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文档简介
四川省遂宁市名校2024年中考冲刺卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,AB∥CD,FH平分∠BFG,∠EFB=58°,则下列说法错误的是()A.∠EGD=58° B.GF=GH C.∠FHG=61° D.FG=FH2.如图,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,∠A=120°,则∠D的度数为()A.30° B.60° C.50° D.40°3.小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数,并绘制了直方图.根据图中信息,下列说法:①这栋居民楼共有居民140人②每周使用手机支付次数为28~35次的人数最多③有的人每周使用手机支付的次数在35~42次④每周使用手机支付不超过21次的有15人其中正确的是()A.①② B.②③ C.③④ D.④4.如图,在中,、分别为、边上的点,,与相交于点,则下列结论一定正确的是()A. B.C. D.5.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为()A.6 B.8 C.10 D.126.在同一平面内,下列说法:①过两点有且只有一条直线;②两条不相同的直线有且只有一个公共点;③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中正确的个数为(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是()A.x1≠x2 B.x1+x2>0 C.x1•x2>0 D.x1<0,x2<08.下列所给函数中,y随x的增大而减小的是()A.y=﹣x﹣1 B.y=2x2(x≥0)C. D.y=x+19.某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是()劳动时间(小时)33.544.5人数1132A.中位数是4,众数是4 B.中位数是3.5,众数是4C.平均数是3.5,众数是4 D.平均数是4,众数是3.510.的绝对值是()A.﹣4 B. C.4 D.0.4二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.已知线段AB=2cm,点C在线段AB上,且AC2=BC·AB,则AC的长___________cm.12.在数轴上与所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是______.13.某一时刻,测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m.同时测得旗杆在阳光下的影长为30m,则旗杆的高为__________m.14.在我国著名的数学书九章算术中曾记载这样一个数学问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设羊价为x钱,则可列关于x的方程为______.15.已知点、都在反比例函数的图象上,若,则k的值可以取______写出一个符合条件的k值即可.16.已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是_____.17.一个n边形的内角和为1080°,则n=________.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,直线y=kx+b交BC于点E(1,m),交AB于点F(4,),反比例函数y=(x>0)的图象经过点E,F.(1)求反比例函数及一次函数解析式;(2)点P是线段EF上一点,连接PO、PA,若△POA的面积等于△EBF的面积,求点P的坐标.19.(5分)如图,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数的图象交于点A(-1,2),B(m,-1).(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)在x轴上是否存在点P(n,0),使△ABP为等腰三角形,请你直接写出P点的坐标.20.(8分)如图矩形ABCD中AB=6,AD=4,点P为AB上一点,把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠,使D点落在BC边上的D′处,直线l与CD边交于Q点.(1)在图(1)中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l.(保留作图痕迹,不写作法和理由)(2)若PD′⊥PD,①求线段AP的长度;②求sin∠QD′D.21.(10分)已知△ABC中,D为AB边上任意一点,DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α,(1)如图1所示,当α=60°时,求证:△DCE是等边三角形;(2)如图2所示,当α=45°时,求证:=;(3)如图3所示,当α为任意锐角时,请直接写出线段CE与DE的数量关系:=_____.22.(10分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题:“一千官军一千布,一官四疋无零数,四军才分布一疋,请问官军多少数.”其大意为:今有1000官兵分1000匹布,1官分4匹,4兵分1匹.问官和兵各几人?23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.求证:DE=CE.若∠CDE=35°,求∠A的度数.24.(14分)如图,直线y=﹣x+2与反比例函数(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.(1)求a,b的值及反比例函数的解析式;(2)若点P在直线y=﹣x+2上,且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标;(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
根据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到正确的结论.【详解】解:,故A选项正确;又故B选项正确;平分,,故C选项正确;,故选项错误;故选.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.2、A【解析】分析:根据平行线的性质求出∠C,求出∠DEC的度数,根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可.详解:∵AB∥CD,∴∠A+∠C=180°.∵∠A=120°,∴∠C=60°.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°.故选A.点睛:本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用,能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键.3、B【解析】
