2022-2023学年福建省福州四中高一下学期模块检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州四中2022-2023学年高一下学期模块检测数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部（）A.B.C.D.2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：.这组数据的第75百分位数是（）A.85B.86C.85.5D.86.53.端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙､丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.B.C.D.4.如图正方体的棱长为，以下结论中，错误的是（）A.异面直线与所成的角为B.直线与垂直C.直线与平行D.直线与平行5.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为，则（）A.B.C.D.6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球7.已知，函数，当时，有最小值，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.8.设是同一个半径为2的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：，（单位：环），下列说法正确的有（）A.这组数据的平均数是8B.这组数据的极差是4C.这组数据的中位数是8.5D.这组数据的方差是211.在中，角的对边分别是，则能确定为钝角的是（）A.B.C.D.12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则（）A.正方体的外接球的表面积为B.正方体的内切球的体积为C.正方体的棱长为2D.线段的最大值为三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈.已知这三个部门共有64人，其中部门24人，部门32人，则从部门中抽取的访谈人数__________.14.在中，，用斜二测画法画出的直观图，则该直观图的面积为__________.15.在正四面体（各棱都相等）中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为__________.16.已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________.四、解答题（共6小题）17.（10分）已知，且.（1）求的坐标.（2）当时，若，求与的夹角的正弦值.18.（12分）已知分别为内角的对边，且.（1）求角；（2）若，求.19.（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.20.（12分）如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为.（1）求证：平面平面.（2）求二面角的平面角的正切值.21.（12分）甲､乙､丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.8910111213频数312021（1）试判断甲､乙､丙选择的计酬方式，并说明理由；（2）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（3）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.

22.（12分）已知正三角形的边长为是边上的高，分别是的中点，现将三角形沿翻折至的位置，使平面平面，如图所示.（1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）若三棱锥的体积为，求实数的值.；（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

——★参考答案★——一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.A〖解析〗由，得，，则的虚部为.故选：A.2.B〖解析〗从小到大的顺序排列数据为：，因为，所以这组数据的75百分位数是第八个数据86，故选：B.3.B〖解析〗端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙､丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，这段时间内至少1人回老家过节的概率为：.故选：B.4.C〖解析〗对A，正方体中，且，故平行四边形，故，由题意得正，故异面直线与所成的角为直线与所成的角为，故正确；对B，因为正方形，故直线与垂直，又，故与垂直，故正确；对C，因为平面，故，又平面，故平面，因为平面，故直线与垂直，故错误；对D，由可知平行四边形，故正确.故选：C.5.B〖解析〗某7个数的平均数为3，方差为3，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为，，，故选：B.6.C〖解析〗对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，不正确；故选：C.7.C〖解析〗，，当时，取得最小值，即也取得最小值，，在上的投影向量为.故选：C.8.D〖解析〗为等腰三角形且面积为，可得，解得，设球心为的外心为，显然在的延长线与球的交点时三棱锥体积最大，如图所示：外接圆的半径为，且三棱锥高的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为：.故选：D.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9.BCD〖解析〗若，由与相交或平行，A错；若，则，又，所以正确；若，则，因为，所以正确；若，则，则内存在直线与平行，由得，则得正确.故选：BCD.10.AB〖解析〗对于，这组数据的平均数是，故A正确；对于，这组数据的极差是，故B正确；对于，这组数据从小到大为，这组数据的中位数是8，故C错误；对于，这组数据的方差是，故D错误.故选：AB.11.ACD〖解析〗选项A，由正弦定理及，知，由余弦定理得，，所以为钝角，即选项A正确；选项，则，显然不可能为钝角，即选项B错误；选项C，由正弦定理及，得，因为，所以，又，所以，因为，所以，所以为钝角，即选项C正确；选项D，由，知，因为，所以，即，所以，所以为钝角，即选项D正确.故选：ACD.12.ABC〖解析〗设正方体的棱长为，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即，内切球为棱长的一半，即，由于和为外接球和内切球上的动点，对于C：所以，解得.故C正确；对于A：所以外接球的表面积为，故A正确；对于B：内切球的体积为，故B正确；对于D：线段的最大值为，故D错误.故选：ABC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.2〖解析〗由题意可知，部门一共有人，故采用分层抽样的方法从三个部门中抽取16名员工，则从部门中抽取的访谈人数为.故〖答案〗为：2.14.〖解析〗如图所示，作出底边上的高，则，所以，所以该直观图的面积.故〖答案〗为：.15.〖解析〗取的中点，连接，分别是的中点，，为异面直线与所成的角，设正四面体的棱长为2，则，在中，.故〖答案〗是16.〖解析〗圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，可得.由的面积为，可得，即，即.与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：.则该圆锥的侧面积：.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题）17.解：（1），，或.（2）当，，，即与的夹角的正弦值为.18.解：（1）由正弦定理及，得.，，即，，.（2），由余弦定理，可得：，可得：，解得或（负值舍去）.19.解：（1）由频率分布直方图，得：分数在内的频率为：对应的高度为，补全后的直方图如图所示：（2）由频率分布直方图得：平均分为，的频率为,的频率为：，中位数为：；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为中抽取的学生数为2人，分数段为中抽取的学生数为4人，将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数为，至多有1人在分数段内包含的基本事件为，至多有1人在分数段120130内的概率为.20.（1）证明：平面，又，平面，又是的中点面面面，（2）解：平面，面面.，从而为二面角的平面角，直线与直线所成的角为过点作于点，连接，则在中，由勾股定理得.在Rt中，.在Rt中，故二面角的正切值为.21.解：（1）按计酬方式一､二的收入分别记为，，，所以甲选择计酬方式二；由频数分布表知频率最大的，，，所以乙选择计酬方式一；的平均值为，所以丙选择计酬方式二.（2）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，所以丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义.（3）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为.22.解：已知正三角形的边长为是边上的高，分别是的中点，现将三角形沿翻折至的位置，使平面平面，（1）平面.理由如下：在中，分别是的中点，又平面平面，平面；（2）由题意，得平面平面平面，取的中点，连接，则，平面，且，易得，三棱锥的体积为，，解得；（3）在线段上存在一点，使得，理由如下：易知三角形为正三角形，过作交于点，连接，过作交于点，连接，则点即所求，平面，平面，又，平面，又，故，从而.福建省福州四中2022-2023学年高一下学期模块检测数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部（）A.B.C.D.2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：.这组数据的第75百分位数是（）A.85B.86C.85.5D.86.53.端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙､丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.B.C.D.4.如图正方体的棱长为，以下结论中，错误的是（）A.异面直线与所成的角为B.直线与垂直C.直线与平行D.直线与平行5.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为，则（）A.B.C.D.6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球7.已知，函数，当时，有最小值，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.8.设是同一个半径为2的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：，（单位：环），下列说法正确的有（）A.这组数据的平均数是8B.这组数据的极差是4C.这组数据的中位数是8.5D.这组数据的方差是211.在中，角的对边分别是，则能确定为钝角的是（）A.B.C.D.12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则（）A.正方体的外接球的表面积为B.正方体的内切球的体积为C.正方体的棱长为2D.线段的最大值为三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈.已知这三个部门共有64人，其中部门24人，部门32人，则从部门中抽取的访谈人数__________.14.在中，，用斜二测画法画出的直观图，则该直观图的面积为__________.15.在正四面体（各棱都相等）中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为__________.16.已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________.四、解答题（共6小题）17.（10分）已知，且.（1）求的坐标.（2）当时，若，求与的夹角的正弦值.18.（12分）已知分别为内角的对边，且.（1）求角；（2）若，求.19.（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.20.（12分）如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为.（1）求证：平面平面.（2）求二面角的平面角的正切值.21.（12分）甲､乙､丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.8910111213频数312021（1）试判断甲､乙､丙选择的计酬方式，并说明理由；（2）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（3）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.

