黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

～2024学年度上学期高三期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量，平面解析几何。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知集合，，则A． B． C． D．3.已知a，，为虚数单位，，则A．1 B．0 C． D．4.已知，，，则A． B． C． D．5.以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为A． B．C． D．6.设D为△ABC所在平面内一点，，则A． B．C． D．7.已知函数满足，当时，，则A． B． C． D．8.设椭圆）（）的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列转化结果正确的是A．120°化成弧度是 B． C． D．化成角度是18°10.《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是A． B．C． D．11.要得到函数的图象，可以将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度12.已知函数，则A．的极值点为 B．的极大值为C．的最大值为 D．只有1个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为.14.函数的导函数满足关系式，则.15.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽m.16.已知，，，，则的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若是等比数列，且，，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求的值；（2）若，求的值.19.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求的极值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，，，E为CD的中点.（1）求证：平面PAE；（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，且过点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若双曲线C的右焦点为F，点，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程.22.（本小题满分12分）已知函数（）.（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，使得，求实数a的取值范围.2023～2024学年度上学期高三期中考试·数学参考答案、提示及评分细则1.A，反之不成立，故选A．2.B∵A：，，∴，故选B．3.D因为，所以，，.4.A∵，，，∴b最小，，，又∵在上单调递增，∴，即，综上，，故选A．5.B∵平行线间的距离为，∴，∴圆的方程为，故选B．6.A.7.D因为，所以，故选D．8.C∵，则，，即椭圆方程为，设，，，且，即，，∴.9.AD因为，所以选项A正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C不正确；因为，所以选项D正确，故选AD．10.ACD根据题意可得（），，故A正确；，故B错误；，，则，故C正确；，故D正确.故选ACD．11.BC由，可知将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，又由函数的周期为，可知正确选项为BC，故选BC．12.BCD因为，且，所以当时，为增函数，当时，为减函数，所以为函数的极大值点，为的极大值，且为的最大值，所以A不正确，BC正确；因为，且当时，，当时，，所以D正确.故选：BCD．13.由，解得，所以函数的定义域为.14.由，得，令，则.故.15.建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为（），则，将其坐标代入，得，∴.当水面下降1m，得（），将其坐标代入得，∴，∴水面宽.16.，，当且仅当时取等号.17.解：（1）∵，，∴，即，解得首项，.∴数列的通项公式，（2）∵，，∴公比，.数列的前n项和.18.解：（1）由正弦定理有因为，，可得；（2）由（1）知，，故有.19.解：（1）的定义域为，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，，所以的极大值为，极小值为0.20.（1）证明：连AC∵底面ABCD为菱形，，∴∵，，∴∵平面ABCD，平面ABCD，∴∵，，AE，平面PAE，，∴平面PAE；（2）解：由（1）知，又由，可得，可得AB、AE、AP两两垂直令，可得，，以A为坐标原点，向量，，方向分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系可得点A的坐标为，点P的坐标为，点B的坐标为，点E的坐标为，点C的坐标为，，由（1）可知为平面PAE的法向量设平面BCP的法向量为，有，取，，可得由，，，有故平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值为21.解：（1）由题意知，解得，所以双曲线C的方程是；（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，不符合题意；②当直线l的斜率为0时，符合题意，此时直线l的方程为；③当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为，，，记AB的中点为，又因为，所以．由，得，所以，所以，.所以，解得或，所以直线l