第16小题 一元函数的导数及其应用-2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第第页第16小题一元函数的导数及其应用TOC\o"1-5"\h\u第16小题一元函数的导数及其应用 1一、主干知识归纳与回顾 216.1导数的概念及其意义 2§5.2导数的运算 316.3导数在研究函数中的应用 3（一）命题角度剖析 4（二）考情分析 4（三）高考预测 4二、题型分类与预测 5命题点一：导函数的概念与几何意义 51.1母题精析（三年高考真题） 5一．极限及其运算（共1小题） 5二．导数的运算（共8小题） 5三．利用导数研究曲线上某点切线方程（共10小题） 91.2解题模型 141.3对点训练（四年省市模考） 14一．导数的运算（共2小题） 14二．利用导数研究曲线上某点切线方程（共22小题） 15命题点二：导数与函数单调性、极值、最值 271.1母题精析（三年高考真题） 27一．利用导数研究函数的单调性（共3小题） 27二．利用导数研究函数的极值（共5小题） 28三．利用导数研究函数的最值（共3小题） 31四．不等式恒成立的问题（共1小题） 341.2解题模型 351.3对点训练（四年省市模考） 36一．利用导数研究函数的单调性（共6小题） 36二．利用导数研究函数的极值（共2小题） 45三．利用导数研究函数的最值（共10小题） 47四．不等式恒成立的问题（共1小题） 55三、类题狂刷（五年区模、校模）： 57一．导数的运算（共1小题） 57二．利用导数研究函数的单调性（共9小题） 58三．利用导数研究函数的极值（共10小题） 66四．利用导数研究曲线上某点切线方程（共11小题） 76一、主干知识归纳与回顾16.1导数的概念及其意义1.导数定义：对于函数，把比值叫做函数从到的平均变化率，如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称瞬时变化率），记作或，即.2.函数在点处的导数的几何意义：（1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线.（2）的几何意义：是曲线在处的切线的斜率.3.导函数：当时，是一个唯一确定的数，这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数，简称导数.有时记作.§5.2导数的运算1.几种常见函数的导数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧2.导数的四则运算法则（1）.（2）.特别地：.（3）.3.复合函数求导法则由函数复合而成的的函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.16.3导数在研究函数中的应用1.导数与函数的单调性（1）在某个区间上，如果，则函数在区间上为单调递增；在某个区间上，如果，则函数在区间上为单调递减.（2）设函数在某个区间内可导，若为增函数，则（在上的任何子区间内都不恒等于零）；若为减函数，则（在上的任何子区间内都不恒等于零）.2.函数的极值函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，,而且在点附近的左侧,右侧，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，,而且在点附近的左侧,右侧，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3.最大值、最小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最大值.如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，我们就称是函数的最小值.（一）命题角度剖析1.导函数的概念与几何意义★★★☆☆2.导数与函数单调性、极值、最值★★★★★（二）考情分析高考频率：100%试题难度：较难呈现形式：以选择题或填空题呈现（三）高考预测本小题主要考查导数的几何意义、含参函数的单调性与极值问题、函数的最值与恒成立问题.热点内容为与单调性、极值、最值有关的综合问题二、题型分类与预测命题点一：导函数的概念与几何意义1.1母题精析（三年高考真题）一．极限及其运算（共1小题）1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则2．【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．导数的运算（共8小题）2．（2022•甲卷）当时，函数取得最大值，则（2）A． B． C． D．1【分析】由已知求得，再由题意可得（1）求得，得到函数解析式，求其导函数，即可求得（2）．【解答】解：由题意（1），则，则，当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，（1），即．，易得函数在上单调递增，在上单调递减，故处，函数取得极大值，也是最大值，则（2）．故选：．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．3．（2020•全国）设函数，若，则A．3 B． C． D．1【分析】先根据复合函数求导法则及导数公式求出导函数，再通过建立方程即可求解．【解答】解：，，又，，，故选：．【点评】本题考查复合函数求导法则及导数公式，方程思想，属基础题．4．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则A． B． C．（4） D．（2）【分析】由为偶函数，可得关于对称，可判断；为偶函数，可得，关于对称，可判断；由，关于对称，可得，得到是的极值点，也是极值点，从而判断；图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断．【解答】解：为偶函数，可得，关于对称，令，可得，即（4），故正确；为偶函数，，关于对称，故不正确；关于对称，是函数的一个极值点，函数在，处的导数为0，即，又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，，故正确；图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．解法二：构造函数法，令，则，则，，满足题设条件，可得只有选项正确，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．5．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则1．【分析】先求出函数的导数，再根据（1），求得的值．【解答】解：，，（1），，则，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．6．（2019•全国）若函数，，则3．【分析】对求导，然后解方程，可得的值．【解答】解：由，得，，，．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题．7．（2018•天津）已知函数，为的导函数，则（1）的值为．【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再计算（1）的值．【解答】解：函数，则；（1）．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．8．（2016•天津）已知函数，为的导函数，则的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：，，．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．9．（2015•天津）已知函数，，其中为实数，为的导函数，若（1），则的值为3．【分析】由题意求出，利用（1），求．【解答】解：因为，所以，又（1），所以；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．三．利用导数研究曲线上某点切线方程（共10小题）10．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．【解答】解：因为，，故函数在点处的切线斜率，切线方程为，即．故选：．【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题．