2017年辽宁省营口市中考数学试卷

2017年辽宁省营口市中考数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）

1.（3分）-5的相反数是（）

A.-5B.±5C.1D.5

5

2.（3分）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（）

A.球B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.（-2xy）2=-4x2y2B.x64-x3=x2C.（x-y）2=x2-y2D.2x+3x=5x

4.（3分）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水

5.（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一

定成立的是（）

A.a+b<0B.a-b>0C.ab>0D.h<0

a

6.（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30。角的直角三角尺的直角

顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，Z2=115°,则N1

的度数是（）

A.75°B.85°C.60°D.65°

7.（3分）如图，在aABC中，AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点，以AC为斜

边作RtAADC,若NCAD=NCAB=45。，则下列结论不正确的是（）

A

A.ZECD=112.5°B.DE平分NFDCC.ZDEC=30°D.AB=V^CD

8.（3分）如图，在菱形ABOC中，ZA=60°,它的一个顶点C在反比例函数y=K

X

的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函

XXXX

9.（3分）如图，在^ABC中，AC=BC,NACB=90°,点D在BC上，BD=3,DC=1,

点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）

10.（3分）如图，直线I的解析式为y=-x+4,它与x轴和y轴分别相交于A,B

两点.平行于直线I的直线m从原点0出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位

长度的速度运动.它与x轴和y轴分别相交于C,D两点，运动时间为t秒（0

WtW4）,以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E,。两点分别在CD两侧）.若

△CDE和△OAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象大致是

()

二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）

1L（3分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，

预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000

用科学记数法表示为.

12.（3分）函数y=Y亘中，自变量x的取值范围是.

x+1

13.（3分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色

外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄

色球的频率分别稳定在10%和15%,则箱子里蓝色球的个数很可能是个.

14.（3分）若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数

根，则k的取值范围是.

15.（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90。到矩形AECD，的位

置，AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为

16.（3分）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原

计划多20%,结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵，则根据题意可

列方程为.

17.（3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8,AB=6,E是边BC上的点，将纸片沿AE

折叠，使点B落在点F处，连接FC,当AEFC为直角三角形时，BE的长为.

18.（3分）如图，点Ai（1,圾）在直线k上，过点Ai作AiBi_Lli交直

线b：y=YL（于点Bi，AiBi为边在△OAiBi外侧作等边三角形AiBiG，再过点G

3

作A2B2，II,分别交直线和b于A2,B2两点，以A2B2为边在△OAzBz外侧作等

边三角形A2B2c2,...按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnBnCn的面积

为.（用含n的代数式表示）

三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分.）

22

19.（10分）先化简，再求值：4-（1-A_+y_）,其中x=（1）

xy+y2x2+xy2xy

-1-（2017-2）°,y=V3sin60°.

2

20.（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有

四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.

月BCD

△—口匚

平行四

正三角形正方形

边形

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不

放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对

称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说

明理由（纸牌用A、B、C、D表示）.

四、解答题（21题12分，22小题12分，共24分）

2L（12分）某中学开展"汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校

随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅

尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中

参与这次活动的大约有多少人.

22.（12分）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75。方向航行，在点

A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在

船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近

距离.（结果精确到0.1海里，参考数据加七1.41,73^1.73）

N,北

C

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23.（12分）如图，点E在以AB为直径的。。上，点C是宛的中点，过点C作

CD垂直于AE,交AE的延长线于点D,连接BE交AC于点F.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若cos/CAD=&,BF=15,求AC的长.

24.（12分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10

天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一

天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗

等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空

调，平均每台成本就增加20元.

（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变

量x的取值范围.

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为

每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求

工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.

六、解答题（本题满分14分）

25.（14分）在四边形中ABCD,点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的

一点，且EFXAB.

（1）若四边形ABCD为正方形.

①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系；

②将4EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE,DF,猜想AE与DF

的数量关系并说明理由；

（3）如图3,若四边形ABCD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将4EBF绕

点B顺时针旋转a（0。<（1<90。）得到△E'BF,连接AE）DF,请在图3中画出

草图，并直接写出AE与DF的数量关系.

七、解答题（本题满分14分）

26.（14分）如图，抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,与x轴交于A,B

两点，与y轴交于点C,点A的坐标为（-2,0）,点P为抛物线上的一个动点，

过点P作PD±x轴于点D,交直线BC于点E.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一

点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱

形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

2017年辽宁省营口市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）

1.（3分）（2017•营口）-5的相反数是（）

A.-5B.±5C.LD.5

5

【分析】根据相反数的定义直接求得结果.

