八年级数学下册第十八章勾股定理18.2勾股定理的逆定理18.2.2勾股定理及其逆定理的应用课件（新版）沪科版

第18章

勾股定理18.2勾股定理的逆定理第2课时

勾股定理及其逆定理

的应用名师点金勾股定理及其逆定理的应用：单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再求这个直角三角形的角和面积；综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．1类型勾股定理的验证1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一

种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧

面四边形ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接

CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形

BCC′D′的面积证明勾股

定理：a2＋b2＝c2.由题易知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.∴∠CAC′＝90°.∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，∴(a＋b)(a＋b)＝

ab＋

ab＋

c2.

∴(a＋b)2＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.证明：2勾股定理在折叠中的应用类型2．(中考·泰州)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分别与CD相交于点O，G，且OE＝OD，求AP的长．∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，

AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.

根据题意得△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.解：在△ODP和△OEG中，∴△ODP≌△OEG.∴OP＝OG，PD＝GE.∴DG＝EP.

设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.

根据勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.

即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝，∴AP＝4.8.解：3勾股定理在最短路径中的应用类型3．(中考·资阳)如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒

需爬行的最短路径的长是(

)A．13cmB．2cmC.cmD．2cmA4勾股定理的逆定理在判断方向中的应用4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后

沿另一方向走80m到达菜地C

处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在

河边B处取水后是沿哪个方向

行走的？并说明理由．类型小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．解：5勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用5．如图，在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在格点(正方形网格的交点)上．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果保留根号)．(2)在AB，AC，AD，AE四条线段中，是否存在三条线段，使它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．类型(1)AB＝

AC＝

AD＝2AE＝2(2)存在，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．

理由：∵AB＝

AD＝2AC＝

∴AD2＋AB2＝AC2，

由勾股定理的逆定理可知，

线段AB，AC，AD

可以构成直角三角形．解：6勾股定理与它的逆定理的综合应用6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．类型如图，连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′，∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.

又∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3.由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BE′E＝

＝45°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.解：7勾股定理及其逆定理在网格中的应用7．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点上．(1)求四边形ABCD的面积．(2)你能判断AD与CD的位置关

系吗？请说出你的理由．类型(1)如图，将四边形ABCD分成4个小直角三角形，发现

每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正

方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个

网格面积的一半，即×52＝12.5.(2)AD⊥CD.理由如下：

在△ADC中，因为AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，

所以AD2＋CD2＝AC2，

即△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.解：8勾股定理的逆定理的实际应用8．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海.晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测，AC＝10nmile，AB＝6nmile，BC＝8nmile.若该可疑船只的速度为12.8nmile/h，则该可疑船只最早何时进入我国