11．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则A． B． C． D．【分析】法一：画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项．法二：设过点的切线横坐标为，求出切线方程，代入，设，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出的范围即可．【解答】解：法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．12．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为A． B． C． D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求得（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．13．（2023•全国）曲线在处切线方程为．【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．【解答】解：由可得，，曲线在点处的切线斜率为，所以所求切线方程为即．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．14．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是，，．【分析】设切点坐标为，，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△即可求出的取值范围．【解答】解：，设切点坐标为，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，即的取值范围是，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．15．（2022•全国）曲线在点处的切线方程为．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由，得，（1），即曲线在点处的切线的斜率为1，则曲线在点处的切线方程为，整理得：．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．16．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【分析】当时，，设切点坐标为，，利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出的值，从而得到切线方程，当时，根据对称性可求出另一条切线方程．【解答】解：当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是．【分析】分别求得，时，的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令，可得，的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离公式，化简整理，可得所求范围．【解答】解：当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得，即，当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，，，所以．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（2021•甲卷）曲线在点处的切线方程为．【分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为，在曲线上，所以，所以，则曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．19．（2021•全国）曲线在点处的切线方程是．【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．【解答】解：函数的导数为，可得曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，体现了数学运算的核心素养，属于基础题．1.2解题模型1.曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线问题设曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为l,则根据2.曲线y=f(x)过点(x0,y0)的切线问题设切点坐标为(x₁,f(x₁)),先求出在x=x₁处的切线方程，然后把点(x0,y0)的坐标代入切线方程即可求出x1,从而得出切线方程.3.由曲线的切线求参数的方法已知曲线在某点处的切线求参数问题主要用方程思想来解决.先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围.1.3对点训练（四年省市模考）一．导数的运算（共2小题）1．（2023•漳州模拟）函数的导函数为，则A．0 B．1 C． D．【分析】根据已知条件，结合函数的周期性，以及导数的求导法则，即可求解．【解答】解：的导函数为，则，故．故选：．【点评】本题主要考查函数的周期性，以及导数的求导法则，属于基础题．2．（2023•宁德模拟）已知函数满足如下条件：①定义域为；②存在，使得；③．试写出一个符合上述要求的函数（答案不唯一）．【分析】根据已知条件，选出函数，并验证，即可求解．【解答】解：设，则函数定义域为，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．二．利用导数研究曲线上某点切线方程（共22小题）3．（2023•泉州模拟）定义在上的偶函数满足，且当，时，，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【分析】利用函数的对称性和周期性及导数的几何意义即可求解．【解答】解：由可以得关于中心对称，又偶函数，即函数关于轴对称，所以的周期为4．所以，因为，即关于对称，所以，所以切线方程：．即：．故选：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的考查，还考查了导数几何意义在切线方程的求解，属于中档题．4．（2022•泉州模拟）若直线与曲线相切，直线与曲线相切．则的值为A． B．1 C． D．【分析】分别求得，的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标（用，表示），结合函数的图像的对称性，可得所求值．【解答】解：的导数为，的导数为，设与曲线相切的切点为，直线与曲线相切的切点为，所以，，即，，，即，又，即，可得，考虑为方程的根，为方程的根，分别画出，和，的图像，可得和的交点与和的交点关于直线对称，则，即．故选：．【点评】本题考查导数的几何意义：求切线的方程，以及函数的图像的对称性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．5．（2022•莆田模拟）下列直线中，既不是曲线的切线，也不是曲线的切线的是A． B． C． D．【分析】分别求出两函数的导函数，由每一个选项中直线的斜率求得与两曲线切点的横坐标，进一步求得纵坐标，再看切点是否满足直线方程即可．【解答】解：的导函数为，的导函数为．对于，的斜率为1，由，得，，是曲线的切线，故错误；对于，的斜率为1，由判断可知，不是曲线的切线，由，得，，则是曲线的切线，故错误；对于，的斜率为，由，得，，是曲线的切线，故错误；对于，由判断可知，不是曲线的切线，由，得，，点不适合直线，则不是曲线的切线．故选：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．6．（2021•莆田模拟）函数的图象的切线斜率可能为A． B． C． D．【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由正弦函数的值域和不等式的性质，可得斜率的范围，可得结论．【解答】解：的导数为，由于，，，可得，则切线的斜率可能为．故选：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．（2020•福州三模）曲线在处的切线方程为A． B． C． D．