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文档简介
2021-2022学年四川省资阳市雁江区九年级(上)期末数学试卷
(选用)
一、选择题。(本大题共10小题,每小题4分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只
有一个选项符合题意。
1.(4分)下列运算正确的是()
A.-12=iB.(-1)3=1C.V4=2D.=2
2.(4分)由于受疫情影响,人们减少了不必要的外出.据有关数据显示,资阳高铁站客流
量已连续两周下降,由每周。万人次下降至每周人万人次,设平均下降率为羽则根据题
意列方程正确的是()
A.a(1-x)=bB.a(1-x)2=bC.aCl-2x)=bD.a(1+x)2=b
3.(4分)如图,在Rt/VIBC中,ZC=90°,ZA,NB,NC的对边分别为“,b,c,则
下列结论中不正确的是()
A.a2+b2=c1B.sinB=cosA
C.tanA=_D.sin2A+cos2A=1
c
4.(4分)若x=0是关于x的一元二次方程(m-1)/+2%+序-1=0的解,则m的值为()
A.m=±1B.m=0C.m=lD.m--1
5.(4分)若里=A,则关于x的方程尤2+a尤+9=0的根的情况是()
a9
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.以上都有可能
6.(4分)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,那么△AOE与四边形。BCE
的面积之比是()
A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4
7.(4分)期末考试中出现了如图所示的一道题,小明同学从中任选了两个选项(每一个选
项被选中的机会均等),请问小明答对的概率是()
(不定项选择题)下列选项中,正确的有()
A.抛掷一枚硬币两次,出现一次正面、一次反面是必然事件
8我与W5是同类二次根式
C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.相似三角形的周长之比等于相似比
A.AB.Ac.AD.-L
62412
8.(4分)一次函数>=(k-1)x+k的图象如图所示,则化简依-1|+Jk2-4k+4的结果
是()
A.2左-3B.1C.-2k+3D.-1
9.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,ZC的平分线交AB于点D,增添下列条件仍然不
能判断△A8CSZ\CBD的是()
A
BC
A.ZA=36°B.BC=DCC.BC2^BDABD./B=/ACB
10.(4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),四边形0ABe是菱形,Z
AOC=60°,以OB为边作菱形OBBiCi,使顶点Bi在0C的延长线上,再以。21为边
作菱形08182c2,使顶点比在OQ的延长线上,再以082为边作菱形。&83c3,使顶
点囱在0C2的延长线上,按照此规律继续下去,则82021的坐标是()
A.(-31011,0)
22
20231011
C.(-(V3)2021-0)D.(O——,色o——)
22
二、填空题。(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)函数y=Mx-l的自变量x的取值范围是
12.(4分)如图,△ABC与△4B1C1是以原点。为位似中心的位似图形,且位似比为1:
2,则点A(1,2)在第一象限的对应点4的坐标是
13.(4分)某超市推出抽奖促销活动,在一个不透明的箱子里,装有写着“一等奖”、“二
等奖”的乒乓球共100个,每次从中抽取一个,抽奖后放回,通过多次试验发现,抽中
“二等奖”的频率稳定在且左右,则“一等奖”的个数可能是.
4
14.(4分)若a、0是关于x的一元二次方程尤-1=0的两个实数根,则代数式(?6+邓2
的值是.
15.(4分)如图,点尸是边长为1的正方形A8C。的对角线AC上的一个动点,点E是8c
中点,连结PE,并将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF,连结EF,则EF的最小值
是
16.(4分)如图,A、8是函数y=K(尤>0)图象上的两点,分别过点4、2作x轴的垂线,
x
垂足分别为点C、点D,点E为CD中点,且AELBE,OC=BD=1,则k的值是.
三、解答题。(本大题共8小题,共86分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
17.(9分)先化简,再求值:).仝2,其中
X-1x2-]x+1
18.(10分)用适当的方法解下列方程:
(1)3f=4x;
(2)X2+2X=5.
