苏教版必修第二册1323直线与平面垂直课件-1

数学第13章立体几何初步直线与平面垂直01预习案自主学习02探究案讲练互动03自测案当堂达标04应用案巩固提升1．直线与平面垂直任意一条垂线垂面垂足(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理两条相交能将定理中的“两条相交直线”中的“相交”去掉吗？提示：不能，判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面垂直的性质定理平行a∥b(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．4．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．5．直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的______，斜线与平面的交点叫作______，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．如图所示，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的______．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，叫作这条直线与这个平面所成的角．斜线斜足射影锐角(2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．(3)范围：直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(

)(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(

)(3)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(

)(4)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.()(5)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.()×××√√2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(

)A．平行 B．垂直C．在平面α内 D．无法确定√3．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(

)A．a∥α B．a⊂αC．a⊥α D．a是α的斜线√4.在正方体ABCD­A1B1C1D1中．(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．解析：(1)由线面角的定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1，且AB1⊂平面AB1C1D，B1C1⊂平面AB1C1D，所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.答案：(1)45°

(2)30°

(3)90°5．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有______________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC

(2)BC探究点1直线与平面垂直的定义(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(

)A．平行

B．相交C．异面

D．垂直√(2)如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空(

)①三角形的两边

②梯形的两边③圆的两条直径

④正六边形的两条边A．①③ B．②C．②④ D．①②④√【解析】

(1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m√解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．2．下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④探究点2直线与平面垂直的判定如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中,∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B1B的中点．求证：A1D⊥平面ADC.(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]

要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．

如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.探究点3线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C.

(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【证明】

(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.

(1)求证：BD1∥平面ACE；(2)求证：BD1⊥AC.证明：(1)连接OE，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为OB＝OD，E为棱DD1的中点，所以BD1∥OE，又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因为BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又由BD1⊂平面BDD1，所以BD1⊥AC.如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(

)A．a⊥b，且a与b相交

B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．√2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(

)A．平面DD1C1C

B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1

D．平面A1DB解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.√3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(

)A