【分析】先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程．【解答】解：由已知：，．所以，故切线为，即．故选：．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法．属于基础题．8．（2022•莆田模拟）若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C．， D．【分析】函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则判断存在两个函数值的乘积为即可．【解答】解：当时，，，当时，满足条件；当时，恒成立，不满足条件；当，时，，当，满足条件；当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属中档题．9．（2022•漳州模拟）已知函数，则下列结论正确的是A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条【分析】求出原函数的导函数，结合指数函数的值域判断与；设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，分别把，代入求得切点横坐标，即可判断与．【解答】解：，得，由，得，曲线的切线斜率可以是1，故正确；，故错误；设切点坐标为，则，过切点的切线方程为，把代入，可得，，令，得，当时，，当时，，，可得只有一根0，即过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；把代入，可得，解得．过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误．故选：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．10．（2023•莆田模拟）直线经过点，，且与曲线相切，写出的一个方程（或，或．【分析】设切点坐标，利用导数求出过求得的切线方程，代入已知点的坐标，求出切点横坐标，进一步得答案．【解答】解：由，得，设切点坐标为，，则过切点的切线方程为，把点，代入，可得，整理得：，即或或．当时，切线方程为，当时，切线方程为，当时，切线方程为．故答案为：（或，或．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，设切点是关键，是中档题．11．（2023•思明区校级模拟）若曲线有两条过的切线，则的范围是．【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．【解答】解：设切线切点为，，又，所以切线斜率为，因为，所以切线方程为：．又切线过，则，即，则由题可知函数图象与直线有两个交点，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减．又（1），又，，，．据此可得大致图象如下．则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．故答案为：．【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．12．（2023•厦门模拟）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为．【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断．【解答】解：，假设两曲线在同一点，处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．13．（2023•惠安县模拟）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为．【分析】设直线与两曲线的切点坐标，得到两曲线在切点处的导数值，再由斜率相等列式求解切点坐标，得到切线方程，进一步得答案．【解答】解：由，得，由，得，设直线与曲线和分别切于，，，，则，即，代入，可得，解得，，切点为，，则切线方程为，取，得．直线与轴的交点坐标为．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．14．（2023•泉州模拟）曲线在点处的切线方程为．【分析】欲求曲线在点处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：，，当时，得切线的斜率为2，所以；所以曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2023•南平模拟）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线，则的方程为．【分析】设与，再设公共点，，根据题意得到，，，解出后进而求得结论．【解答】解：设与在公共点，处的切线相同．，，由题意知，即，解得，；故切点为：，，切线的斜率；可得切线方程为：．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的基础知识，是一道关于函数的基础题，应熟练掌握其求解的方法步骤．16．（2023•福州模拟）已知曲线在点处的切线与在点处的切线平行，若点的纵坐标为1，则点的纵坐标为11．【分析】利用二次导函数，求解函数的对称中心的坐标，结合点的纵坐标为1，求出的纵坐标即可．【解答】解：曲线，，，令，可得，此时，所以函数的对称中心为．曲线在点处的切线与在点处的切线平行，若点的纵坐标为1，则点的纵坐标为11．故答案为：11．【点评】本题考查函数的导数的应用，对称中心的求法，考查了转化思想，是中档题．17．（2023•泉州模拟）曲线在处的切线方程为．【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．【解答】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，则切线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．（2023•漳州模拟）函数的图象在处的切线方程为．【分析】先对求导，再求出所求切线的斜率与切点，从而由点斜式方程即可得出答案．【解答】解：，，所求切线的斜率为，又，即切点为，函数的图象在处的切线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题．19．（2022•厦门模拟）若函数和的图象有且仅有一个公共点，则在处的切线方程是．【分析】分别求得，的导数，设，，则①，结合，联立消掉可得关于的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一值，进而可求的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：的导数为，的导数为，设，，则①，，即，化简得②，联立①②消得，，令，，可得在上单调递增，又（1），在上有唯一零点1，方程有唯一解，即，则（1），．故，切线的斜率为1，切线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．（2022•荔城区校级模拟）曲线在点处的切线方程为．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：，可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．21．（2022•莆田模拟）曲线在处的切线方程为．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出时的函数值，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由，得，，又当时，，曲线在处的切线方程为，即．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．22．（2022•龙岩模拟）函数在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出（1），可得切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由，得，（1），又（1），函数在点，（1）处的切线为，取，得，取，得．