19.(10分)“中国禁毒”教育活动已在青少年中全面展开,某兴趣小组为了解本班学生对
禁毒知识的了解情况,对本班所有同学进行了问卷调查,根据了解程度分为了“特别了
解”、“比较了解”、“了解一些”和“不了解”四个等级,分别记为等级A、B、C、D,
并绘制了如图所示的统计图.
(1)请补全条形统计图,并算出8所在扇形的圆心角度数;
(2)若A中有2名女生,现从A中抽出两名学生,代表本班参加学校的禁毒知识竞答,
则恰好抽中一名女生、一名男生的概率是多少?请画出树状图并求出概率.
了解了解一些
20.(10分)如图,在4X3的正方形方格中,△ABC和△£)£:/的顶点都在边长为1的小正
方形的顶点上.
(1)填空:ZABC=°,BC=;
(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.
21.(11分)随着“运动让人健康”的理念深入人心,运动装越来越受欢迎,某品牌的运动
装在销售中发现,以120元/件的价格购进,并以200元/件的价格售出时,可售出40件,
且每降价1元则可多售出2件.
(1)商家销售此品牌运动装要实现盈利4200元的目标,则应降价多少元?
(2)当销售价定为多少元时,销售该品牌运动装获利最多?最多利润是多少?
22.(11分)如图,矩形A8CD中,点E是A8的中点,过点E作CE的垂线,交CD的延
长线于点G,交于点F,且F是中点.
(1)求证:AEBC^ACEG;
(2)求证:LBD2=GD,GC.
23.(12分)如图,在操场上的A处,测得旗杆顶端N点的仰角是30。,前进20米后到达
旗台的底端2处,测得旗杆顶端N点的仰角是45。,继续沿着坡比为1:次的斜坡
上升到C处,此时又测得旗杆顶端N点的仰角是60°,旗杆MN垂直于水平线AD,点
A、B、。在同一直线上,CM//AD,求旗杆MN的高度.
N
24.(13分)在AABC中,点E是AB边上一点,点。是射线BC上的点.
(1)如图1,若△ABC是等边三角形,与CE相交于点足点E是的中点,BD:
BC=1:4,求处的值;
FD
(2)如图2,若去掉(1)中“△ABC是等边三角形”这个条件,其它条件不变,则空
FD
的值是否发生改变,请证明你的判断;
(3)如图3,若AB=AC,tanB=2,点。在BC延长线上,CD=1且CD:BC=1:3,
AC与。E1相交于点RAE:BE=1:2,求AF的长.
图1图2图3
2021-2022学年四川省资阳市雁江区九年级(上)期末数学试卷
(选用)
参考答案与试题解析
一、选择题。(本大题共10小题,每小题4分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只
有一个选项符合题意。
1.【考点】立方根;算术平方根.
【分析】根据有理数的乘方,算术平方根以及立方根的定义进行计算即可.
【解答】解:A.由于因此选项A不符合题意;
B.由于(-1)3=-1,因此选项3不符合题意;
C.由于22=4,所以«=2,因此选项C符合题意;
D.由于(-2)3=-8,所以小豆=-2,因此选项D不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查有理数的乘方,算术平方根、立方根,理解算术平方根、立方根的定
义,掌握有理数乘方的计算方法是正确解答的前提.
2.【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】等量关系为:aX(1-下降率)2="据此列出方程即可.
【解答】解:设平均下降率为x,根据题意得:
a(1-x)2=6,
故选:B.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,得到2年内变化情况的等量关系是
解决本题的关键.
3.【考点】互余两角三角函数的关系;勾股定理;同角三角函数的关系.
【分析】根据直角三角形的边角关系逐项进行判断即可.
【解答】解:在Rt^ABC中,ZC=90°,ZA,/B,/C的对边分别为a,b,c,
由勾股定理可得/+廿=02,因此选项A不符合题意;
由锐角三角函数的定义可得sinB=A=cosA,因此选项B不符合题意;
C
由锐角三角函数的定义可知,tanA=包,因此选项。符合题意;
b
222
由于sin2A+cos2A=(且)2+(A)?=*+]=_2_=1,因此选项0不符合题意;
cCcCC2C2
故选:C.