【解答】解：-5的相反数是5.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0

的相反数是0.

2.（3分）（2017•营口）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是

（）

A.球B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可.

【解答】解：A、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确

B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；

C、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误；

D、三棱柱球体的主视图、左视图是三角形、俯视图三角形，但大小不一定相同，

故本选项正确.

故选：A.

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别

从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键.

3.（3分）（2017•营口）下列计算正确的是（）

A.（-2xy）2=-4x2y2B.x64-x3=x2C.（x-y）2=x2-y2D.2x+3x=5x

【分析】根据同底数易的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项的运算法

则分别进行计算即可得出答案.

【解答】解：A、（-2xy）2=4x2y2,故本选项错误;

B、x64-x3=x3,故本选项错误；

C、（x-y）2=x2-2xy+y2,故本选项错误；

D、2x+3x=5x,故本选项正确；

故选D.

【点评】此题考查了同底数募的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项，

熟练掌握运算法则是解题的关键，是一道基础题.

4.（3分）（2017•营口）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两

个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可

以不止一个.

【解答】解：表中数据为从小到大排列，数据6出现了9次最多为众数，

在第15位、第16位都是6,其平均数6为中位数，所以本题这组数据的中位数

是6,众数是6.

故选A.

【点评】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据

叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）

叫做中位数.

5.（3分）（2017•营口）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则

下列不等式一定成立的是（）

A.a+b<0B.a-b>OC.ab>0D.h<0

a

【分析】由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定a

<0,b>0,然后一一判断各选项即可解决问题.

【解答】解：•.•一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

.*.a<0,b>0,

.♦.a+b不一定大于0,故A错误，

a-b<0,故B错误，

ab<0,故C错误，

k<0,故D正确.

a

故选D.

【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是学会根据函数图

象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型.

6.（3分）（2017•营口）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30。角的直角

三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，Z

2=115°,则N1的度数是（）

A.75°B.85°C.60°D.65°

【分析】先根据平行线的性质，得出N3的度数，再根据三角形外角性质进行计

算即可.

【解答】解：如图所示，•；DE〃BC,

AZ2=Z3=115°,

又是4ABC的外角，

AZ1=Z3-ZA=115°-30°=85°,

故选：B.

A

D

2

"c

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：

两直线平行，同位角相等.

7.（3分）（2017•营口）如图，在^ABC中，AB=AC,E,F分别是BC,AC的中

点，以AC为斜边作RgADC,若NCAD=NCAB=45。,则下列结论不正确的是（）

A.ZECD=112.5°B.DE平分NFDCC.ZDEC=30°D.AB=V^CD

【分析】由AB=AC,NCAB=45。，根据等边对等角及三角形内角和定理求出NB=

ZACB=67.5°.由Rt^ADC中，ZCAD=45°,ZADC=90°,根据三角形内角和定理

求出NACD=45。，根据等角对等边得出AD=DC,那么NECD=/ACB+NACD=112.5。,

从而判断A正确；

根据三角形的中位线定理得到FE=1AB,FE〃AB,根据平行线的性质得出NEFC=

2

ZBAC=45°,NFEC=NB=67.5。.根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得

到FD=1AC,DF±AC,NFDC=45°,等量代换得到FE=FD,再求出NFDE=N

2

FED=22.5°,进而判断B正确;

由NFEC=NB=67.5°,NFED=22.5°,求出NDEC=NFEC-NFED=45°,从而判断C

错误；

在等腰RtAADC中利用勾股定理求出AC=&CD,又AB=AC,等量代换得到

AB=&CD,从而判断D正确.

【解答】解：VAB=AC,NCAB=45°,

AZB=ZACB=67.5°.

：Rt^ADC中，ZCAD=45°,ZADC=90°,

AZACD=45°,AD=DC,

AZECD=ZACB+ZACD=112.5°,故A正确，不符合题意；

：E、F分别是BC、AC的中点，

.•.FE=L\B,FE〃AB,

2

NEFC=NBAC=45°,ZFEC=ZB=67.5°.

是AC的中点，ZADC=90°,AD=DC,

：.FD=1AC,DF±AC,NFDC=45°,

2

VAB=AC,

.♦.FE=FD,

AZFDE=ZFED=1（180°-ZEFD）=1（180°-135°）=22.5°,

22

NFDEJNFDC,

2

...DE平分NFDC,故B正确，不符合题意；

VZFEC=ZB=67.5O,NFED=22.5°,

/.ZDEC=ZFEC-ZFED=45°,故C错误，符合题意；

VRtAADCZADC=90°,AD=DC,

AC=A/^CD,

VAB=AC,

...AB=&CD,故D正确，不符合题意.