切线与两坐标轴围成的三角形面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．23．（2021•龙岩一模）已知函数在点，（1）处的切线方程为，则的值为1．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由（1）求解值．【解答】解：由，得，函数在点，（1）处的切线方程为，（1），即．故答案为：1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．24．（2021•南平模拟）请写出与曲线在点处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为或或（答案不唯一）．【分析】结合导数的几何意义，可得曲线在点处的切线方程为，从而得解．【解答】解：因为，所以，把代入，得，即曲线在点处切线方程的斜率为0，所以曲线在点处的切线方程为，因此，所有在点处的切线方程为的函数都是正确答案．故答案为；或或（答案不唯一）．【点评】本题以曲线的切线为载体，考查函数图像在某点处的切线等基础知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．命题点二：导数与函数单调性、极值、最值1.1母题精析（三年高考真题）一．利用导数研究函数的单调性（共3小题）1．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B． C． D．【分析】对函数求导，根据题意可得在上恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可得解．【解答】解：对函数求导可得，，依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，易知当时，，则函数在上单调递减，则．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．2．（2020•全国）函数的单调递增区间是A． B．， C． D．【分析】先求函数的导函数，然后求解的解集即可得解．【解答】解：已知函数，则函数的定义域为：，则，令，解得，即函数的单调递增区间是，故选：．【点评】本题考查了导数的应用，重点考查了函数单调区间的求法，属基础题．3．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是，．【分析】由函数在上单调递增，可得导函数在上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．【解答】解：函数在上单调递增，在上恒成立，即，化简可得在上恒成立，而在上，故有，由，化简可得，即，，解答，故的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．二．利用导数研究函数的极值（共5小题）4．（2023•全国）已知函数在处取得极小值1，则A． B．0 C．1 D．2【分析】根据已知条件，对求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：，则，函数在处取得极小值1，，解得，故，，令，解得或，在，在上单调递增，在，上单调递减，故在处取得极小值，故，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．5．（2022•全国）设和是函数的两个极值点．若，则A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出，又和是函数的两个极值点，则和是方程的两根，再利用韦达定理可解．【解答】解：函数，，又和是函数的两个极值点，则和是方程的两根，故，，又，则，即，则，故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数极值问题，属于中档题．6．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则A． B． C． D．【分析】分及，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现，的大小关系，进而得出答案．【解答】解：令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，．故选：．【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．7．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则A． B． C． D．【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．【解答】解：函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故选：．【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．8．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是．【分析】由已知分析函数至少应该两个变号零点，对其再求导，分类讨论和时两种情况即可得出结果．【解答】解：对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．三．利用导数研究函数的最值（共3小题）9．（2022•乙卷）函数在区间，的最小值、最大值分别为A．， B．， C．， D．，【分析】先求出导函数，令得，或，根据导函数的正负得到函数的单调性，进而求出函数的极值，再与端点值比较即可．【解答】解：，，，则，令得，或，当，时，，单调递增；当时，，单调递减；当，时，，单调递增，在区间，上的极大值为，极小值为，又，，函数在区间，的最小值为，最大值为，故选：．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．10．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是．【分析】由题意可得是的一个周期，问题转化为在，上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得是的一个周期，故只需考虑在，上的值域，先来求该函数在，上的极值点，求导数可得，令可解得或，可得此时，或；的最小值只能在点，或和边界点中取到，计算可得，，，，函数的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．11．（2018•江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为．【分析】推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在，递增，由只有一个零点，解得，从而，，，，利用导数性质能求出在，上的最大值与最小值的和．【解答】解：函数在内有且只有一个零点，，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在，递增，又只有一个零点，，解得，，，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，（1），，，在，上的最大值与最小值的和为：．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．四．不等式恒成立的问题（共1小题）12．（2020•浙江）已知，且，对于任意均有，则A． B． C． D．【分析】设，求得的零点，根据在上恒成立，讨论，的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．【解答】解：设，可得的图象与轴有三个交点，即有三个零点，，且，由题意知，在上恒成立，则，，，可得，恒成立，排除，；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有或或三种情况，此时显然成立；若，则不成立；若，即，可得，且和都在正半轴上，符合题意，综上恒成立．故选：．【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．1.2解题模型1.