【点评】本题考查同角的三角函数之间的关系,勾股定理以及互余两角三角函数的关系,
掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提.
4.【考点】一元二次方程的解;一元二次方程的定义.
【分析】先把%=0代入一元二次方程得机2一i=o,解方程得到加=1或小=-1,然后
根据一元二次方程的定义确定m的值.
【解答】解:把x=0代入一元二次方程(w-1)x1+2x+m2-1=0得nr-1=0,
解得m=l或m=-1,
因为m-17^0,
所以m的值为-1.
故选:D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解.
5.【考点】根的判别式.
【分析】根据一元二次方程根的判别式,可以判断该方程根的情况,从而可以解答本题.
【解答】解:
a9
/.a2=36,
"."x1+ax+9=Q,
:.A=a2-4XlX9=fl2-36=0,
方程有两个相等的实数根,
故选:A.
【点评】本题考查根的判别式,解答本题的关键是明确题意,会用根的判别式判断根的
情况.
6.【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.
【分析】由。E〃8C,得△AOES/XABC且相似比为1:2,从而得面积比为1:4,则可
推出△ADE与四边形DBCE的面积之比.
【解答】解:,:DE//BC
...AADEsAABC
•••AD=1
AB2
S1
•.•-A--A--D--E-=
,△ABC4
.SAADE11
••---------------~
S四边形DBCE4-13
故选:C.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质.(1)相似三角形周长的
比等于相似比.(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的
比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
7.【考点】列表法与树状图法;直角三角形斜边上的中线;随机事件.
【分析】画树状图,共有12个等可能的结果,选择C、。和。、C的结果有2个,再由
概率公式求解即可.
【解答】解:画树状图如图:
开始
ABCD
/T\/N/K/K
BCDACDABDABC
共有12个等可能的结果,小明答对的情况只有C、。和。、C这两种情况,
...小明答对的概率是2=1,
126
故选:A.
【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率,画出树状图得出所有可能出现的结果情
况是正确解答的关键.
8.【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限确定有关左的不等式组,求解即可.
【解答】解:由一次函数y=(4-1)x+k的图象知,.
10<k<2
解得l<k<2.
所以|k-1|+Vk2-4k+4=k-l+忙-2|=*-1+2-k=l.
故选:B.
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系,解题的关键是了解系数对函数图象的影
响,难度不大.
9.【考点】相似三角形的判定;等腰三角形的性质.
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.
【解答】解:
ZABC=ZACB,
•.•CD平分/ACB,
/ACD=/BCD,
当/A=36°时,
.•.NABC=NAC2=72°,
ZZ)CB=36°,
NA=/DCB,
又,:/DBC=ZABC,
:.△ABCs^CBD,故选项A不符合题意;
当8C=DC时,
:.ZCDB=ZCBD,
:.ZABC^ZACB^ZCBD=ZCDB,
:.△ABCsACBD,故选项B不符合题意;
当时,
•••-B-C=-B-D-,
ABBC
又,:4CBD=4ABC,
:.AABC^^CBD,故选项C不符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定,等腰三角形的性质,掌握相似三角形的判定方
法是解题的关键.
10.【考点】菱形的性质;规律型:点的坐标.
【分析】连接AC、BC1,分别交。2、。21于点。、Di,利用菱形的性质及勾股定理即可
得OB的长,进一步在菱形OBBiCi计算出OB1,过点Bi作BiCMLx轴于M,利用勾股
定理计算出OM,从而得81的坐标,同理可得比,切,Bs,Be,Bi,Bs,Bg,
Bio,Bn,Bn,根据循环规律可得B2021的坐标.
【解答】解:连接AC、BCi,分别交。8、。81于点。、£)1,
VA的坐标为(1,0),
:.OA^1,
:四边形。ABC是菱形,ZAOC=60°,
,OC=OA=1,OB=2OD,/CO£)=30°,ZCDO=90",
C£)=-L0「=」,
2UU2_
•,”=/+^)2噜,
08=
VZAOC=60°,
ZBiOCi=90°-60°=30°,
•・,四边形0851Ci是菱形,
,
:.ZC\D\O=90°,0C1=0B=V3。31=20。1,
在Rt^OCiDi中,C,D=—OC.
