2024届寒假高中高考数学模拟练习试题3（含答案）

2024届高三年级寒假数学科模拟训练3

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求.

1.设集合0={-2，-1，°，1，2},A={-1,2},B={-l,0,l}；则@皿=:)

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,2}D.{2}

复数普”

2.)A.iB.-iC.-V2iD.V2z

3.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.

如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径A5=8cm,圆柱体部分的高

BC=5cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm?）是

（）

A.60"B.76"C.92%D.96兀

4.设xeR,则“2*<3”是"/+x—2>0”（）

4

A,充分而不必要条件B,必要而不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知等比数列｛〃/的前〃项和为S〃，公比为2,且％,%+3,%成等差数列，则S5=（）

A.62B.93C.96D.64

已知]£（0,兀），若sin]]一看=是,则sin[2a+^J=(

6.)

1211

A.B.一C.一D.±-

-3333

7.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明

选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、

0.3、05并且小明步行上班不迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘

坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是（）A.0.24

B.0.14C.0.067D.0.077

8,若函数/（x）=2sin[0x—,xe的值域为[一百,2],则0的取值范

围是（）

51055510

A.4B.c.D.

?6'36313"

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是（）

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

B.若随机变量X服从正态分布X（3,4）,且。（X<4）=0.7,则尸（3<X<4）=02

c.若线性相关系数N越接近1,则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系得变量乂y，其线性回归方程为，=0.3尤-加，若样本点的中心为

（机2.8）,则实数m的值是-4

10.函数"x）=sin（ox+0）的部分图象如图所示，则下列结论

正确的是（）

A.函数“X）最小正周期为丁=兀B.（p=y

6

D.方程〃x）=g在区间［0,2可内有

C.”X）在区间上单调递减

3个根

11.已知等差数列｛q,｝的首项为4,公差为d,前几项和为s“，若S10<Ss<S9,则下

列说法正确的是（）

A.%〉0〉dB.使得>0成立的最大自然数

71=18

sSio

c.%+⑷<%+涮D.U中最小项为

Qi。

12.如图，正方体4与G2的棱长为2,点E是441的中点，点尸是侧面ABqA

内一动点，则下列结论正确的为（）

A.当下在45上时，三棱锥尸-c。石的体积为定值

AB

B.CE与正所成角正弦的最小值为：2

C.过2作垂直于CE的平面a截正方体ABC。-A4G，所得截面图形的周长为6虚

D.当时，△BCE面积的最小值为芈

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

I"1I"

13.已知向量a=（x,2）,匕=（3,4）,若（a+b）_Lb,贝！!1=.

（

14,二项式2x-1^y展开式的常数项为.

15.近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为

时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山、九华山、庐山三个景点旅游.已知7名同学

中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同

学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为.

16.已知数列｛q｝满足争去+L+枭=〃小Z），Z?„=2（a„-l）-«2+4«,若数列

也,｝为单调递增数列，则；I取值范围为.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18〜22题12分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在中，AB,C所对的边分别为。，仇c,且b+2acos8=2c,

（1）求2A；（2）若a=5一ABC的面积为"，求的周长.

2

18.已知等差数列｛4｝的前九项和5,，且。2=5,^3=%.(1)数列｛4｝的通项公式;

(2)若〃=2%,求数列｛an+bn｝前〃项和.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD为直角梯形，AD//BC,侧

面底面ABC。，PA=PB=AD=2,BC=4.

(1)若尸3的中点为E,求证：AE//平面PC。；

(2)若AB=2，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值.

_r2v21

20.如图，在平面直角坐标系X。》中，椭圆^+"=1（。＞。＞0）的离心率为I,过椭

圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB的斜率为0时,

|A5|=4.

48

⑴求椭圆的方程；（2）若|A3|十|CD尸万，求直线A3的方程.