故选C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角

形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识.掌握三角形的中位线平行于第三边,

并且等于第三边的一半是解题的关键.

8.（3分）（2017•营口）如图，在菱形ABOC中，NA=60。，它的一个顶点C在反

比例函数y=N的图象上，若将菱形向下平移2个单位,点A恰好落在函数图象上,

则反比例函数解析式为（)

A.y=-3MB.y=-C.y=-亘D.y=2Zl_

【分析】过点C作CD，x轴于D,设菱形的边长为a,根据菱形的性质和三角函

数分别表示出C,以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点

的坐标特征得到方•程组求解即可.

【解答】解：过点C作CD，x轴于D,

设菱形的边长为a,

在Rtz^CDO中，OD=a・cos60°=l_a,CD=a・sin6O°=2Z5a,

则C（-la,亚a）,

22__

点A向下平移2个单位的点为（-L-a,叵-2）,即（-之，叵-2）,

a=2V3

解得

k=-3V3

故反比例函数解析式为y=-也.

故选：A.

【点评】本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、

坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

9.（3分）（2017•营口）如图，在^ABC中，AC=BC,NACB=90°,点D在BC上,

BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）

【分析】过点C作COXAB于O,延长CO到C,使OU=OC,连接DC,交AB

于P,连接CP,此时DP+CP=DP+PC'=DC'的值最小.由DC=1,BC=4,得到BD=3,

连接BC,由对称性可知NCBA=NCBA=45。，于是得到NCBC，=90。，然后根据勾股

定理即可得到结论.

【解答】解：过点C作COLAB于0,延长8到C,使OU=OC,连接DC,交

AB于P,连接CP.

此时DP+CP=DP+PC=DC，的值最小.

VBD=3,DC=1

BC=4,

；.BD=3,

连接BC,由对称性可知NC'BA=NCBA=45。，

AZCBC=90°,

ABCZ±BC,NBCC'=NBC'C=45°,

BC=BC'=4,

根据勾股定理可得DC=^7

BC2+BD2=^32+42=5.

故选B.

【点评】此题考查了轴对称-线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD

的值最小是解题的关键.

10.（3分）（2017•营口）如图，直线I的解析式为y=-x+4,它与x轴和y轴分

别相交于A,B两点.平行于直线I的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以

每秒1个单位长度的速度运动.它与x轴和y轴分别相交于C,D两点，运动时

间为t秒（0WtW4）,以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E,。两点分别在CD

两侧）.若4CDE和AOAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图

【分析】分别求出0<tW2和2<tW4时，S与t的函数关系式即可爬判断.

【解答】解：当0<tW2时，S=lt2,

2

当2VtW4时，S=l-t2-L（2t-4）2=-At2+8t-8,

222

观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C.

故答案为C.

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思

考问题，属于中考常考题型.

二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）

1L（3分）（2017•营口）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医

疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将

29150000000用科学记数法表示为2.915X10-.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l<a<10,n为整数.确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点

移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1

时，n是负数.

【解答】解：29150000000=2.915X101°.

故答案为：2.915X1O10.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXlon的

形式，其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.（3分）（2017•营口）函数y=Y亘中，自变量x的取值范围是x》l.

x+1

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,可知：x-1

20;分母不等于0,可知：x+lWO,所以自变量x的取值范围就可以求出.

【解答】解：根据题意得：x,-1N0且x+lWO,

解得：x》l.

故答案为：xNl.

【点评】考查使得分式和二次根式有意义的知识.函数自变量的范围一般从三个

方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式

时，考虑分式的分母不能为0;（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非

负数.

13.（3分）（2017•营口）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共

20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发

现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%,则箱子里蓝色球的个数很可

能是15个.

【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%,则

摸到蓝球的概率为75%,然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数.

【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%,

所以摸到蓝球的概率为75%,

因为20X75%=15（个）,

所以可估计袋中蓝色球的个数为15个.

故答案为15.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某

个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可

以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频

率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

14.（3分）（2017•营口）若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个

不相等的实数根，则k的取值范围是k>L且kWl.

2

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1W0且4=22-4（k

-1）X（-2）>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.

【解答】解：根据题意得k-1关0且△=?2-4（k-1）X（-2）>0,

解得：k>上且kWl.

2

故答案为：k>!■且kWl.

2

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根的判别式442-4ac：

当△＞（）,方程有两个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当

△V0,方程没有实数根.