Ju1(2"12
,0Di=J(遍)2_(除)2号
081=2001=3,
过点Bi作BiM±x轴于点M,
同理可得:B2(O,3V3)-B3(4'挈>B[(冬挈),西(-27,0),
°,812773、「,8181V3、,“E大、
B-1
B6-2-)'72-2—)'BgC-81V3>
^24373s(Z29__243际),Bn(729,。),
;
D八2,2}Di八22
D,72973729、
B12(-^―,
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次菱形
的边长变成原来的«倍,即0Bn=(%)/I
V20214-12=168...5,
...32021的纵坐标符号与B5的相同,则82021在y轴的负半轴上,
又OB2028芯产22=3叫
.1.B2021的坐标为(-31011.0),
故选:A.
【点评】本题考查平面直角坐标系找规律,利用菱形的性质处理条件,掌握循环规律的
处理方法是解题的关键.
二、填空题。(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
n.【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于o列式计算即可得解.
【解答】解:根据题意得,x-1》0,
解得尤21.
故答案为x'l.
【点评】本题考查函数自变量的取值范围,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
12.【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【分析】若两个图形5c和B'C以原点为位似中心,相似比是左,△ABC上
一点的坐标是(尤,y),则在△4'B'C中,它的对应点的坐标是(kx,外)或(-fcc,
ky),进而求出即可.
【解答】解::△ABC与△ALBICI是以原点。为位似中心的位似图形,且位似比为1:
2,
VA(1,2),点A(1,2)在第一象限的对应点是4,
...点4的坐标为:(2,4).
故答案为:(2,4).
【点评】此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点
位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.
13.【考点】利用频率估计概率.
【分析】用球的个数乘以“一等奖”频率稳定值.
【解答】解:“一等奖”的个数可能是100X(1-1)=25(个),
4
故答案为:25.
【点评】本题主要考查利用频率估计概率,大量重复试验时,事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的
集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
14.【考点】根与系数的关系.
【分析】先由根与系数的关系得出a+B=-1,印=-1,再代入a2p+ap2=ap(a+0)计
算可得.
【解答】解:根据题意知a+P=-1,ap=-1,
则a2p+ap2
=aP(a+p)
=-IX(-1)
=1,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是掌握XI,尤2是一元二次方程
ax1+bx+c=Q(aWO)的两根时,xi+x2=--,xix2=—.
aa
15.【考点】旋转的性质;垂线段最短;直角三角形的性质;正方形的性质.
【分析】当EPLAC时,EF有最小值,过点P作PM1EF于点M,由直角三角形的性
质求出PE的长,由旋转的性质得出PE=PR/EPF=120°,求出PM的长,则可得出
答案.
【解答】解:如图,当EPLAC时,E尸有最小值,
A
过点P作PM±EF于点M,
:四边形ABC。是正方形,
AZACB=45°,
为的中点,BC=1,
.-.CE=A,
2
••"=冬E?
・・,将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF,
:.PE=PF,NEP尸=120°,
:.ZPEF=30°,
:.EM=PE-sm600=JZ-x—=—>
428
:.EF=2EM=^L,
4
:.EF的最小值是逅.
4
故答案为:逅.
4
【点评】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,直角三角形的性质,垂线段的性质,
熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
16.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】由题意可知A(1,k),B(k,1),则AC=O£)=左,CD=k-1,CE=DE=K11,
2
k~l
证得△ACES2\EZ)8,得到£0,即一整理得9-64+1=0,解得k=
EDBDkzl1
2
3+2&.
【解答】解:由题意可知A(1,k),B(左,1),
:.AC=OD=k,
:.CD=OD-OC^k-1,
•.•点E为CO中点,
."£=£>£1=.1,
2
:过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点C、点。,AE1BE,
:.ZAEC+ZBED^90°=/BED+/EBD,/ACE=/EDB=90°,
:./AEC=ZEBD,
:.△ACEs^EDB,
•ACCE
,•而同
k-1
2.>整理得后-6Z+l=0,
k-11
~2~
解得左=3+2、历(负数舍去),
故答案为:3+2^2.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,三角形相似的判定和性质,表示
出点的坐标是解题的关键.