函数单调性的应用(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的方法①可导函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)≥0(或f’(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，要注意检验等号成立时导数是否在某区间上恒为0.②可导函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际上就是f’(x)>0(或f’(x)<0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围。③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.(2)利用函数的单调性比较大小、解不等式时常用的构造函数技巧(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,enx).(5)函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x).(6)同构法的三种基本模式：①乘积型，如aea≤blnb可以同构成aea≤(lnb)elnb，进而构造函数f(x)＝xex；②比商型，如eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)可以同构成eq\f(ea,lnea)<eq\f(b,lnb)，进而构造函数f(x)＝eq\f(x,lnx)；③和差型，如ea±a>b±lnb，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±lnx.2.利用导数解决函数的极值和最值问题的策略(1)解决函数极值问题的一般思路(2)可导函数f(x)的极值点存在问题可转化为导函数f’(x)的变号零点存在问题.(3)将极值与端点值进行比较，即可得函数的最值.1.3对点训练（四年省市模考）一．利用导数研究函数的单调性（共6小题）1．（2023•宁德模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】由可得到，利用作差法得到，，构造，，分别求出，在上的单调性，即可求解．【解答】解：因为，所以，又，令，，则，所以在单调递减，所以，所以，即；又，令，，则，所以在单调递减，所以，所以，即，综上，．故选：．【点评】本题主要考查了导数与单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．2．（2023•福州模拟）已知，函数，．若，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】构造函数，，则，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案．【解答】解：，即，令，，令，则，所以函数为增函数，即函数为增函数，又（1），则当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以（1），所以，所以的取值范围是．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于中档题．3．（2023•漳州模拟）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则A． B．（e）（1） C．在上是增函数 D．存在最小值【分析】令，求导得，分析的符号，的单调性，进而可得，是否正确；由上可得，求导得，令，求导分析单调性和最值，可得的符号，的符号，的单调性，即可得出答案．【解答】解：令，，因为，所以，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，对于：因为，所以（1），所以（1），所以（1），故正确；对于：因为，所以（e）（1），所以（e）（1），所以（e）（1），故正确；对于：由上可得，，令，，令得，所以在上，单调递减，在，上，单调递增，所以，所以，所以在上，单调递增，故正确；对于：由选项知不存在最值，故错误，故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、转化方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2023•厦门模拟）已知函数，则A．曲线关于轴对称 B．曲线关于原点对称 C．在上单调递减 D．在上单调递增【分析】根据函数奇偶性的定义判断，，求出时的导数，判断时函数的单调性，再结合函数的奇偶性判断，即可．【解答】解：，，关于轴对称，故正确，错误，时，，则，故时，，单调递减，，时，，单调递增，又关于轴对称，在，单调递减，又，在单调递增，在，单调递减，在上不单调，故错误，正确．故选：．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．5．（2023•南平模拟）已知函数满足，（1），则A． B． C．若方程有5个解，则 D．若函数且有三个零点，则【分析】令，求导可得，进而可得，，又（1），解得，则，，对于：求导分析的单调性，最值，可判断是否正确；对于：由上可知，，令，令，求导分析单调性和最值，即可得出，进而可，则，结合的单调性，即可判断是否正确；对于：由上可知，方程可化为，令，则方程可化为：，作出图象如下，只需有5个零点，即可判断是否正确；对于：若函数且有三个零点，则方程有三个根，又，，在上单调递增，则方程有三个根，即可判断是否正确．【解答】解：令，，因为，所以，所以，所以，即，因为（1），所以，所以，所以，所以，，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以，对于：由上可知，单调递增，因为，所以（1），所以，所以（1），又（1），所以，故错误；对于：由上可知，，令，令，单调递减，又（1），所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，所以，所以，所以，因为在上单调递增，所以，故正确；对于：由上可知，方程可化为，令，则方程可化为：，作出图象如下：方程，△，①若△，即时，方程的解只有一个，则函数的零点至多有三个，不合题意，②若△，即时，方程的无解，则函数无零点，不合题意，③若△，即或时，方程的解有两个，，，，，若函数且有三个零点，则，有五个零点，结合的图象可得有三个零点，有两个零点，所以，当，即，解得，此时，符合，所以，故正确；对于：若函数且有三个零点，则方程有三个根，因为，，又因为在上单调递增，所以若方程有三个根，则方程有三个根，所以有三个根，所以有三个根，即有三个根，令，则与有三个根，因为，所以为奇函数，当时，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以（e），当时，；当时，，由奇函数的对称性可得，，时，；当时，，作出函数的图象如下：所以或，所以或，所以的取值范围为，，，故正确；故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．6．（2023•南平模拟）若，则A． B． C． D．【分析】对于，结合不等式的性质，即可求解；对于，结合对数函数的单调性，即可求解；对于，结合指数函数的单调性，即可求解；对于，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：，则，，故错误，正确；，则，故错误；构造函数，求导可得，，当时，，即在上单调递增，，（a）（b），即，故，故正确．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．二．利用导数研究函数的极值（共2小题）7．（2023•龙岩模拟）已知函数，为的导数，则下列说法正确的是A．当时，在区间单调递减 B．当时，恒成立 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有且仅有2个零点【分析】对于：求导得，，分析的符号，单调性，即可判断是否正确；对于：当时，，，令，，求导分析单调性，最值，即可判断是否正确；对于：当时，，求导分析单调性，极值，即可判断是否正确；对于：由上可知在上单调性，进而可得存在，，使得，分析的单调性，零点，即可判断是否正确．