21.在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法

的效果，在A,8两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试.已知A校采用大单元复

习教学法，B校采用传统的复习教学法.在经历两个月的实践后举行了考试，现从A,B两

校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分

数段对应的人数如下表所示：

[0,90)[90,110)[110,130)[130,150]

A校6145030

B校14263822

（1）若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不

优秀，完成2x2列联表，并根据小概率值1=0.01的独立性检验，分析复习教学法与评定

结果是否有关;

数学成绩不优秀数学成绩优秀总计

A校

8校

总计

（2）在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在［0,90）和［90,110）内的学生中

随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在［0,90）内的

人数为X,求X的分布列与数学期望.

n(ad-bc\

附：z2=/、，其中〃=Q+b+c+d

a0.100010.001

%2.7066.63510.828

22.（本小题12分）若/（x）=+bx+2alnx.

（1）当。＞0,〃=一。一2时，讨论函数/（尤）的单调性;

⑵若且/(九)有两个极值点看,证明：/(^)+

5=-2,x2,/(X2)>-3.

2024届高三年级寒假数学科模拟训练3数学答案

本试卷共4页，共22题，考试时间120分钟，满分150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求.

1设集合0={-2,-1,0,1,2},A={-1,2}；B={-l,0,l}；则=

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的运算，即可得到结果.

【详解】={—2,2},(e5)uA={-2-1,2),

故选：B

复数z=曾等于(

2.)

A.iB.-iC.-V2iD."

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘除运算可得解.

「圣解】z.l+©_(l+")(3+i)_3i_i

【详”正丁百百二

故选：A.

3.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示

是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径A3=8cm,圆柱体部分的高5。=5cm,圆锥

体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积(单位：cn?)是()

B

Y......-D

A.60〃B.76〃c.927rD.96不

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底

面面积，进而可求出陀螺的表面积.

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为/=存百=5，

所以圆锥体的侧面积为空4=20兀，

2

圆柱体的侧面积为8兀X5=40兀，圆柱的底面面积为兀x4?=16兀，

所以此陀螺的表面积为4(比+2071+16兀=7毓(cm2),

故选：B

4.设xeR,则4”是“必+工―2>。”的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，分别求得不等式的解集，结合充分条件、必

要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由2工<工，可得2,<2<，解得尤<一2,即集合A={x|x<—2}

4

又由不等式f+%—2>0,可得(x+2)(x—1)>。，解得5={x|x<—2或x〉l},

因为集合AB,所以2>0的充分不必要条件.

4

故选：A.

5.已知等比数列｛q,｝的前几项和为s“，公比为2,且%，%+3,。4成等差数歹!），则$5=（）

A.62B.93C.96D.64

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定条件求出。2,进而求出对，再利用等比数列前几项和公式计算即得.

【详解】等比数列｛4｝的公比为2,由4，。3+3,%成等差数列，得。2+。4=2（%+3）,

即。2+4%=4。2+6,解得%=6,q=3,所以S5=3：_j)=93.

故选：B

6.已知ae(O,n),若sin[o—t_V3则sin[2tz+；)=(

)

—3'

1,21

A.——B.一c.一D

3334

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.

【详解】因为sin

兀C兀71

所以sin12。+2=sin—+2(7—=cosla--=1-2sin?a=1-

23I36rr

故选：C

7.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明

选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、

0.3、05并且小明步行上班不迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘

坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是（）

A.0.24B.0.14C.0.067D.0.077

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率

加法公式，准确计算，即可求解.

【详解】记小明步行上班为事件A,骑共享单车上班为事件8,乘坐地铁上班为事件C,

小明上班迟到为事件〃，

则尸(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,

P(4|A)=1-P(H|A)=0.09,P(H|B)=1-P(H\B)=0.08,P(H|C)=1-P(H\C)=0.07

所以P(H)=P(AH)+P(BH)+P(CH)=P(A)•P(H|A)+P网•P(H|B)+P(C)•P(H|C)

=0.2x0.09+0.3x0.08+0.5x0.07=0.077,

所以某天上班他迟到的概率是0.077.

故选：D.

8.若函数/(x)=2sin1°x—xe的值域为卜百目，则口的取值范

围是()

「5」「510]

A.-,4B.—

[3」[63」

-55]「510'

C.—D.—,——

163」[33」

【答案】D

【解析】

兀[717t7C7C

【分析】利用0,-可得—--,-0)--,再由三角函数图像性质可得

_/」3323

TTTTTTTT

——0——<-+71,解不等式即可求得①的取值范围.

