专题32 与圆有关的位置关系【十六大题型】（举一反三）（原卷）

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点和圆的位置关系】 5【题型2直线与圆的位置关系】 6【题型3求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】 7【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】 8【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】 9【题型6利用切线的性质求值】 11【题型7证明某条直线是圆的切线】 12【题型8利用切线的性质定理证明】 14【题型9切线的性质与判定的综合运用】 15【题型10作圆的切线】 17【题型11应用切线长定理求解或证明】 18【题型12由外心的位置判断三角形形状】 20【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】 20【题型14由三角形的内切圆求值】 22【题型15与三角形内心有关的应用】 23【题型16三角形外接圆与内切圆综合】 25【知识点与圆有关的位置关系】1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r。性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。2.直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d=r；直线l和⊙O相离d＞r。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。【题型1点和圆的位置关系】【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【变式1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2-12ax-20=0的两个实数根，则⊙O【变式1-3】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（

）A．45 B．1 C．75 D【题型2直线与圆的位置关系】【例2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是．【变式2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，线段BC=16cm，过点B在线段BC的上方作射线BA，且tan∠ABC=43，动点O从点B出发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA交于点P．连接PQ(1)求BD的长（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．【变式2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形ABCD，AD>AB

图1

图2(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：AD=2AB；(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断直线DP与过A，E，【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】【例3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线y=-34x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线ABA．-73,0 B．C．-37,0 D．【变式3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．

【变式3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C'(B'，C'分别是B，C的对应点)，则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O

(1)如图2，点B1，C1，B2，C2，①在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l1：②在线段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直线l2：(2)已知直线l3：y=-3x+mm>0交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l3为轴的⊙O的“【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【变式4-1】（2023·湖南·中考真题）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【变式4-2】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是.【变式4-3】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，则a的值为（A．4 B．92 C．112 D【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】【例5】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（

）A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC【变式5-1】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．【变式5-2】（2023·吉林·一模）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是________________．（2）如图2所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．【变式5-3】（2023·贵州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=ACC．CD=DB D．AC∥OD【题型6利用切线的性质求值】【例6】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B．若△ABC∽△CBO，则sin∠ACB=

【变式6-1】（2023·海南三亚·统考二模）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C是⊙O上一点，若∠ACB=32°，则∠P的度数为．【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，E是⊙O的直径AB延长线上一点，过点E作⊙O的切线EC,C为切点，D是⊙O上一点（在直径AB的下方）．若∠AEC=50°，则∠ADC的度数为．【变式6-3】（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）如图，△ABC内接于⊙O．AB是直径，过点A作直线MN，且MN是⊙O的切线．(1)求证：∠MAC=∠ABC．(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD=FG．②若BC=3，AB=5，试求AE的长．【题型7证明某条直线是圆的切线】【例7】（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若AC=5，∠E=30°，求CD的长．【变式7-1】（2023·江苏淮安·校考模拟预测）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．(1)判断直线AB与⊙O的位置关系并说明理由；(2)PC=26，OA=4，【变式7-2】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若EF=6,cos①求BF的长；②求⊙O的半径．【变式7-3】（2023·广东茂名·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【题型8利用切线的性质定理证明】【例8】（2023·广东江门·统考一模）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．

(1)求CP•CQ的值；(2)如图2，连接PB，AQ交于点M，证明直线【变式8-1】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB．

(1)求证：∠APO=∠BPO；（用两种证法解答）(2)若DP=DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论．【变式8-2】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，圆O中内接△ABC，过点A作圆O的切线l，作直线CD使得∠ACD=∠B，并交AB于E．(1)证明：CD∥l；(2)若CE=CA=2EA=2，求ED的值；(3)证明：BC【变式8-3】（2023·河南许昌·统考二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：已知：如图1，△ABC为已知三角形，如图2，HG是⊙O的切线，D为切点，∠EDH=∠B，∠FDG=∠C．求证：△DEF∼△ACB．小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长DO，交⊙O于点P，连接PE，PF．(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：△DEF∼△ACB；(2)若AB=AC=5，BC=8，EF=16，求⊙O的半径．【题型9切线的性质与判定的综合运用】【例9】（2023·广东肇庆·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为(2)在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；(3)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．【变式9-1】（2023·山西太原·太原五中校考一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC垂直与点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．【变式9-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．

(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段MN，【变式9-3】（2023·浙江杭州·校考二模）知：如图1，AB是⊙O的弦，点C是⊙O的半径OB的延长线上一点，将ΔABC翻折得到△ABC'，AC'

(1)求证：BC(2)若AC与⊙O相切．①如图2，点C'落在⊙O上，求sin②如图3，若OA=10，AB=12，求△BDC【题型10作圆的切线】【例10】（2023·江苏南京·一模）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线；①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．(1)用尺规完成作图步骤②；(2)连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD(3)求证：直线AD为⊙O的切线．【变式10-1】（2023·福建福州·统考三模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）

【变式10-2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：CA与⊙O相切：(3)当BD=23，∠ABD=30°时，求劣弧BD【变式10-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=23（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【题型11应用切线长定理求解或证明】【例11】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝45，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值．【变式11-1】（2023·山东威海·统考一模）如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC=y．(1)求证：AB(2)求y与x的函数关系式；(3)若x，y是方程2x2-30x+a=0【变式11-2】（2023·北京石景山·统考二模）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．（1）求证：AB//OP；（2）连接PA，若PA=22，tan∠BAD=2，求【变式11-3】（2023·广东中山·统考三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．

(1)求CP⋅CQ的值；(2)如图，连接PB，AQ交于点M，证明直线MC⊥AB．

【题型12由外心的位置判断三角形形状】【例12】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式12-1】（2023·浙江温州·模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【变式12-2】（2023·河北沧州·模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【变式12-3】（2023·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】【例13】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)若AD:DC=2:3，BC=27时，求⊙O【变式13-1】（2023·江苏南京·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【变式13-2】（2023·浙江温州·校考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为______；(2)作出△ABC的外接圆；(3)利用直尺作出∠ACB的角平分线．【变式13-3】（2023·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1)以原点O为位似中心，位似比为2:1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A(2)在（1）中，若点Mm,n为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M'的坐标(3)直接写出△A1B1C【题型14由三角形的内切圆求值】【例14】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M3,1，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，若⊙O1是△ABO的内切圆，⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2【变式14-1】（2023·福建泉州·模拟预测）作图题：如图，在矩形ABCD中，已知AD=10，AB=6，(1)用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求△CDE内切圆半径r的值．【变式14-2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠A=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD⋅BC=AC⋅CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G（1）求证：AC是⊙E的切线；（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半径；（3）在（2）的条件下，若RtΔABC的内切圆圆心为I，直接写出IE【变式14-3】（2014·江苏南京·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆，(1)求⊙O的半径；(2)点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为ts，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【题型15与三角形内心有关的应用】【例15】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）综合与实践：（1）如图（1），有一块三角形材料△ABC，准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，求裁剪出的最大圆形面积．（2）如图（2），市