【解答】解：对于，，，时，，当时，，，所以在上，单调递减，故正确；对于：当时，，，令，，，所以在上，单调递增，在，上，单调递减，所以当时，，所以不成立，故错误；对于：当时，，，，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，所以在上，单调递减，在，上，单调递增，所以在区间上有唯一极小值点，故正确；对于：由上可知在上单调递减，，在，上单调递增，，所以存在，，使得，所以在上，，单调递减，在，上，，单调递增，又，，所以在上有一个零点，当时，，递增，又，0为一个零点，当时，，所以在上不存在零点，故正确，故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．8．（2022•福州模拟）已知函数在处取得极值，则实数．【分析】先求导数，再由极值条件，列方程求解．【解答】解：因为，又因为函数在处取得极值，所以（1），于是，解得，故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．三．利用导数研究函数的最值（共10小题）9．（2023•福州模拟）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．【分析】设，，求两个曲线公切线的斜率即可．【解答】解：设，，依题意只需求公切线斜率即可．，，设切点分别为，，，则切线方程为，即．，即．则，由①得，代入②得：，则，故公切线斜率为或，如图，由图象可知，，．故选：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查导数的几何意义，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．10．（2023•龙岩模拟）已知两数，则的最小值为A． B． C． D．0【分析】依题意可知为周期为的偶函数，结合函数的导数，求解函数的最值，利用函数的图象，即可得到答案．【解答】解：，为偶函数，又，的周期为，当，时，，，令，得，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，又，，作出的图象，如图：由图可知，函数的最小值为，故正确；故选：．【点评】本题考查三角函数的周期性、对称性，函数的导数判断函数的单调性、极值等性质，考查数形结合思想及数学运算能力，属于中档题．11．（2022•南平模拟）对任意的，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．【分析】化简不等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解．【解答】解：对任意的，，，当时，恒成立，，令，由题意得在，上单调递减，，在，上恒成立，．实数的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（2022•泉州模拟）已知函数，，，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【分析】原问题等价于，，令，，，，只需在单调递增即可，利用在上恒成立，即可求解．【解答】解：，，等价于，，，，令，，，，又当时，恒成立，只需在单调递增即可，即在上恒成立，在上恒成立，．故选：．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了同构思想，考查了计算能力，属于难题，13．（2022•三明模拟）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为A． B． C．， D．【分析】问题转化为有两根，令，利用导数求其极小值，即可求得实数的取值范围．【解答】解：由有两个零点，得有两个根，即有两个根，令，，当时，，当时，，（1），可得在上恒成立，有两根，令，则，由上可知，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，的极小值为（1），又当时，，当时，，函数有两个零点，则实数的取值范围为．故选：．【点评】本题考查函数零点的判定及应用，考查化归与转化思想，训练了利用导数求极值，考查运算求解能力，属难题．14．（2022•莆田模拟）已知函数的最小值是4，则A．3 B．4 C．5 D．6【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于的方程，解出即可．【解答】解：令，则，，，在递增，而，故时，，递减，时，，递增，故，解得，故选：．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．15．（2021•南平模拟）设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是A．， B． C． D．【分析】对函数求导，得出其单调性情况及极值情况，作出大致图象，结合图象分，及分别讨论得解．【解答】解：，，令，得，易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为．则函数在处取得极小值，且极小值为，如图所示：当时，无解；当时，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则，解得；当时，由于直线与轴的负半轴交于点，当时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意．综上所述，实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，利用导数工具研究函数的单调性、极值、最值及变化趋势，考查数形结合思想的应用，蕴含运动变化和分类整合思想，考查学生逻辑推理能力以及运算求解转化能力，属于中档题．16．（2023•福建模拟）函数，若，则的取值范围，．【分析】由，可得时，，；时，，时，等号成立；时，，利用导数研究函数的单调性、结合洛必达法则即可得出结论．【解答】解：由，可得时，，；时，，时，等号成立；时，．当时，，令，，令，，，函数在上单调递减，，即，函数在上单调递减，时，由洛必达法则可得：，．时，．令，，则，令，，，函数即在上单调递增，，，，．综上可得：，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、分类讨论方法、等价转化方法、洛必达法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．（2023•三明三模）已知不等式恒成立，其中，则的最大值为．【分析】由题意，将问题转化成不等式恒成立，构造函数，对进行求导，对和这两种情况进行分析，利用导数得到的单调性和最值，此时问题转化成，构造函数（a），对（a）进行求导，利用导数得到（a）的单调性，进而可得最大值．【解答】解：已知不等式恒成立，所以已知不等式恒成立，不妨设，函数定义域为，可得，因为，当时，，单调递增，函数无最小值，不满足条件；当时，当时，，单调递减；时，，单调递增，所以（a），满足，即，整理得，所以，不妨设（a），函数定义域为，可得（a），当时，（a），（a）单调递增；当时，（a），（a）单调递减，所以（a）（3），则的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．18．（2022•龙岩模拟）若对恒成立，则实数的取值范围是．【分析】依题意，将问题转化为，对任意，恒成立，设，利用导数可知在，上为增函数，则（1），然后分及讨论得答案．【解答】解：依题意，对任意，恒成立，记，，在，上为增函数，则（1），当，即时，在，上为增函数，则（1），符合题意；当，即时，（1），时，，存在，使得，且当时，，单调递减，（1），不合题意．综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于较难题目．四．不等式恒成立的问题（共1小题）19．（2021•三明模拟）已知函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】由二次函数的单调性和单调性的定义，可判断的范围，再由函数恒成立思想可得（e）（e），运用排除法可得结论．【解答】解：是定义在上的单调递增函数，可得时，递增，即有，且，可得，又，即，可得，可排除选项，又，由当时，恒成立，可得（e）（e），即，可得，即有．进而排除，．故选：．【点评】本题考查函数的单调性的判断，以及函数恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：一．导数的运算（共1小题）1．（2023•新罗区校级三模）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是A．