31335313 微专题讲义：函数图像自身的对称 -2021-2022学年高一上学期数学复习沪教版（2020）必修第一册

【学生版】微专题：函数图像自身的对称【主题】1、一个函数图像本身的对称性（自对称性）；2、在平面直角坐标系中，两点A1、A2对称的几何特征与对应的代数特征；两点A1、A2对称的几何特征对应的代数特征两点A1、A2关于原点对称A1(x,y)、A2(－x,－y)两点A1、A2关于有轴对称A1(x,y)、A2(－x,y)两点A1、A2关于轴对称A1(x,y)、A2(x,－y)3、关于函数图像的常用结论（1）函数图像自身的轴对称：函数y＝f(x)的图像关于y轴对称⇔f(x)＝f(－x)；（2）函数图像自身的中心对称：函数y＝f(x)的图像关于原点对称⇔f(x)＝－f(－x)；【典例】题型1、利用对称性画图例1、作出下列函数的图像；（1）；（2）；【提示】；【解析】【说明】作函数图像一般有两种方法：直接法、描点法、图像变换法；特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；要熟练掌握基本函数图像的画法，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。题型2、利用对称性识图例2、函数的大致图像是（）B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】；【说明】。题型3、验证：函数的图像关于轴对称的充要条件是：例3、函数的图像关于轴对称的充要条件是：函数满足【提示】；【证明】【说明】；题型4、验证：函数的图像关于点对称的充要条件是：。例4、函数的图像关于点对称的充要条件是：。【提示】；【证明】【说明】；题型5、利用充要条件判别图形特征例5、函数的图像的对称性为（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例6、函数的大致图像为（）A．B．C． D．【提示】；【答案】；【解析】【归纳】关于函数图像常用结论1．函数图象自身的轴对称：f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；2．函数图象自身的中心对称f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于原点对称；【即时练习】1、函数的图像大致为下图的（）2、函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3、函数f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的图像关于对称。4、在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为_____.5、直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围。6、画出函数f(x)＝eq\f(x·2x,|x|)的大致图像；【教师版】微专题：函数图像自身的对称【主题】1、一个函数图像本身的对称性（自对称性）；2、在平面直角坐标系中，两点A1、A2对称的几何特征与对应的代数特征；两点A1、A2对称的几何特征对应的代数特征两点A1、A2关于原点对称A1(x,y)、A2(－x,－y)两点A1、A2关于有轴对称A1(x,y)、A2(－x,y)两点A1、A2关于轴对称A1(x,y)、A2(x,－y)3、关于函数图像的常用结论（1）函数图像自身的轴对称：函数y＝f(x)的图像关于y轴对称⇔f(x)＝f(－x)；（2）函数图像自身的中心对称：函数y＝f(x)的图像关于原点对称⇔f(x)＝－f(－x)；【典例】题型1、利用对称性画图例1、作出下列函数的图像；（1）；（2）；【提示】注意：先根据解析式研究函数的对称性；【解析】（1）由不妨设，而，所以，函数图像关于轴对称，作出的图像，再将的图像关于轴对称，即得的图像，如图中实线部分；（2）由不妨设，且，所以，函数图像关于轴对称，因为，原函数可化简为，先用描点法作出上的图像，再根据对称性作出上的图像，即得函数的图像，如图：【说明】作函数图像一般有两种方法：直接法、描点法、图像变换法；特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；要熟练掌握基本函数图像的画法，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。题型2、利用对称性识图例2、函数的大致图像是（）B．C．D．【提示】注意：依据解析式分析函数的图像特征；【答案】C；【解析】不妨设，则，所以，图像关于轴对称，由已知，原函数可变形为：，所以，答案为：C；；【说明】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换，一般地，通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，对称区间上的图像，则由对称性研究。识图：对于给定的函数的图像，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性等特点，应引起足够的重视。题型3、验证：函数的图像关于轴对称的充要条件是：例3、函数的图像关于轴对称的充要条件是：函数满足【提示】注意：用集合观点理解“函数图像”；【证明】（充分性）由“函数满足”；不妨设函数的图像上任意一点，则满足，又因为满足，则有，则也在函数的图像上，所以，函数的图像关于轴对称；（必要性）由“函数的图像关于轴对称”；不妨设函数的图像上任意一点，则满足，而点关于轴对称点为，又因为函数的图像关于轴对称，则点也在函数的图像上，则，所以；综上，函数的图像关于轴对称的充要条件是：；【说明】本题的证明，既验证了结论；又体验了证明图像关于轴对称的代数方法；题型4、验证：函数的图像关于点对称的充要条件是：。例4、函数的图像关于点对称的充要条件是：。【提示】注意：用集合观点理解“函数图像”；【证明】（充分性）设点是函数图像上任一点，则(*)；因为，所以，由(*)，得；所以，点也在函数图像上，而点与点关于点对称，充分性得证；（必要性）设点是函数图像上任一点，则(*)；因为，点关于点的对称点也在图像上，所以，，即(**)由(*)，(**)，得，必要性得证。【说明】本题的证明，既验证了结论；又体验了证明图像关于原点对称的代数方法；题型5、利用充要条件判别图形特征例5、函数的图像的对称性为（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【提示】注意：分析与判断函数解析式的代数特征；【答案】B；【解析】因为，所以，所以函数图像关于轴对称；故选：B；【说明】注意：在保证有意义的前提下，先化简再判断；例6、函数的大致图像为（）A．B．C． D．【提示】先“分解”已知函数为“若干”个初等函数；【答案】D；【解析】函数的定义域为，且满足，所以，图像关于原点成中心对称；（或，根据“选择题”特点，取特殊值，当时，，排除B和C；当时，，排除A；）故选：D.【归纳】关于函数图像常用结论1．函数图象自身的轴对称：f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；2．函数图象自身的中心对称f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于原点对称；【即时练习】1、函数的图像大致为下图的（）【答案】A2、函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是()【答案】A；【解析】y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>0,0，x＝0,－x2，x<0))为奇函数，奇函数图象关于原点对称．3、函数f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的图像关于对称。【答案】y轴；【解析】因为f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)＝ex＋e－x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的图像关于y轴对称；．4、在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为_____.【答案】【解析】在同一直角坐标系内,作出与的大致图像，如下图:由题意可知.5、直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围。【解析】y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0，,x2＋x＋a，x<0，))作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－eq\f(1,4)，要使y＝1与其有四个交点，只需a－eq\f(1,4