2233

TT71717171

【详解】根据题意可知若%£0,—,则可得公V———~；

显然当x=0时，可得2sin[°x—,

由了(%)的值域为[―g,2],利用三角函数图像性质可得—+兀,

解得*即。的取值范围是"当.

33133」

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是（）

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

B.若随机变量X服从正态分布X（3,O"2）,且。（X<4）=0.7,则尸（3<X<4）=02

C.若线性相关系数N越接近1，则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系得变量九,y,其线性回归方程为9=o.3x-m，若样本点的中心为

（/%2.8）,则实数机的值是T

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A,利用正态分布的性质即可判断选项B,根据

线性相关系数的性质即可判断选项C,利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.

【详解】因为10义60%=6,所以第60百分位数为比a=15,A错误；

2

若随机变量X服从正态分布X（3,/）,且。（X<4）=0.7,

则尸（X>4）=1-尸（X«4）=0.3,

则尸（3<X<4）=0.5—P（X>4）=02,B正确;

若线性相关系数N越接近1,

则两个变量的线性相关性越强，C正确；

对于D,样本点的中心为（元,歹）,

所以元=y=2.8,

而对于回归直线方程y=bx+a,

因为此时线性回归方程为y=0.3x-m,

所以石=0.3，2.8=0.3m-m,

所以加=—,D正确.

故选：BCD.

10.函数〃x)=sin(0x+e40>O，M|<g部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

71

A.函数“力最小正周期为7=兀B.（p=—

6

C.“X）在区间-11，-£上单调递减D.方程〃x）=；在区间［0,2句内有

3个根

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出。，再利用待定系数法求出夕,

再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.

I5兀JT）

【详解】由图可知函数/（%）最小正周期7=2=兀，故A正确;

2兀

一=兀，所以69=2,则/（X）=sin（2x+0）,

CD

9jrjrJr

所以---\-(p=—+2kn,所以/=----b2hi.kGZ,

326

又|。|<=，所以°=—g故B错误;

26

(

所以/(x)=sin2x-^L

,35兀兀兀/口c兀71兀713兀兀

由XG-----,-----，得2%-------G-兀,----U，-

12662-T2

所以"%）在区间专，4上单调递减，故C正确;

4/(x)=sinf2x-^U1,得2x—工=巴+2也或2x—N=&+2E,

26666

兀71

所以元=一+防1或1=一+为1,4£2,

62

又工£[0,2兀],所以元=四或△或3或包，

L」6262

所以方程〃x）=g在区间[0,2司内有4个根，故D错误.

故选：AC.

11.已知等差数列｛4｝首项为为,公差为d,前几项和为s“，若S10<Ss<S9,则下

列说法正确的是（）

A.ax>G>dB.使得S“>0成立的最大自然数

ra=18

sSIO

c.\a^+a)|<|GoD.j中最小项为

an]%o

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合题意：利用等差数列及SIO<A<S9,判断出q>0>4,并可以分析出

%+%o<0<%，再利用数列的相关知识即可判断.

一的=一%一8d<0

【详解】根据题意：《，即《，两式相加,

510-S9=a10<0Go=q+9d<0

a>0

解得：<八0,故A正确.

由Sio<S8，可得到。9+〃10<0<。9，所以。8+41<0,

+4]一(@+%)=4dV0,Q]0+%]+必+的<°，

所以|《+⑷<|%o+qj,故C正确；

由以上可得：％%>生>…>为>0>〃10>

17（。[+的）.18（a+a8）/、

S*=---------------=17。9>0，而S18=----------------=9（i9+%o）<O，

当〃V17时，Sn>0；当〃N18时，S〃<0；要使得S〃>0成立的最大自然数〃=17,

故B错误.

Ss

当〃<9,或〃N18时，一^>。；当9v〃vl8时，~^<。；

%an

io>41

由0>々>...>ai7,S10>>512>...>517>0,

s1s

所以4j中最小项为310,故D正确.