（2） B．函数关于对称 C．函数是周期函数 D．【分析】由为奇函数可得（2），由取导数可得，结合条件可得，判断，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断，．【解答】解：因为为奇函数，所以，取可得（2），对，因为，所以，所以，又，即，，故，所以函数的图象关于点对称，错，因为，所以，所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以（3）（1），（4）（2），所以（1）（2）（3）（4），所以，所以，故的值为0，正确；因为，即，故函数也为周期为4的函数，正确．故选：．【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．二．利用导数研究函数的单调性（共9小题）2．（2023•蕉城区校级一模）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为A． B． C． D．【分析】化简不等式可得，设，，则原不等式即为，根据两函数的单调性分类讨论，得出不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数的不等式组解出即可．【解答】解：依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，设，，则原不等式即为．若，则当时，，，原不等式的解集中有无数个大于2的整数，．（2），（2），（2）（2）．当（3）（3），即时，设，则．设，则（3），在，上为减函数，（4），当时，，在，上为减函数，即（4），当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数．，当时，，单调递增，当时，，要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，当时，与有两个交点，和在两个交点之间，则，即，解得．则实数的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．3．（2023•蕉城区校级模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为A． B．， C． D．，【分析】根据指数函数的单调性求解即可；【解答】解：函数在上单调递增，，，检验符合．故选：．【点评】本题考查指数函数的性质，属基础题．4．（2022•芗城区校级模拟）已知函数满足（2），则的单调递减区间为A． B． C． D．【分析】对求导得到关于（2）、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间．【解答】解：由题设（2），则（2）（2），可得，而（2），则（2），所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为．故选：．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2023•蕉城区校级二模）已知函数，则A．（2）（3） B．若有两个不相等的实根，，则 C． D．若，，均为正数，则【分析】：代入2、3直接计算比较大小；：求的导函数，分析单调性，可得当有两个不相等实根时、的范围，不妨设，则有，比较的大小关系，因为，可构造，求导求单调性，计算可得成立，可证；：用在上单调递增，构造可证明；：令，解出，，作差可证明．【解答】解：对于，，又，，所以，所以，所以（2）（3），故错误；对于：函数，定义域为，所以，令得，所以在上时，单调递增，在上时，单调递减，所以，且时，有，所以若有两个不相等的实根、，有，不妨设，有，要证，只需证，且，又，所以只需证，令，所以，当时，，，所以有，所以在上单调递增，且（e），所以恒成立，所以，即，即，故正确；对于：由可知，在上单调递增，所以（2）（e），所以，则有，故正确；对于：令，则，，，所以，所以，故正确；故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，函数值的大小，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．6．（2023•福建模拟）已知函数，则下列结论正确的是A．为增函数 B．的最小值为 C．函数有且仅有两个零点 D．若，且，则【分析】利用导数研究的单调性和最值判断、；由过原点且与曲线相切为临界点，设切点为，并求出对应切线方程，进而有，构造研究单调性易得，结合只需判断，2的大小关系，数形结合即可判断；利用极值点偏移，构造研究单调性，判断，即可判断．【解答】解：：令，，即递增，所以在上，（1），为减函数，错误；：在上（1），故的最小值为，正确；：由上知，过原点且与曲线相切为临界点，设切点为，，点处的切线为，代入原点坐标化简得，令，则，函数单调递增，记方程的根为，又（4）知：，令，有，得单调递增，有，由图象知，函数有且仅有两个零点，故正确；：设，有，所以，而，故为减函数，由，故为增函数，故（1）为减函数（1），即，，故，又，，且该区间上递增，，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了函数性质在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．7．（2023•龙岩模拟）已知函数有两个零点，分别记为，；对于，存在使，则A．在上单调递增 B．（其中是自然对数的底数） C． D．【分析】对于：求导并令，解得的单调递增区间，即可判断是否正确；对于：若有两个零点，方程有两个根，令，则与的交点，即可判断是否正确；对于：由上可得，又，，由的单调性可得，进而可得即可判断是否正确；对于：计算，令，则，可得，又在上单调递增，则，即可判断是否正确．【解答】解：对于：因为，令得，所以在上单调递增，对于有两个零点，方程有两个根，令，则，可得在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值（e），所以，，故正确；对于：由上可得，又，，由的单调性可得，，所以，，所以，故正确；对于：由已知，而，所以，令，则，所以在单调递增，所以（1），所以，因为，所以，所以，所以，所以，又在上单调递增，所以，即，故正确，故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．8．（2023•福建模拟）函数的单调增区间是（或，也对）．【分析】令，由复合函数单调性知：的增区间即为所求．【解答】解：令，由复合函数单调性知：的增区间即为所求，，所以函数的单调增区间是．故答案为：（或，也对）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．9．（2023•福建模拟）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是，．【分析】求出函数的导数，利用给定的单调性列出恒成立的不等式，再借助二次函数求解作答．【解答】解：由题意，，恒成立，即恒成立，令，，则在，上恒成立，设，因此函数在，上恒有成立，而函数的图象是开口向下的抛物线，于是，即，解得，所以实数的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了二次函数的性质，属于中档题．10．（2022•荔城区校级模拟）已知函数，有一位同学研究该函数后发现，该函数图像具有对称性，则函数的图像关于对称，同时利用性质求得不等式的解集是．【分析】先检验与的关系，然后结合函数图象的平移及导数与单调性关系判断的单调性，结合对称性与单调性可求．【解答】解：因为，所以，所以的图象关于对称，令，则的图象可由的图象向右平移1个单位，且的图象关于轴对称，当时，，当时，恒成立，即单调递增，当时，，，，单调递增，故当时，单调递增，所以时，单调递增，由得，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的对称性及单调性的判断，导数的应用是单调性判断的关键，属于中档题．三．利用导数研究函数的极值（共10小题）11．（2023•漳州模拟）已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为A．2 B． C． D．【分析】根据零点定义可整理得到，令，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定在上单调递减，在上单调递增，并得到，，由可确定，由此化简所求式子即可得到结果．