根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.【详解】解:①这栋居民楼共有居民3+10+15+22+30+25+20=125人,此结论错误;②每周使用手机支付次数为28~35次的人数最多,此结论正确;③每周使用手机支付的次数在35~42次所占比例为,此结论正确;④每周使用手机支付不超过21次的有3+10+15=28人,此结论错误;故选:B.【点睛】此题考查直方图的意义,解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据4、A【解析】
根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可.【详解】A.∵,∴,,∴,故A正确;B.∵,∴,故B不正确;C.∵,∴,故C不正确;D.∵,∴,故D不正确;故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段的长度成比例.推论:平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.5、C【解析】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∵∠ADE=∠EFC,∴∠B=∠EFC,△ADE∽△EFC,∴BD∥EF,,∴四边形BFED是平行四边形,∴BD=EF,∴,解得:DE=10.故选C.6、C【解析】
根据直线的性质公理,相交线的定义,垂线的性质,平行公理对各小题分析判断后即可得解.【详解】解:在同一平面内,①过两点有且只有一条直线,故①正确;②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点,平行没有公共点,故②错误;③在同一平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故③正确;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故④正确,综上所述,正确的有①③④共3个,故选C.【点睛】本题考查了平行公理,直线的性质,垂线的性质,以及相交线的定义,是基础概念题,熟记概念是解题的关键.7、A【解析】分析:A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;D、由x1•x2=﹣2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.综上即可得出结论.详解:A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,∴x1≠x2,结论A正确;B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,∴B结论不一定正确;C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,∴x1•x2=﹣2,结论C错误;D、∵x1•x2=﹣2,∴x1<0,x2>0,结论D错误.故选A.点睛:本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.8、A【解析】
根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y随x的增大而减小的选项.【详解】解:A.此函数为一次函数,y随x的增大而减小,正确;B.此函数为二次函数,当x<0时,y随x的增大而减小,错误;C.此函数为反比例函数,在每个象限,y随x的增大而减小,错误;D.此函数为一次函数,y随x的增大而增大,错误.故选A.【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质,掌握函数的增减性是解决问题的关键.9、A【解析】
根据众数和中位数的概念求解.【详解】这组数据中4出现的次数最多,众数为4,∵共有7个人,∴第4个人的劳动时间为中位数,所以中位数为4,故选A.【点睛】本题考查众数与中位数的意义,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.10、B【解析】分析:根据绝对值的性质,一个负数的绝对值等于其相反数,可有相反数的意义求解.详解:因为-的相反数为所以-的绝对值为.故选:B点睛:此题主要考查了求一个数的绝对值,关键是明确绝对值的性质,一个正数的绝对值等于本身,0的绝对值是0,一个负数的绝对值为其相反数.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】
设AC=x,则BC=2-x,根据AC2=BC·AB列方程求解即可.【详解】解:设AC=x,则BC=2-x,根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),解得:x=或(舍去).故答案为.【点睛】本题考查了黄金分割的应用,关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.12、2或﹣1【解析】解:当该点在﹣2的右边时,由题意可知:该点所表示的数为2,当该点在﹣2的左边时,由题意可知:该点所表示的数为﹣1.故答案为2或﹣1.点睛:本题考查数轴,涉及有理数的加减运算、分类讨论的思想.13、1.【解析】分析:根据同一时刻物高与影长成比例,列出比例式再代入数据计算即可.详解:∵==,解得:旗杆的高度=×30=1.故答案为1.点睛:本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立数学模型来解决问题.14、【解析】
设羊价为x钱,根据题意可得合伙的人数为或,由合伙人数不变可得方程.【详解】设羊价为x钱,根据题意可得方程:,故答案为:.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.15、-1【解析】
利用反比例函数的性质,即可得到反比例函数图象在第一、三象限,进而得出,据此可得k的取值.【详解】解:点、都在反比例函数的图象上,,
在每个象限内,y随着x的增大而增大,
反比例函数图象在第一、三象限,
,
的值可以取等,答案不唯一
故答案为:.【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.16、27π【解析】试题分析:设扇形的半径为r.则,解得r=9,∴扇形的面积==27π.故答案为27π.考点:扇形面积的计算.17、1【解析】
直接根据内角和公式计算即可求解.【详解】(n﹣2)•110°=1010°,解得n=1.故答案为1.【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式:.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1);;(2)点P坐标为(,).【解析】