、anJ%。

故选：ACD.

12.如图，正方体ABCD-A4G2的棱长为2,点E是AA,的中点，点F是侧面ABB.A,

内一动点，则下列结论正确的为（）

A.当尸在上时，三棱锥R-CQE的体积为定值

2

B.CE与正所成角正弦的最小值为§

C.过。I作垂直于CE的平面C截正方体ABC。-A4GR所得截面图形的周长为60

D.当RFLCE时，△BCE面积的最小值为拽

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】证明出ABH平面CD.E,可知VF_CD[E二9一。*=匕一4平,可判断A选项；利

用线面角角的定义可判断B选项；分别取线段AB、AD的中点M、N,连接AC、AG、

BR、BD、MN、Dp、B[M,证明出CE_L平面42NM,并计算出四边形4QNM

的周长，可判断C选项；分析可知，当8尸，即/时，彼的长取最小值，可求出△BCE面

积的最小值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，连接C。、A.B,如下图所示:

在正方体ABC。—A4G。中，〃8c且4A=3C,

故四边形ABCR为平行四边形，所以，A.B//CD,,

因为平面CD|E,CD|U平面CRE,所以，〃平面CQE,

当户在48上时，点F到平面CDXE的距离等于点4到平面CRE的距离,

V=5,CD=XX2><1><2=,

所以,F-CDIE^-CD.E1MAE||1A对;

对于B选项，连接BE,

因为5Fu平面A&用3,所以，CE与月方所成的最小角为直线CE与平面M用5所成

的角,

因为平面A443,所以,CE与平面AAXB}B所成角为NBEC,

因为3Eu平面所以,BC±BE,

因为BE=正1正=贬了=加，BC=2,

所以，CE=^BC2+BE1=74+5=3-

所以，sinZBEC=—=-,故CE与跖所成角正弦的最小值为B对；

JCE33

对于C选项，分别取线段AB、AD的中点M、N,连接AC、AC、片。、

BD、MN、D\N、B]M,

DxG

AMB

因为四边形A4GR为正方形，则BQi1AC1,

又因为A4，平面A/iG，，BRu平面，则B[D11M,

因为AAc4G=A，AA[、AGu平面A41clc,所以，42,平面441GC，

因为CEu平面A&GC,则CEL42，

在RtAABE和RtBB[M中，AE=BM,AB=BBi,ZBAE=NB〔BM=90,

所以，RtAABE^RtA5B]Af,则NBM3i=NAEB,

所以，ZABE+NBMB[=ZABE+ZAEB=90,则ZBOM=90，即51M-LBE,

因为平面A4]与3,qMu平面A4]与3,则与河，3C,

因为3CBE=E,BC、BEu平面BCE,所以，与加，平面BCE,

因为CEu平面BCE,所以，CE±B.M,

因为M、N分别为AB、A。的中点，则MW/a),

因为BBJ/DR且BB]=DD「故四边形BBQQ为平行四边形，所以，BQJIBD,

所以，MNHBR,则N、M、⑸、，四点共面，

因为CE1BQ],CE1B[M,BXMnBR=片，B}M、BRu平面BRNM,

所以，CEJ_平面42NM,

过2作垂直于CE的平面a截正方体ABC。-agGR所得截面，则截面为梯形

BRNM,

222

由勾股定理可得BXM=^BB；+BM=A/2+1=J?，

同理可得〃N=A/LMNf，4。=2VL

所以，截面周长为4A+ACV+4M+RN=2后+&+石+6=3直+2岔，C错；

对于D选项，由C选项可知，CE_L平面用2NM,则点口的轨迹为线段与M,

因为6cl平面A445,5Fu平面444B,则W，

则S^CF=；BC.BF=BF,

当3月，与M时，即当点尸与点。重合时，破的长取最小值，

寸BMBB.BMBB.1x2275

此时，BF^=———=/,；=-r==,

nB]My/BM2+BB^Vl+45

所以，S^BCF=BF2管,D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直

观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法

进行求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知向量a=(x,2),b=(3,4),若(a+b)_L6,则％=.

