专题5.2 轴对称及其性质（专项练习）-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题5.2轴对称及其性质（专项练习）一、单选题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（）A． B． C． D．3．如图，△ABC的周长为30cm．把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长为()A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm4．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（）A．52° B．62° C．64° D．42°5．如图所示，把长方形沿折叠，若，则等于（）

A． B． C． D．6．如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（）A． B．C． D．以上三种情况都有可能7．如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（）①△ABC≌△②③直线垂直平分④直线BC和的交点不一定在直线上．

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④8．如图，，点，在边上，点在边上．将沿折叠，恰好与重合，将沿折叠，恰好与重合．下列结论：①②③④⑤正确的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，中，∠BCA=90°，∠ABC=22.5°，将沿直线BC折叠，得到点A的对称点A′，连接BA′，过点A作AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A′C=A′H B．2AC=EB C．AE=EH D．AE=A′H10．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（）A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.211．如图，等边的边，是上一点，，是边上一动点，将沿直线折叠，的对应点为，则的长度最小值是（）A． B． C． D．12．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题13．如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为_____．14．一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕，若，那么______．15．如图，把一张三角形纸片（）进行折叠，使点落在上的点处，折痕为，点，点分别在和上，，若，则的度数为__________．16．如图所示，在长方形纸片中，点为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在处，点落在处．若，则的度数为____________．17．如图，在中，，，点在边上，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的周长的最小值是______．18．如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为______．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3．若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD．将△BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值为________．20．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．21．四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________．22．如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_____________．23．如图，与关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D.若，，则______°．24．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是_____．三、解答题25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．26．如图，在中，，，点E为线段的中点，点F在边上，连结，沿将折叠得到．（1）如图1，当点P落在上时，求的度数．（2）如图2，当时，求的度数．27．已知，射线是直线右侧一动点，连接是射线上一动点，过点的直线分别与交于点，与射线交于点，设．（1）如图1，当点在之间时，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，作关于直线对称的，求证：；（3）如图3，当点在上方时，作关于直线对称的，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出之间数量关系，以及与之间数量关系．28．如图，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕．（1）判断与DC的位置关系，并说明理由；（2）如果，求的度数．29．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．（1）当，时，求线段FD的长度；（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．30．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．参考答案1．B【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点拨】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．B【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可．解：∵与关于直线对称，∴，，，故选：B．【点拨】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．3．A【分析】根据折叠的性质可知AE＝EC＝4cm，AD＝CD，△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝△ABC的周长﹣AC的长，即可得出答案．解：根据折叠的性质可知：AE＝EC＝4cm，AD＝CD，∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD，又∵AB+BD+CD+AC＝30，∴AB+BD+CD＝30﹣AC＝30﹣2×4＝22（cm）．故选：A．【点拨】本题考查了翻折变换的知识，解题关键是明确轴对称的性质，根据线段相等，把周长转换成两条线段的和．4．A【分析】根据折叠的性质得出∠GEF=64°，利用平行线的性质进行解答即可解：∵一张长方形纸条ABCD折叠，∴∠GEF=∠FEC=64°，∵AD∥BC，∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．B【分析】根据折叠性质求出∠2和∠3，根据平行线性质求出∠DEF=∠2，代入求出即可．解：根据折叠性质得出，

∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠2=70°，故选：B．【点拨】本题考查了平行线性质，折叠性质的应用．理解折叠前后对应角相等和两直线平行内错角相等是解题关键．6．C【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可．解：如图，

∵A，P关于BD对称，∴∠AQB=∠PQB，∵∠PCB＞∠PQB，∴∠PCB＞∠AQB，故选：C．【点拨】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．B【分析】根据轴对称的性质求解即可；解：∵△ABC和△关于直线对称，∴①△ABC≌△，正确；②，正确；③直线垂直平分，正确；直线BC和的交点一定在直线上，错误；故正确的结论为①②③；故答案选B．【点拨】本题主要考查了成轴对称的图形的性质，准确分析判断是解题的关键．8．A【分析】将△ABD沿着AD翻折，可得AB＝AE，∠B＝∠AEB，将△CEF沿着EF翻折，可得AE＝CE，∠C＝∠CAE，可得∠B＝2∠C．解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴②正确；∵∠AEB＝∠C＋∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故⑤正确；其余的都无法推导得出，故选：A．【点拨】本题考查翻折变换，三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．9．B【分析】证明，即可得出正确答案．证明：∵∠BCA=90°，∠ABC=22.5°∴，∵沿直线BC折叠，得到点A的对称点A′，连接BA′，∴，∴，∵∠BCA=90°，∴，∵∴，即：，∴，∵AH⊥BA′，∴是等腰直角三角形，∴，，∴,在和中，∵，∴,∴,故选项正确，故选；．【点拨】本题考查了折叠、等腰三角形、等腰直角三角形、三角形全等，解决本题的关键是证明全等，得出线段．10．B【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故选：B．【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.11．B【分析】作于，再由等边三角形性质，利用勾股定理计算出，再根据在中，，得到当点在上时，的值最小即可解答．解：作于，如图，在等边的边，∴BH=4，∴，∵，∴，，在中，，将沿直线折叠，的对应点为，，，∵在中，，即，∴，即当点在上时，的值最小，值为2．故选：．【点拨】本题考查了线段最小值的问题，涉及了等边三角形性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用三角形两边之和大于第三边，从而确定在上时的长度最小．12．D【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．【点拨】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.13．12．【分析】由轴对称的性质可知：BC=CE=4，由点E是AB的中点可知BE=AB=4，从而可求得答案．解：∵点B与点E关于DC对称，

