、D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出.

【详解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

--11

又Ab=xAC+yDE=x(AB+A。)+y(]AB—AD)=(x+ay)AB+(x—y)AD

.f5

fy1x=—

23解得“，所以y—x=—l

,4

x-y=\y=——

1I9

故选：D

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

5、B

【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P.

【详解】

设会旗中五环所占面积为S,

由于2n衣|、1060〃

—»所以S=-^

60NN

八SI2n

故可得尸二丁=--

5〃7rN

故选：B.

【点睛】

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.

6、C

【解析】

求出导函数/(%),由/'(%)=。有不等的两实根，即/>0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

f(%)——+—bx^+](a?+0?—ctc^x9..+bx++c?—CIC

若,⑴存在极值，则"4《("+人涮>。，%+/一日斯

又COS3="+C2-”,，853<4.又

lac23

故选：C.

【点睛】

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

7、D

【解析】

2x+l,x<0

画出函数1(%)=«|lnx|x〉0，将方程/[/(切=3看作f=/(x)"(f)=3交点个数，运用图象判断根的个数.

【详解】

2x+1,x<0

画出函数/(X)=<

|lnx|,x>0

令仁/(。；.〃。=3有两解%«0,1)/2«1,+8)，则彳=/(%)"(%)=/2分别有3个，2个解，故方程

/[/(x)]=3的实数根的个数是3+2=5个

故选:D

y

i1

3■

【点睛】

本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题.

8、C

【解析】

将函数/(九)解析式化简，并求得了'(无)，根据当司e［1,3］时/(％)〉0可得/(石)的值域；由函数g(%)=r+加+2

在马£［L3］上单调递减可得g(%)的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得加的取值范围.

【详解】

x2+3x+3x?+犬+2(%+1)+1

依题意/(%)=

X+1X+1

1c

=x-\-------F2,

X+1

1_

贝U'(x)=1-(

X+l)2'

当xe［l,3］时,(尤)>0,故函数/(%)在［1,3］上单调递增,

7-

21一

当国e[l,3]时，/(%[)€2-4

_

而函数g(x)=-x+m+2在［1,3］上单调递减,

721

则只需25T

故乙，解得

「2142

777+1>—

[4

「1791

故实数机的取值范围为—.

L42J

故选：C.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

9、D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得％=-6d,再利用等差数列的前“项和公式即可求解.

【详解】

111

由一，一，一构成等差数列可得

d/3^^4

___L

^^4^^3

a—aa—a—2d_—d

即--x----3----3----4n-----——=>/―

又g=q+3d=>a1=2(。]+3d)

解得：q=-6d

77%H

又S〃=Q[2%+{n-V)d]=-(-12d+(n-l)J)=-J(n-13)

所以S“=0时，n=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前几项和公式，需熟记公式，属于基础题.

10、B

【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示C4,CE,D3,利用C4=XCE+〃D5(%〃eR),列出方程组求解即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，则0(0,0).

不妨设43=1,则。=4。=2,所以C(2,0),4(0,2),B(l,2),E(0,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

CA=ACE+piDB

/.(-2,2)=，-2,1)+〃(L2),

o6

A=—

—24+〃=—2CQ

产解得;则”=j.

4+2〃=2

故选：B

【点睛】

本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.

11、C

【解析】

根据“5=([(2x—D+1F，再根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

因为V=\[(2x-1)+1『，所以二项式[(2x-1)+1F的展开式的通项公式为：

5rr5r

Tr+1=C；-(2x-l)--l=C；-(2x-l)-,令r=3,所以7；=C1(2x—1)2,因此有

-32532532216

故选:C

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力

12、D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC，3D,AC，。。1,BD=D,所以AC,平面，

又因为3Eu平面8。2与，所以AC，BE,故正确；

B.因为R4//DB,所以EF//DB,且跖仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以EE//平面ABCD,故正确；

C.因为5小尸=；'石尸*8与=¥为定值，A到平面瓦的距离为/z=gAC=q,

所以匕一防-二:小^^/二^为定值，故正确;

312

D.当ACBR=E,ACoBD=G,取尸为耳，如下图所示:

因为BF//EG,所以异面直线AE,5尸所成角为/AEG,

A/2

2_3，

且/A厂厂AG

tanNAEG--

GE

当AG「g2=F,AC^BD^G,取E为2,如下图所示:

因为D[F//GB,D[F=GB,所以四边形是平行四边形，所以BF//D。,

..AG

所以异面直线AE,5尸所成角为/AEG,且tan/A2G=诟

由此可知：异面直线AE,§尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4030

A+l=3

AAAA

2

【解析】/(x)=Acos(^+^)+1=—cos(2dm:+2^?)+—+1,由题意，得</(0)=-cos2^+-+l=0,

T兀、

、22。

A=2

解得夕=生TT，则/(乃=叱(|%+9+2=2—5呜.工的周期为4,且/(0)=2"⑴=1"⑵=2,/(3)=3,所

4

4

&>=——

、乃

以/(1)+/(2)+/⑶+…+/(2015)=503x8+/(1)+/(2)+/(3)=4030.

考点：三角函数的图像与性质.

1

14、-

2

【解析】

二面角AB-C平面角为。，点。到底面ABC。的距离为点。到定直线AB得距离为d,则4=幽.

sin。

再由点0到底面ABC。的距离与到点P的距离之比为正常数左，可得上。|=幽，由此可得sin6=左，则由

k

cos。=cos30°=可求k值.

