《平面向量的运算》平面向量及其应用(第2课时向量的减法运算)课件

6.2平面向量的运算6.2.2向量的减法运算1.相反向量定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.性质：(1)对于相反向量有：a+(-a)=0.(2)若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.【思考】有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“长度相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等.2.向量的减法(1)定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)作法：在平面内任取一点O，作=a，=b，则

=a-b，如图所示.(3)几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.【思考】(1)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法.(2)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量. (

)(3)向量与向量是相反向量. (

)提示：(1)√.由向量减法法则知正确.(2)×.由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3)√.向量与向量长度相等，方向相反.2.在△ABC中，若=a，=b，则等于 (

)

A.a B.a+b

C.b-a D.a-b【解析】选D.=a-b.3.设b是a的相反向量，则下列说法正确的有________.(填序号)

①a与b的长度必相等；②a∥b；③a与b一定不相等；④a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0，故③不正确.其他均正确.答案：①②④类型一向量的减法【典例】1.(2019·汕头高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于 (

)

2.如图，已知向量a，b，c，求作a-b-c.【思维·引】1.结合图形，利用向量减法的三角形法则求解.2.先作a-b，再作(a-b)-c即可.【解析】1.选D.如图所示，2.如图，以A为起点分别作向量，使=a，

=b.连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使=c.连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a-b-c.【内化·悟】1.作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？提示：平移向量使它们共起点.2.在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？提示：可以.【类题·通】关于向量的减法(1)作两向量的差的步骤(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【习练·破】如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.【解析】因为a+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得b-c=，a+d=.类型二向量加减法运算【典例】1.(2019·衡水高一检测)下列各式：其中结果为零向量的个数是 (

)A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2019·临沂高一检测)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则||=世纪金榜导学号(

)A.8 B.4 C.2 D.1【思维·引】利用三角形法则或平行四边形法则求解.【解析】1.选D.①=0；②

=0；③

=0；④=0.2.选C.由可知，垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||=2.【内化·悟】平行四边形ABCD中，||与||分别是指什么？若||=||，说明该平行四边形是什么图形？提示：||与||分别是指两条对角线的长，若||=||，说明该平行四边形是矩形.【类题·通】1.向量减法运算的常用方法2.向量加法与减法的几何意义的联系如图所示，平行四边形ABCD中，若=a，=b，则

=a+b，=a-b.【发散·拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)当a，b不共线时，作=a，=b，则a+b=，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法如图(2)所示，此时|a+b|=|a|+|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法如图(3)所示，此时|a+b|=|a|-|b|.综上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【延伸·练】若||=8，||=5，则||的取值范围是________.

【解析】由及||=||=8，当与同向时，|BC|max=13，当与反向时，|BC|min=3，所以3≤||=|+|≤13，即||∈[3，13].答案：[3，13]【习练·破】化简下列各式：【解析】(1)方法一：原式=方法二：原式=(2)方法一：原式=方法二：原式=【加练·固】下列各式中不能化简为的是 (

)【解析】选D.选项A中，选项B中，选项C中，类型三向量加减运算几何意义的应用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量世纪金榜导学号【思维·引】注意相等向量，利用向量加减运算的三角形法则求解.【解析】由平行四边形的性质可知=c，由向量的减法可知：=b-a，由向量的加法可知

=b-a+c.【习练·破】本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以=c，=b-a，

=b-a+c.角度2求解或证明几何问题【典例】(2019·临沂高一检测)已知非零向量a，b满足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，则|a+b|的值为________. 世纪金榜导学号

【思维·引】作出图形，利用向量加减法的几何意义求解.【解析】如图，=a，=b，则||=|a-b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则||=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形.根据矩形的对角线相等有=4，即|a+b|=4.答案：4【内化·悟】已知△ABC中，||=+1，||=-1，=4，我们能否判断该几何图形的形状？提示：能.是直角三角形.【类题·通】利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量.(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题.【习练·破】1.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则=________.

【解析】因为∠DAB=60°，AB=AD，所以△ABD为等边三角形.又因为||=2，所以OB=1.在Rt△AOB中，所以答案：22.如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知=a，=b，=c，

=e，用a，b，c，e表示向量.【解析】在△OBE中，有=e-c，在△ABO中，

=e-c-a，在△ABD中，

=a+b，所以在△OAD中，

=e-c-a+a+b=e-c+b.【加练·固】如图所示，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示：【解析】(1)因为=b，=d，所以

=d-b.(2)因为=a，=b，=c，=f，所以=b+f-a-c.(3)因为=d，=f，所以=f-d.长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是