三、解答题。(本大题共8小题,共86分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
17.【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将尤的值代入计算即可.
【解答】解:原式=[.___________+_____I_____户x+2
(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)x^l
=x+2.x+1
(x+1)(x-l)x+2
=1
x-1,
当X=A历时,
原式=以一
V2-1
=&+1-
【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算
法贝人
18.【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)先移项,再利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于X
的一元一次方程,再进一步求解即可;
(2)两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,再开方即可得.
【解答】解:(1)V3?=4x,
3X2-4x=0,
贝Ux(3x-4)=0,
.'.x—Q或3x-4=0,
解得尤1=0,Xc=生;
X23
(2)VX2+2X=5,
.'.X2+2X+1—6,
(x+l)2=6,
贝ljx+l=士证,
;.X1=-1+&,XI—-1-遍.
【点评】本题主要考查解一元二次方程,解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、
因式分解法、公式法及配方法,解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.
19.【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.
【分析】(1)先用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再计算出。等
和B等级人数,从而可补全条形统计图;然后用8等级人数所占的百分比乘以360。得
到B等级所在扇形的圆心角度数;
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果,再找出一名女生、一名男生的结果数,然
后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)调查的总人数为10・20%=50(人),
D等级的人数为50X12%=6,
B等级的人数为50-4-6-10=30(人),
8等级所在扇形的圆心角度数为:毁义360°=216°;
50
条形统计图为:
(2)画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中一名女生、一名男生的结果数为8,
所以恰好抽中一名女生、一名男生的概率=_§_=2.
123
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有可能的结果,
再从中选出符合事件A或2的结果数目,然后利用概率公式求事件A或8的概率.也考
查了统计图.
20.【考点】相似三角形的判定;勾股定理.
【分析】(1)先在RtZXBCG中根据等腰直角三角形的性质求出/G8C的度数,再根据/
ABC^ZGBC+ZABG即可得出/ABC的度数;在RtABCH中利用勾股定理即可求出BC
的长.
(2)利用格点三角形的知识求出AB,BC及CE,的长度,继而可作出判断.
【解答】解:(1):△BCG是等腰直角三角形,
;./GBC=45°,
VZABG=90°,
/.ZABC=ZGBC+ZABG=900+45°=135°;
:在RtZXBHC中,BH=2,CH=2,
-,-BC=MBH24cH2=V22+22=2料•
故答案为:135°;2近;
(2)相似.理由如下:
,:BC=2®EC=如,
A-B-^-=V2>—==V2>
CE近DE2
AB
-BC
CE--,
DE
又:NA8C=NCED=135°,
:.△ABCs^DEC.
ABb
DE
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握,解答此题的
关键是认真观察图形,得出两个三角形角和角,边和边的关系.
21.【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)设降价尤元,由利润=单价利润又销量求解.
(2)设定价为加元时,获利W元,将方程配方求解.
【解答】解:(1)设应降价无元,则可售出(40+2尤)元,每件获利(80-x)元,
由题意得(80-x)(40+2.r)=4200,
解得无1=10,%2=50.
答:应降价10元或50元.
(2)设定价为初元时,获利W元则,
W=(m-120)[40+2(200-m')]
=-2(m-170)2+5000,
.,.当定价为170元时,获利最多,最多利润为5000元.
【点评】本题考查二次函数的应用,解题关键是理解题意,掌握求二次函数最值的方法.
22.【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理;矩形的性质.
【分析】(1)根据矩形性质可得/EBC=90°,AB//CD,从而可得/ECG,即
可解答;
(2)根据三角形的中位线定理可得EF=LBD,再证明△ABE乌△。/G,可得GF=EF
2
=%E,从而可得EG=B。,然后证明△GFDS^GCE,利用相似三角形的性质即可解
2
答.