2

【详解】

解：如图,

设二面角。-AB-C平面角为。，点。到底面ABC。的距离为|Q8|,

点。到定直线A3的距离为d,贝!!|QM=dsin，，即汗=幽.

sin。

丁点。到底面A5C。的距离与到点P的距离之比为正常数k9

•喘=3叫4粤

•.•动点。的轨迹是抛物线，

：.\PQ\=d,即幽=幽则5由夕=左.

ksin。

...二面角尸-AB-C的平面角的余弦值为cos。=J1一sin?夕=一k?-cos30°=

故答案为：工.

2

【点睛】

本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.

15、60°

【解析】

根据已知条件3+2/?）•（〃一/?）=一2,去括号得：同2+〃.。一2仰=4+2x2xcos0—2x4=-2,

=>cos。=工,。=60°

2

【解析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数/(X)的极大值.

【详解】

lv]X—1

函数/(%)=------，%£(。,+8),

X

“、1-(Inx-1)2-live

=----------—=——，

XX

令/。)=0得，X=e2,

二当xe(0,e2)时，f'(x)>Q,函数/(》)单调递增；当xe(e2,+oo)时，f'(x)<0,函数/'(x)单调递减，

,当x=e2时，函数/(x)取到极大值，极大值为/(e2)=丝匚=3.

ee

故答案为：—.

e

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域

优先法则的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)[-2,3]；(2)(-co,—6]D[2,+OO).

【解析】

分析：(1)先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先化简不等式为

|x+«|+|x-2|>4,再根据绝对值三角不等式得Ix+aI+1x-21最小值，最后解不等式|a+24得a的取值范围.

详解：(1)当4=1时，

2x+4,x<-1,

/(%)=2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得的解集为{x|-2Kx<3}.

(2)等价于|x+a|+|x—2|N4.

而|x+a|+k—2以a+2|,且当x=2时等号成立.故/(x)Wl等价于|a+2,4.

由|a+2|24可得aW—6或aN2,所以。的取值范围是(TO,-6]U[2,+OO).

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是

运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函

数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.

18、(1)证明见解析(2)马自

7

【解析】

(1)由底面ABC。为菱形，得BDLAC,再由底面ABC。，可得应)，结合线面垂直的判定可得应)，

平面P4C；

(2)以点A为坐标原点，以所在直线及过点A且垂直于平面R4D的直线分别为羽z,y轴建立空间直角坐标

系A-孙z,分别求出平面R43与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面R43与平面PCD所

成锐二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：底面ABC。为菱形，.AC,

%，底面ABC。，班)匚平面48。。，..八4,5£>

又ACcPA=A,AC,PAu平面PAC,

..班)，平面PAC；

(2)解：AB=AD,NBA。=60°，.•“即为等边三角形，

AC=AD-sin60°-2=4x—x2=45/3.

2

R4，底面ABCD,:.ZPCA是直线PC与平面ABC。所成的角为30°，

PAPAC

在Rt^PAC中，由tanNPCA:——=1^=匚，解得B4=4.

AC4A/33

如图，以点4为坐标原点，以所在直线及过点A且垂直于平面B4D的直线分别为x,z,y轴

建立空间直角坐标系A-孙z.

则尸(0,0,4),A(0,0,0),3(2,2百,0),。(4,0,0),C(6,273,0).

.-.PA=(0,0,-4),PB=(2,273,-4),PD=(4,0,-4),PC=(6,2百4).

设平面PAB与平面PCD的一个法向量分别为m=(x,y,z),〃=(内,乂,4).

m-PA=-4z=0「

由,r，取y=-i,得根=；

mPB-2x+2V3y-4z=0

n•PC=6%,+26y[-4Z]=0._rr

由,A'n，取M=-l,得，Z=（G,—1,石）.

n•PD-4王一44=0

m-n277

/.cos<m,n>------------------二——

\m\-\n\7

平面八旬与平面PC。所成锐二面角的余弦值为名夕.

7

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.

QQQI

19、(1)——(2)(0—(»)分布列见解析，E(X)=—

12510020

【解析】

(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；

(2)(i)分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；

(ii)X=0,l,2,3,利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.

【详解】

(1)甲从五所高校中任选2所，共有45,47,4£),隹,8。,8£),

BE,CD,CE,DE共10种情况，

甲、乙、丙同学都选。高校，共有A。，BD,CD,四种情况,

42

甲同学选D高校的概率为—

2

因此乙、丙两同学选。高校的概率为二，

因为每位同学彼此独立,

2

所以甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率为I=白

1Ao

(2)(/)甲同学必选A校且选。高校的概率为乙未选°高校的概率为证=?

丙未选。高校的概率为'=|,因为每位同学彼此独立,

1339

所以甲同学选。高校且乙、丙都未选。高校的概率为一x—义一=——

455100

5)X=0,1,2,3,

„…小33327…，、133323c9

因m此P(X=0)=—x—x—=---,P(X—1)=­x—x—I—x—x—x2——,

45510045545520

P(X=2)」X2X3+\，2+，2」=9

45545545525

…c、1221

P(X=3)=—x—x—=—

45525

即X的分布列为

X0123

27961

P

100202525

因此数学期望为

…、c27,9c6cl21

E(X)=0x---F1x---F2x---F3x—=—.

10020252520

【点睛】

本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的

能力，属于中档题.

20、(1)证明见解析；(2)—.

18

【解析】

(1)用数学归纳法证明即可；

(2)根据条件可得g==q,+32然后将4+品用4,P,q表示出来，根据18al=3(3加一。—4+1)+1是一个整数,

可得结果.

【详解】

解：(1)令相=2,n—\,则—-=2a1,

3

即卬+%+〃3=〃2,

3

，q+%=2a2，.•.%,%，%成等差数列，

下面用数学归纳法证明数列｛。“｝是等差数列，

假设心,出，，如成等差数列，其中％23,公差为d,

25

令m=k,n—