【解答】解：由题意知：，，联立两式可得：，令，则；令，则在上单调递增，又，（1），在上存在唯一零点，且，，；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，又，，．故选：．【点评】本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子．12．（2023•鲤城区校级模拟）已知，若函数在处取得极小值，则下列结论正确的是A．当时， B．当时， C． D．【分析】求导可得，对分类讨论，结合函数在处取得极小值，及其函数的零点，，进而得出结论．【解答】解：，，，令，解得，或．，令，解得，或，①时，当，，即时，函数在处取得极小值；②时，，，即时，函数在处取得极小值．综上可得：正确．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2023•思明区校级模拟）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列得到数列，对于正整数，则下列说法中正确的有A． B． C．为递减数列 D．【分析】的极值点为函数与函数图象在交点的横坐标，将两函数图象画在同一坐标系中，数形结合逐项分析各选项，能求出结果．【解答】解：的极值点为在上的变号零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标，时，，时，，，，，时，，据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如图，对于，时，，，，结合图象得当，，，，，当，时，，，，故正确；对于，由图象可知，则，故错误；对于，表示两点，与，间距离，数形结合得随着的增大，两点间的距离越来越近，即为递减数列，故正确；对于，由选项分析得：，数形结合得当时，，此时，在上是单调递增函数，，故错误．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2023•宁德模拟）已知函数，，，则下列说法正确的是A．若函数的图象关于点，（1）中心对称，则 B．当时，函数过原点的切线有且仅有两条 C．函数在，上单调递减的充要条件是 D．若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或【分析】．函数，，，令，解得，即为对称中心的横坐标，根据函数的图象关于点，（1）中心对称，进而解得，即可判断出的正误．．时，原点在函数的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为，，利用点斜式可得切线方程为，把代入可得，即可判断出的正误．．函数在，上单调递减（不恒等于在，上恒成立，其对称轴为．分类讨论对称轴与区间断点的值的大小关系，即可判断出的正误．．，由实数，是的两个不同的极值点，可得△，即，利用根与系数的关系代入，解得范围，即可判断出的正误．【解答】解：．函数，，，令，解得，函数的图象关于点，（1）中心对称，，解得，因此正确．．时，原点在函数的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为，，则切线方程为，把代入可得：，若，则函数过原点的切线有且仅有一条；若，则函数过原点的切线有两条．因此不正确．．函数在，上单调递减（不恒等于在，上恒成立，其对称轴为．分类讨论：或或，因此正确．．，由实数，是的两个不同的极值点，则△，即，，，，，化为，代入，可得，解得或，因此正确．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、三次函数的单调性与中心对称性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（2023•新罗区校级三模）已知函数，则A．为奇函数 B．在区间上单调递减 C．的极小值为 D．的最大值为【分析】利用函数奇偶性的定义可判断选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断选项；分析函数的单调性，利用极值的定义可判断选项；利用极值与最值的关系可判断选项．【解答】解：由题意知，的定义域为，，所以为偶函数，错；当时，，则，所以函数在上单调递增，错；对于，当，时，，所以，所以函数在，上单调递减．又因为函数为偶函数，所以函数的递增区间为、，递减区间为、，所以函数的极小值为，对；对于，因为函数为偶函数，且函数的极大值为，故函数的最大值为，对．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．16．（2023•思明区校级三模）已知函数，设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，则的值是A．0 B．2 C． D．【分析】求导得，，为方程的两个根，则，计算直线的斜率，直线必过对称中心，，即，进而可得直线的方程，可得直线与轴交点坐标，代入曲线，即可得出答案．【解答】解：因为，，为方程的两个根，所以，所以直线的斜率，若直线过点，，，，则直线必过对称中心，，即，所以直线的方程为，令，得，又因为点，在曲线上，代入曲线可得，解得或或，故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．17．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数，则A．曲线是轴对称图形 B．函数有极大值为 C．若，则 D．若，且，则【分析】．计算，即可判断；．利用导数法求解判断；．由，得到，由，利用导数法求解判断；．易证，再根据，且，结合得到，即可．【解答】解：对于选项：因为，所以关于对称，故正确；对于选项，令得，当时，，单调递减；当，时，，单调递增，所以的极小值为，故错误；对于选项：因为，所以，因为，所以，所以，由可知的极小值为，所以，故正确；对于选项，因为，且，所以，即，由知在上单调递减，在，上单调递增，所以，故正确．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（2023•泉州模拟）设函数，则下列判断正确的是A．存在两个极值点 B．当时，存在两个零点 C．当时，存在一个零点 D．若有两个零点，，则【分析】由已知可得，可得有两个根，，且，进而运算可判断每个选项的正确性．【解答】解：由函数，可得定义域为，，令，可得，△，方程有两个根，，且，故，，，单调递增，当，，单调递减，故存在唯一极大值点，故错误；又，，，又在单调递增，且，，易知为增函数，，又当时，，当时，，存在两个零点，故正确；当时，，，无法判断有多少个零点，故不正确；若有两个零点，，则，为方程的两解，作出函数，的图象，作出点，关于直线的对称点，，由图可知，，故正确．故选：．【点评】本题考查导数综合应用，考查数形结合思想，属中档题．19．（2022•德化县校级模拟）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是A．， B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点【分析】根据函数图像对称性判断新函数的极值点即可．【解答】解：选项：为极大值点，不能说明函数在取最小值，选项：为函数关于轴对称，故在取极大值，故选项正确，选项：为函数关于轴对称，故在取极小值，故选项错误，选项：为函数关于原点对称，故在取得极小值，故选项正确，故选．【点评】本题主要考查函数图像的变化及极值点定义，属于中档题．20．（2022•龙岩模拟）已知函数的定义域为，满足，当，时，对，，下列选项正确的是A．，则的最小值为 B．，则的值不存在 C．极小值，则 D．时，函数所有极小值之和大于【分析】根据导函数可得函数在，上递减，在，上递增，则在，内的极小值（最小值）为（1），且无最大值，再可知，在，内的极小值为为偶数），可利用等比数列求和分析极小值的和．【解答】解：当，时，，则，令则，函数在，上递减，在，上递增，则在，内的极小值（最小值）为（1），且当时，，不正确，正确，，则函数在，上递减，在，上递增为偶数），在，内的极小值为为偶数），如下表：极值点135极小值0若，则，正确，若，则函数在，内的极小值为：这些极小值依次构成等比数列，其前项和，当时，，即不正确，故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．四．