【答案】—n

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得。+匕，进而根据向量垂直的坐标表示求

解即可.

【详解】因为a=(x,2),6=(3,4),所以:+1=(%+3,6),

；rr、r〃r、r

又因为+所以(a+40=O,

即3（x+3）+4x6=0,解得x=—H.

故答案为：—n.

14,二项式2x-十］展开式的常数项为.

【答案】60

【解析】

3

【分析】利用二项式定理计算，取6-二r=0,解得r=4,代入计算得到答案.

2

【详解】12x-十］展开式的通项为

Tr+l=葭•（2x）~=晨•2〜.（-1/-J卡,

取6—5厂=0,解得厂=4,常数项为C。26-4.（—1）4=60.

故答案为：60.

15.近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为

时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山、九华山、庐山三个景点旅游.已知7名同学

中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同

学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为.

【答案】150

【解析】

【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关

系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学

一个景点，分类相加即可.

【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点

和她俩和另外一位同学一个景点，

第一类：仅要好的两位女生去同一景点C；A；=60；

第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点C；C；C；=90,

总方法数为60+90=150.

故答案为：150.

已知数列｛%｝满足(■+生+2若数列

16.1+^=〃("eN*),bn=2(an-l)-ra+4n,

｛2｝为单调递增数列，则4的取值范围为

3

【答案】—,+GO

8

【解析】

【分析】由数列的递推公式可得4=2",〃eN*，优=2（2”—1）—r+4",再由数列的单

调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围.

【详解】有题意可知，〃=1时，q=2,

当时,

由色+M+L+—=n(neN*),

2222"v'

得争争+畀=〃-1("用),

两式相减得:|^="一(〃-1)=1,

所以q=2〃，当〃=1,也满足此式,

故=2〃，〃wN*，

则2=丸(4-l)-n2+4〃=几(2"—I)-"+4〃,

若数列｛2｝为单调递增数列，则〃+1＞久恒成立,

2n-3

即彳＞对〃eN*恒成立,

2"

2〃一32n—l2n—35—2n

设c“=W^，则G+1—c“2〃+i2〃2〃+i

当〃=1,2时，c3>c2>q,

当"23时，数列｛，｝为递减数列，即。3〉。4〉。5〉一，

3

可得C3为最大值，且。3=-，

8

3

则X〉工

8

故答案为:

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18〜22题12分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，A5c所对的边分别为a,4c,且6+=

（1）求NA；

（2）若。=百，ABC的面积为苴，求&A3C的周长.

2

TT

【答案】（1）-

3

⑵3+石

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；

（2）根据面积公式可得6c=2,利用余弦定理可得A+c=3,即可得结果.

小问1详解】

因为b+2acosB=2c,由正弦定理可得sin5+2sinAcosB=2sinC,

又因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

即sinB+2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB,则sinB=2cosAsinB,

且5£（0,兀），则sin5w0,可得cosA=；,

因为4«0,兀），所以NA=g.

【小问2详解】

因为一ABC的面积为^bcsinA，bcx^=叵,可得6c=2,

2222

由余弦定理可得02+/—2Z?ccosA=/,即/+c?—/7c=3,

整理得(h+c)2=3仇:+3=9,可得〃+c=3,

所以的周长为a+6+c=3+8.

18.已知等差数列｛4｝的前〃项和S,,且。2=5,53=%.

（1）数列｛4｝的通项公式；

（2）若々=2%,求数列｛%+4｝前"项和.

【答案】（1）4=2〃+1

（2）n+2〃H---------

3

【解析】

2n+1

【分析】（1）根据等差数列的概念得到数列的通项公式;（2）由第一问得到么=2,a,+bn

是一个等差和一个等比，分组求和即可.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的首项为为,公差为d

a.+d=5

'SA），解得％=3,d=2

3tzi+3d=6+6d

由aa=q+（〃_l）d,则a“=2〃+l

因此，通项公式为a”=2〃+1.

