2023-2024学年四川省广安市友实学校、邻水县正大实验学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省广安市友实学校、邻水县正大实验学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(i+1)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列命题中正确的是(

)A.零向量没有方向

B.共线向量一定是相等向量

C.若向量a,b同向，且|a|>3.若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是(

)A.2α+β B.△ABD4.已知三角形的边长分别为1，2，5，则它的最大内角的度数是(

)A.90° B.120° C.135°5.已知向量a=(−2,1)，bA.8 B.−8 C.2 D.6.在△ABC中，若sin2C+A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定7.衡量钻石价值的4C标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ABC为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且BC=2

A.14CA+2CD B.8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，过点A.42+45

B.4

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,A.(a+b)⊥a B.向量a在向量b上的投影向量是−12a10.若复数z满足：z(1−i)=i2013(其中i是虚数单位A.z的虚部是−12 B.z−=−111.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别为三角形ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则A.AH=2OM B.GA12.“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值.南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积.其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为2r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为2r的正方体的八分之一，图3是以底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是(

)

A.若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形

B.图2中阴影部分的面积为h2

C.“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为π：4

D.由棱长为2r三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(m,2)，b=(314.如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为2cm的正方形O′A′B

15.在△ABC中，AB=23，AC16.已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球表面积与圆台侧面积之比为______．四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设复数z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4−3i，i18.(本小题12分)

如图，在△ABC中AD=3AB，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设AB=a，AC=b．

(1)用a，b表示19.(本小题12分)

如图是一个正四棱台ABCD−A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高3020.(本小题12分)

在①3(a−bcosC)=csinB，②S△ABC=BA⋅BC⋅21.(本小题12分)

如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA−bsinB+14bsinC，cos

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：(i+1)i=−1+i，

所以该复数在复平面内对应的点为2.【答案】D

【解析】解：对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，

对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，

对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，

对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确．

故选：D．

利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果．

本题考查向量的定义，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：由题意侧面展开图的边长不2π×1=2π，面积为(2π)4.【答案】C

【解析】解：设最大角θ，

由大边对大角得cosθ=1+2−52×1×2=5.【答案】B

【解析】解：∵a=(−2,1)，b=(m,4)，且a/​6.【答案】A

【解析】解：因为sin2C+sin2B<sin2A，

由正弦定理得c2+b2<a2，

7.【答案】C

【解析】解：分别过D，E作DF，EG与BC垂直，垂足为F，G，

因为DE=2CD，BC=2DE，

所以CF=12DE=22CD，

所以∠DCF=45°

8.【答案】C

【解析】解：根据题意，如图：延长EF分别交DA，DC于点G，I，连接D1G，D1I分别交A1A，CC1于点H，J，

易得截面为五边形D1HEFJ就是要求截面Ω，

正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，易得△BEF为等腰直角三角形，

同时，△AEG也是等腰直角三角形且AE=1，则AG=1，

设9.【答案】AC【解析】解：因为向量a=(1,2),b=(1,−3)，

则a+b=(2,−1),(a+b)⋅a=2×1+(−1)10.【答案】CD【解析】解：∵i2013=i4×503+1=i，∴z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+11.【答案】AB【解析】解：因为G是△ABC的重心，O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以GO=12HG．

对于A，AH=AG−HG=2GM−2GO=2OM，故A正确；

对于B，因为G是△ABC的重心，M为BC的中点，所以AG=2GM，

又因为GB12.【答案】BC【解析】解：牟盒方盖是由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，那么只要用水平面去截它们，所得的截面比为正方形，故A错误；

根据祖暅原理，图2中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图3中正四棱锥中阴影部分的面积相等，故B正确；

由牟盒方盖是由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，只要用水平面去截它们，

那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为2r的球和高为2r的牟合方盖，使用同一高度处的水平面来截它们，

所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积之比，即为π：4，故C正确；

由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等，而正四棱锥体的体积V=13r3．

则八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积，即V18牟合方盖=r3−13r3=23r313.【答案】−2【解析】解：∵a=(m,2)，b=(3,m+5)，a⊥b，14.【答案】8【解析】解：把直观图还原为原图形，如图所示：

则四边形OABC是平行四边形，且OA=O′A′=2，OB=2O′B15.【答案】3或2【解析】解：设BC=x，

利用余弦定理：AC2=CB2+AB2−2⋅BC⋅AB⋅cos30°，

整理得：4=x2+1216.【答案】34【解析】解：设圆台上下底面圆的半径为r1，r2，母线为l，球的半径为R，

取圆台的轴截面ABCD，则四边形ABCD为等腰梯形，

圆台的外接球球心为O，则球心O在截面ABCD内，

在截面ABCD内，设圆O切梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别于点E、F、G、H，

由切线长定理可得AE=AH，DG=D17.【答案】解：(1)∵z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4−3i，

∴z1+z2=6+(a−【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于中档题．

(1)利用复数代数形式的加法运算化简，再由虚部为0求得a值，可得z1，再由复数代数形式的乘法运算求z1⋅z2的值；

(2)利用复数代数形式的除法运算化简【解答】

解：(1)∵z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4−3i，

∴z1+z2=6+(a18.【答案】解：(1)E为CD中点，所以AE=12(AC+AD)=12(b+3a)，

DE=12DC=12【解析】(1)利用平面向量基本定理，向量的加减法，即可解出；

(2)用坐标表示出向量AF19.【答案】解：(1)如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取B1C1，BC中点M，N，

连接O1M，ON，MN，则O1O=MH=30cm，O1M=10cm，ON=20cm，HN=10cm，

∴MN=MH2+【解析】(1)根据表棱台的表面积公式及体积公式，即可求解；

(220.【答案】解：(1)若选①：

由正弦定理及3(a−bcosC)=csinB，得3(sinA−sinBcosC)=sinCsinB，

∴3[sin(B+C)−sinBcosC]=sinCsinB，

∴3(sinBcosC+cosBsinC−sinBcosC)【解析】(1)若选①：利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简可得tanB=3，从而求出角B；

若选②：根据三角形的面积公式与平面向量数量积的定义，可得cosB=12，从而求出角B；

若选③21.【答案】解：