【解答】证明:(1)VCE±EG,
:.ZGEC=90°,
•••四边形ABC。是矩形,
:.NEBC=90°,AB//CD,
:./BEC=ZECG,
:NGEC=NEBC=90°,
AEBC^AC£G;
(2),:E、/分别是AB、A。中点,
J.EF^AABD的中位线,
;.EF=LBD,
2
':AB//CG,
:./AEF=NG,
VZAFE=ZDFG,AF=DF,
.♦.△AFE*ADFGCAAS),
;.GF=EF=LGE,
2
:.GE=BD,
:四边形ABC。是矩形,
AZADC=9Q°,
:.ZAZ)G=180°-ZADC=90°,
:.ZGDF=ZGEC,
,:NG=/G,
:.XGFDsXGCE,
•GF=GD;
"GCGE,
:.GD・GC=GF,GE,
:.GD・GC=LGE,GE,
2
:.LGM=GD・GC,
2
;.工BD2=GD/GC.
2
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,三角形的中位线定理,全
等三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
23.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】过点C作CE±AD于点E,先证CN=CB,令CM=x米,则CN=CB=2x米,
米,再由锐角三角函数定义得出方程,解方程即可.
【解答】解:如图,过点C作于点E,
':CM//AD,ZD=90°,
:.NCMN=/D=90°,
VZNCM=60°,
:.ZCNM^90°-/NCM=30°,
:.CN=2CM,
又•:/NBD=45°,ZD=90°,
:./BND=90°-NA®。=45°,
:.ZBNC=15°,
的坡比为1:M=CE:BE,
V33
:.ZCBE=3Q°,
:./CBN=15°=ZBNC,
:.CN=CB,
令CM=x米,则CN=C8=2x米,MN=ax米,
又:sinNCBE=^=sin30°
CE=—CB=x(米),BE=\/~3x(米),
2
:.ND=MN+MD=MN+CE=(J§+1)x(米),
•・・AB=20米,
:.AD=AB+BE+ED=AB+BE+CM^[20+(1+*、笈)x](米),
又:NA=30°,
tanz^NAD=^-=tan30°=零'
AUo
(V3+l)xM
mP
20+(l^)x~
解得:x=10,
经检验,x=10是原方程的解,且符合题意,
:.MN=10%米,
答:旗杆MN的高度为107§米.
N
【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、坡度坡角问题,熟练掌握仰
角俯角的定义和坡度坡角的定义,正确作出辅助线是解题的关键.
24.【考点】相似形综合题.
【分析】(1)过点。作。G〃CE交于点G,根据平行线分线段成比例定理得到约=
BE
坨=工,进而求出胆=邑,再根据平行线分线段成比例定理计算,得到答案;
BC4EG3
(2)过点。作。//〃CE交A2于点仿照(1)的证明方法解答;
(3)过点A作的平行线交。E的延长线于点作ANLBC于点N,根据正切的定
义求出AN,根据勾股定理求出A3、AC,根据相似三角形的性质计算即可.
【解答】解:(1)如图1,过点。作。G〃CE交A8于点G,
则幽=地=>1,
BEBC4
:点E是4B的中点,
:.BE=AE,
•AE=A,
"EGT
':DG//CE,
•AF=AE=_4.
"FDEG3"
(2)不变.
证明如下:如图2,过点。作。8〃CE交AB于点X,
则理=里=工
BEBC4
:点E是AB的中点,
:.BE=AE,
•AE=1
"EHT
':DH//CE,
•AF=AE=1,
••而EH3"
(3)如图3,过点A作8。的平行线交QE的延长线于点M,作ANLBC于点N,
,/CD=1,CD:BC=1:3,
:.BC=3,
':AB^AC,AN±BC,
:.BN=NC=3,
2
在中,tan8=3m=2,
BN
:.AN=3,
:.AC=AB=A/AN2+BN2
':AM//BD,
:.AAMEs^BDE,
•AM=AE=_1
"BCEBT
:.AM=2,
,JAM//BD,
:.AAMFs^CDF,
•AF=AM=9
FCCD
:.AF=1.AC=4S-
3
图1
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正切的定义、等腰三角形的性质,正
确作出辅助性、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
考点卡片
1.算术平方根
(1)算术平方根的概念:一般地,如果一个正数尤的平方等于a,即/=a,那么这个正数
x叫做a的算术平方根.记为
(2)非负数a的算术平方根。有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根。本
身是非负数.