∴BC=CE=4．

∵E是AB的中点，

∴BE=AB=4．

∴△BEC的周长12．

故答案为：12．【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质，由轴对称图形的性质得到BC=CE=4是解题的关键．14．【分析】先根据折叠的性质、平行线的判定可得，，再根据平行线的性质、角的和差即可得．解：由折叠的性质得：，即解得故答案为：43．【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题关键．15．30°【分析】根据平行线的性质可知∠ADE=∠B，再结合翻折的性质可得∠ADE=∠FDE，最后根据∠BDF=180°-∠ADF即可得到结论．解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=75°，由翻折的性质可得∠ADE=∠FDE，∴∠ADF=2∠ADE=150°，∴∠BDF=180°-∠ADF=180°-150°=30°，故答案为：30°．【点拨】本题考查平行线的性质以及翻折的性质，灵活结合平行线的性质和翻折的性质是解题关键．16．105°【分析】根据∠A1MD1=30°，得∠A1MA+∠DMD1=180°-50°=150°，根据折叠的性质，得∠A1MB=∠AMB，∠D1MC=∠DMC，从而求解．解：∵∠1=30°，∴∠A1MA+∠DMD1=180°-30°=150°，由折叠，可知∠AMB=∠BMA1，∠DMC=∠CMD1．∴∠AMB+∠DMC=∠BMA1+∠CMD1∴∠BMC=180°-75°=105°．

故答案为：105°【点拨】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠得到相等的角，结合平角定义进行求解，难度不大．17．【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．解：由题，关于对称，∴出当P和D重合时，PE+BP的值最小，最小值为BC，∴∵翻折，∴，，∴在中，∴，∴，，∴．故答案为：【点拨】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称之最短路线问题，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．18．14【分析】根据三角形的面积公式得到AD=14，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．解：∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC，

又∵BC=12，S△ABC=84，

∴×12×AD=84，

∴AD=14，

∵EF垂直平分AB，

∴PA=PB，

∴PB+PD=PA+PD，

∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，

即AD的长度=PB+PD的最小值，

∴PB+PD的最小值为14，

故答案为：14．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．19．1【分析】根据题意可分析得出的长度固定，要使得的值最小，则使得的值最小即可，然后根据“两点之间，线段最短”可知当A、、C三点共线时，最小，即可求解．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：，由对称性可知：，∵的长度固定，∴当的值最小时，的值最小，根据“两点之间，线段最短”可知当A、、C三点共线时，最小，∴．【点拨】本题考查三角形的翻折问题，能够根据题意准确分析并转换最短时所求线段的值是解题关键．20．20cm【分析】根据轴对称的性质可得PC=P1C，PD=P2D，从而求出△PCD的周长等于P1P2，从而得解．解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴OA垂直平分PP1,OB垂直平分PP2∴PC=P1C，PD=P2D，∴△PCD的周长=PC+PD+CD=P1P2=20cm．故答案为：20cm．【点拨】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键．21．【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决．解：如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值，，，∴∠A′+∠A″=70°，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°.故答案为140°【点拨】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．22．6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=AH∴∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．23．70【分析】根据三角形的外角和定理，得和，再根据轴对称的性质得和，列式求出的值，即可得到结果．解：∵是的外角，∴，∵是的外角，∴，∵与关于边OB所在的直线成轴对称，∴，，∴，即，解得，∴．故答案是：．【点拨】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．24．12【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大．解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．由题意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝4，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝4，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤12，∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题．25．【分析】根据AD∥BC，DC⊥BC，∠EBC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD，继而求得∠EBD的度数．解：∵AD∥BC，DC⊥BC，∴∠C=90°，∵∠EBC=20°，∴∠DEB=∠EBC+∠C=20°+90°=110°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，∴∠EBD=．【点拨】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．26．（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF≌△PEF，

∴AE=EP，

∵点E是AB中点，即AE=EB，

∴BE=EP，

∴∠EPB=∠B=45°，

∴∠PEB=90°，

∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF⊥AC，

∴∠PFA=90°，

∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．

∴△AEF≌△PEF，

∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）；【分析】（1）延长交于点，由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求证；（2）由题意易得，则有，进而可得，然后根据角的关系可求解；（3）如图所示，∠2=∠5，由三角形外角的性质可得，进而问题可求解．解：（1）证明：如图1，延长交于点，，，，；（2）证明：与关于对称，．，，，，，，由（1）知，；（3）不成立，；，如图所示：∵AB∥DC，∴∠2=∠5，∵，∴，∵，由折叠的性质可得，∴，∴．【点拨】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质、折叠的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质、折叠的性质是解题的关键．28．（1）B′E∥DC，理由见解析；（2）65°【分析】（1）由于是的折叠后形成的，可得，可得B′E∥DC；（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．解：（1）由于是的折叠后形成的，，；（2）折叠，△，，即，，，．【点拨】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点落在边上