(1)将F(4,)代入,即可求出反比例函数的解析式;再根据求出E点坐标,将E、F两点坐标代入,即可求出一次函数解析式;(2)先求出△EBF的面积,点P是线段EF上一点,可设点P坐标为,根据面积公式即可求出P点坐标.【详解】解:(1)∵反比例函数经过点,∴n=2,反比例函数解析式为.∵的图象经过点E(1,m),∴m=2,点E坐标为(1,2).∵直线过点,点,∴,解得,∴一次函数解析式为;(2)∵点E坐标为(1,2),点F坐标为,∴点B坐标为(4,2),∴BE=3,BF=,∴,∴.点P是线段EF上一点,可设点P坐标为,∴,解得,∴点P坐标为.【点睛】本题主要考查反比例函数,一次函数的解析式以及三角形的面积公式.19、(1)反比例函数的解析式为;一次函数的解析式为y=-x+1;(2)满足条件的P点的坐标为(-1+,0)或(-1-,0)或(2+,0)或(2-,0)或(0,0).【解析】
(1)将A点代入求出k2,从而求出反比例函数方程,再联立将B点代入即可求出一次函数方程.(2)令PA=PB,求出P.令AP=AB,求P.令BP=BA,求P.根据坐标距离公式计算即可.【详解】(1)把A(-1,2)代入,得到k2=-2,∴反比例函数的解析式为.∵B(m,-1)在上,∴m=2,由题意,解得:,∴一次函数的解析式为y=-x+1.(2)满足条件的P点的坐标为(-1+,0)或(-1-,0)或(2+,0)或(2-,0)或(0,0).【点睛】本题考查一次函数图像与性质和反比例函数的图像和性质,解题的关键是待定系数法,分三种情况讨论.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)根据题意作出图形即可;(2)由(1)知,PD=PD′,根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′,根据全等三角形的性质得到AD=PB=4,得到AP=2;根据勾股定理得到PD==2,根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】(1)连接PD,以P为圆心,PD为半径画弧交BC于D′,过P作DD′的垂线交CD于Q,则直线PQ即为所求;(2)由(1)知,PD=PD′,∵PD′⊥PD,∴∠DPD′=90°,∵∠A=90°,∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°,∴∠ADP=∠BPD′,在△ADP与△BPD′中,,∴△ADP≌△BPD′,∴AD=PB=4,AP=BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4,∴AP=2;∴PD==2,BD′=2∴CD′=BC-BD′=4-2=2∵PD=PD′,PD⊥PD′,∵DD′=PD=2,∵PQ垂直平分DD′,连接QD′则DQ=D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=.【点睛】本题考查了作图-轴对称变换,矩形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.21、1【解析】试题分析:(1)证明△CFD≌△DAE即可解决问题.(2)如图2中,作FG⊥AC于G.只要证明△CFD∽△DAE,推出=,再证明CF=AD即可.(3)证明EC=ED即可解决问题.试题解析:(1)证明:如图1中,∵∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴BC=BA.∵DF∥AC,∴∠BFD=∠BCA=60°,∠BDF=∠BAC=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BF=BD,∴CF=AD,∠CFD=120°.∵AE∥BC,∴∠B+∠DAE=180°,∴∠DAE=∠CFD=120°.∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE.∵∠CDE=∠B=60°,∴∠FCD=∠ADE,∴△CFD≌△DAE,∴DC=DE.∵∠CDE=60°,∴△CDE是等边三角形.(2)证明:如图2中,作FG⊥AC于G.∵∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.∵DF∥AC,∴∠BDF=∠BAC=90°,∴∠BFD=45°,∠DFC=135°.∵AE∥BC,∴∠BAE+∠B=180°,∴∠DFC=∠DAE=135°.∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE.∵∠CDE=∠B=45°,∴∠FCD=∠ADE,∴△CFD∽△DAE,∴=.∵四边形ADFG是矩形,FC=FG,∴FG=AD,CF=AD,∴=.(3)解:如图3中,设AC与DE交于点O.∵AE∥BC,∴∠EAO=∠ACB.∵∠CDE=∠ACB,∴∠CDO=∠OAE.∵∠COD=∠EOA,∴△COD∽△EOA,∴=,∴=.∵∠COE=∠DOA,∴△COE∽△DOA,∴∠CEO=∠DAO.∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°,∠BAC+∠B+∠ACB=180°.∵∠CDE=∠B=∠ACB,∴∠EDC=∠ECD,∴EC=ED,∴=1.点睛:本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.22、官有200人,兵有800人【解析】
设官有x人,兵有y人,根据1000官兵正好分1000匹布,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.【详解】解:设官有x人,兵有y人,依题意,得:,解得:.答:官有200人,兵有800人.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用,根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.23、(1)见解析;(2)40°.【解析】
(1)根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD,由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD,进而可得出∠EDC=∠ECD,再利用等角对等边即可证出DE=CE;(2)由(1)可得出∠ECD=∠EDC=35°,进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°,再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数.【详解】(1)∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ECD.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠EDC=∠ECD,∴DE=CE.(2)∵∠ECD=∠EDC=35°,∴∠ACB=2∠ECD=70°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线.解题的关键是:(1
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