【小问2详解】

由⑴可知：a.=2〃+l,则勿=22"+I

卜?2（〃+1）+1

31±1_=______=4

bn22向

因为4=23=8,所以也｝是首项为8,公比为q=4的等比数列.

记｛«„+bn］的前n项和为T,,

则式=（《+〃）+（%+4）+…+（4+2）

=（4+4+■•,+«„）+（/?!+b2+…+2）

“（4+4）2

--------------------1--------------------n+2n+

2i-q3

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD为直角梯形，AD//BC,AB1BC,侧

面底面ABC。，PA=PB=AD=2,BC=4.

P

（1）若PB的中点为E,求证：AE//平面PC。；

（2）若AB=2，求平面PCD与平面尸的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵叵

35

【解析】

【分析】（1）取尸C的中点E连接EF,DF,由已知易证四边形AOFE是平行四边形，即

DF//AE,再由线面平行的判定证结论；

（2）设。是中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.

【小问1详解】

如图，取尸C的中点R连接所,。尸，

•:E、1分别为尸民尸。的中点,

AEF//BC,EF=-BC=2

2

43//3C且AD」BC=2,

2

:.EFIIAD且EF=AD,故四边形ADFE是平行四边形,

/.DF//AE,AE<2平面PCD,D尸u平面PC。，

AE//平面PCD

【小问2详解】

设。是4B中点，作Oy/ABC,由底面A3CD为直角梯形且AD/ABC,得0y_LA8,

因为/，4=。8,所以P0LA3,

由面245_1面450面Q48c面ABCD=A5,POu面RLB,故尸01面ABCD，

以。为原点，O50y,OP所在直线分别为苍yz轴建空间直角坐标系，如下图所示：

.•.4（-1,0,0）、3（1,0,0）、C（l,4,0）,a-1,2,0）、P（0,0,73）

则30=卜1,0,百），PD=（-1,2,-73）,DC=（2,2,0）,

n-BP=-x+J§z=0_

设面尸3。的法向量〃=(尤,y,z),则<L，取X=得

n-PD=-x+2y-=0

m-DC=2〃+2b=0

设面尸C£)的法向量机=(a,0,c),贝卜l，取a=1,得

m•PD=—a+2b—J3c=0

m-n\^/105

设平面PCD与平面的夹角为凡贝Ijcos。

iwiriV7x君—35'

平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为更叵.

35

72

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆”+%l(a>b>0)的离心率为看过椭

圆右焦点R作两条互相垂直的弦A3与CD当直线A3的斜率为0时，|A5|=4.

(1)求椭圆的方程；

48

(2)若-5|+|。|=7，求直线的方程.

「1

解(1)由题意知e=/=1,2a=4.

又/=廿+°2,解得。=2,b=小,

22

所以椭圆方程为1+全=1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存

在，由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线A3的方程为y=Kx-l),

A(xi,yi),3(x2,yi),

则直线CD的方程为j=-1(x-l).

将直线A3的方程代入椭圆方程中并整理，得(3+必8/x+4/—12=0,

8后4M—12

则Xl+%2

3+4。mx2=3+4右'

12di）

所以、_改|=7超+1、（X1+X2）2—4X1X2=

|A3|=M+1|XI-3+4后

112（庐+1）

同理，\CD\=~4-3一+4

3+后

“z,12（一+1）,12（1+1）84（庐+1）248

所以\AB\+\CD\=-3+4（—+—3>+4—=（3+4。）（3层+4）=万'

解得左=±1,

所以直线AB的方程为龙一丁一1=0或x+y—1=0.

21.在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法

的效果，在A,8两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试.己知A校采用大单元复

习教学法，8校采用传统的复习教学法.在经历两个月的实践后举行了考试，现从A,8两

校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分

数段对应的人数如下表所示：

[0,90)[90,110)[110,130)[130,150]

A校6145030

8校14263822

（1）若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不

优秀，完成2x2列联表，并根据小概率值a=0.01的独立性检验，分析复习教学法与评定

结果是否有关；

数学成绩不优秀数学成绩优秀总计

A校

3校

总计

（2）在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在［0,90）和［90,110）内的学生中

随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3