22.（12分）已知正三角形的边长为是边上的高，分别是的中点，现将三角形沿翻折至的位置，使平面平面，如图所示.（1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）若三棱锥的体积为，求实数的值.；（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

——★参考答案★——一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.A〖解析〗由，得，，则的虚部为.故选：A.2.B〖解析〗从小到大的顺序排列数据为：，因为，所以这组数据的75百分位数是第八个数据86，故选：B.3.B〖解析〗端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙､丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，这段时间内至少1人回老家过节的概率为：.故选：B.4.C〖解析〗对A，正方体中，且，故平行四边形，故，由题意得正，故异面直线与所成的角为直线与所成的角为，故正确；对B，因为正方形，故直线与垂直，又，故与垂直，故正确；对C，因为平面，故，又平面，故平面，因为平面，故直线与垂直，故错误；对D，由可知平行四边形，故正确.故选：C.5.B〖解析〗某7个数的平均数为3，方差为3，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为，，，故选：B.6.C〖解析〗对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，不正确；故选：C.7.C〖解析〗，，当时，取得最小值，即也取得最小值，，在上的投影向量为.故选：C.8.D〖解析〗为等腰三角形且面积为，可得，解得，设球心为的外心为，显然在的延长线与球的交点时三棱锥体积最大，如图所示：外接圆的半径为，且三棱锥高的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为：.故选：D.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9.BCD〖解析〗若，由与相交或平行，A错；若，则，又，所以正确；若，则，因为，所以正确；若，则，则内存在直线与平行，由得，则得正确.故选：BCD.10.AB〖解析〗对于，这组数据的平均数是，故A正确；对于，这组数据的极差是，故B正确；对于，这组数据从小到大为，这组数据的中位数是8，故C错误；对于，这组数据的方差是，故D错误.故选：AB.11.ACD〖解析〗选项A，由正弦定理及，知，由余弦定理得，，所以为钝角，即选项A正确；选项，则，显然不可能为钝角，即选项B错误；选项C，由正弦定理及，得，因为，所以，又，所以，因为，所以，所以为钝角，即选项C正确；选项D，由，知，因为，所以，即，所以，所以为钝角，即选项D正确.故选：ACD.12.ABC〖解析〗设正方体的棱长为，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即，内切球为棱长的一半，即，由于和为外接球和内切球上的动点，对于C：所以，解得.故C正确；对于A：所以外接球的表面积为，故A正确；对于B：内切球的体积为，故B正确；对于D：线段的最大值为，故D错误.故选：ABC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.2〖解析〗由题意可知，部门一共有人，故采用分层抽样的方法从三个部门中抽取16名员工，则从部门中抽取的访谈人数为.故〖答案〗为：2.14.〖解析〗如图所示，作出底边上的高，则，所以，所以该直观图的面积.故〖答案〗为：.15.〖解析〗取的中点，连接，分别是的中点，，为异面直线与所成的角，设正四面体的棱长为2，则，在中，.故〖答案