(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平
方根时,可以借助乘方运算来寻找.
2.立方根
(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,
如果/=a,那么无叫做。的立方根.记作:如.
(2)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.
(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中。叫做被开方数.
注意:符号。3中的根指数“3”不能省略;对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负
数都有唯一一个立方根.
【规律方法】平方根和立方根的性质
1.平方根的性质:正数。有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方
根.
2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,
0的立方根是0.
3.分式的化简求值
先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注
意运算的结果要化成最简分式或整式.
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺
少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=
2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选
择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式
都有意义,且除数不能为0.
4.一元二次方程的定义
(1)一元二次方程的定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
(2)概念解析:
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;
“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0";“整式方程”.
5.一元二次方程的解
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知
数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这XI,X2是一元二次方程af+bx+c
=0QW0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.
axi2+bxi+c—O(aWO),ax22+bx2+c—0(aWO).
6.解一元二次方程-配方法
(1)将一元二次方程配成(x+机)2=”的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二
次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为依(aWO)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,
则判定此方程无实数解.
7.解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程
最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形
式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把
原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式
分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个■元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
8.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=庐-4℃)判断方程的根的情况.
一元二次方程af+bx+cu。(a=0)的根与△=/??-4ac有如下关系:
①当△>◊时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=()时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<()时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
9.根与系数的关系
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:XI,X2是方程x2+px+q=0的两根时,Xl+X2=-p,
X1X2=4,反过来可得p=-(X1+X2),4=XLX2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是
已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:XI,X2是一元二次方程o?+6x+c=oQW0)
的两根时,尤1+尤2=一旦,X1X2=—,反过来也成立,即也■=-(X1+X2),—=X1X2.
aaaa
(3)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另
一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,xi2W等等.④判断两根的符
号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解
题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑△》()这两个前提条件.
10.由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地审清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找
出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,
即列出一元二次方程.
11.一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数,列出方程,解所列方程求所列
方程的解,检验和作答.
2、列一元二次方程解应用题中常见问题:
(1)数字问题:个位数为十位数是6,则这个两位数表示为10b+a.
(2)增长率问题:增长率=增长数量/原数量X100%.如:若原数是a,每次增长的百分率
为x,则第一次增长后为a(1+尤);第二次增长后为a(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)
2=后来数.
(3)形积问题:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.②利用三角形、
矩形、菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相
似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.
(4)运动点问题:物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹,运行的路线与其他条件会
构成直角三角形,可运用直角三角形的性质列方程求解.
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2.设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
3.歹!J:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4.解:准确求出方程的解.
5.验:检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
6.答:写出答案.
12.规律型:点的坐标
规律型:点的坐标.
13.坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到无轴的距离与纵
坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离
求坐标时,需要加上恰当的符号.
2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,
是解决这类问题的基本方法和规律.
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去
解决问题.
14.函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.
①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=2尤+13中的x.
②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2尤-1.
③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.
④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问
题有意义.
15.一次函数图象与系数的关系
由于>=依+>与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,Z?)在y轴的正半轴上,直线与y轴交
于正半轴;当6<0时,(0,6)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
①左>0,b>0Qy=fcc+。的图象在一、二、三象限;
②%>0,6<00y=Ax+6的图象在一、三、四象限;
③左<0,6>0<=>、=爪+6的图象在一、二、四象限;
@k<0,6<0oy=fcc+6的图象在二、三、四象限.
16.反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数(左为常数,左W0)的图象是双曲线,
①图象上的点(无,y)的横纵坐标的积是定值公即町=%
②双曲线是关于原点对称的,两个分支上的点也是关于原点对称;
③在图象中任取一点,过这一个点向无轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的
面积是定值I川.
17.二次函数的应用
(1)利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,
确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有
意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
(2)
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