15.（3分）（2017•营口）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90。到矩

形ABCD，的位置，AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为豆-2y.

Q----

【分析】先求出CE=2CD,求出NDEC=30°,求出NDCE=60°,DE=2jj,分别求出

扇形CEB，和三角形CDE的面积，即可求出答案.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC=4,CD=AB=2,ZBCD=ZADC=90°,

；.CE=BC=4,

.♦.CE=2CD,

NDEC=30°,

AZDCE=60°,

由勾股定理得：DE=2V3，

2

・♦.阴影部分的面积是S=S扇形CEB，-SMDE=601：%-占X2X2后退冗.2乃，

36023

故答案为：三K-2，§.

【点评】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题

的关键是能正确求出扇形CEB，和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中.

16.（3分）（2017•营口）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植

树的数量比原计划多20%,结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵，

则根据题意可列方程为2400_2400_=8.

~x~1.2x

【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x,根据"原计

划所用时间-实际所用时间=8〃列方程即可.

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x,

根据题意可得：

2400_2400.=8J

x1.2x

故答案为：2400_2400.=8.

x1.2x

【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到题目蕴含

的相等关系.

17.（3分）（2017•营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8,AB=6,E是边BC上的点，

将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC,当AEFC为直角三角形时，BE

的长为3或6.

【分析】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10,AEFC为直角三角形分

两种情况：①当NEFC=90。时，可得出AE平分NBAC,根据角平分线的性质即可

得出巩里理，解之即可得出BE的长度；②当NFEC=90。时，可得出四边形ABEF

610

为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度.

【解答】解：：AD=8,AB=6,四边形ABCD为矩形，

；.BC=AD=8,ZB=90",

*,-AC=7AB2+BC2=1°-

△EFC为直角三角形分两种情况：

①当NEFC=90°时,如图1所示.

VZAFE=ZB=90°,NEFC=90°,

.•.点F在对角线AC上，

AAE平分NBAC,

•BE-ECpnBE-8-BE

ABAC610

，BE=3；

②当NFEC=90。时，如图2所示.

VZFEC=90°,

，NFEB=90°,

AZAEF=ZBEA=45",

...四边形ABEF为正方形,

ABE=AB=6.

综上所述：BE的长为3或6.

故答案为：3或6.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与

性质以及勾股定理，分NEFC=90。和NFEC=90。两种情况寻找BE的长度是解题的

关键.

18.（3分）（2017•营口）如图，点Ai（1,、年）在直线li：y=/3^上，过点Ai

作AiBiLli交直线12：丫=叵＜于点Bi,AiBi为边在△OAiBi外侧作等边三角形

3

AiBiCi,再过点Ci作A2B2，II,分别交直线II和I2于A2,B2两点，以A2B2为边在

△OA2B2外侧作等边三角形A2B2c2,…按此规律进行下去，则第n个等边三角形

AnBnCn的面积为一有号）F_.（用含n的代数式表示）

【分析】由点Ai的坐标可得出0%=2,根据直线Ii、I2的解析式结合解直角三角

形可求出AiBi的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3,

通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三

角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积.

【解答】解：•••点A1(1,a),

.\0Ai=2.

,直线li：y=V3x>直线I2：y=叵，

3

AZAiOBi=30°.

在Rt^OAiBi中，0Ai=2,ZAiOBi=30°,ZOAiBi=90°,

AiBi=XoBi>

2

.•.AIB>=2时.

3

•••△AiBiJ为等边三角形，

...AIA2=1AIBI=1,

2

/.OA2=3,A2B2=V3-

同理，可得出：A3B3=2Zi,A4B4=&/3,…，AnBn=(W)n-2«,

...第n个等边三角形AnBnCn的面积为Lx近人田廿二立(W)2k3.

222

故答案为：近(W)2n~3.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角

形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出AnBn=(W)kg是解

题的关键.

三、解答题(19小题10分，20小题10分，共20分.)

2,2

19.(10分)(2017•营口)先化简，再求值：(_^^-二^)4-(1-

xy+y2x2+xy2xy

其中x=(±)-1-(2017-2)°,y=J3sin60o.

32

【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再计算出x、y的值代入

即可得.

【解答】解：原式=[7二(X?)

xy(x+y)xy(x+y)2xy

:(x+y)(x-y).2xy

2

xy(x+y)-(x-y)

-一--2--,

x-y

itx=（4~）1-（2017-4）°=3-l=2,y=V5sin6O°=bx2Zl^旦时，

3222

原式=---~4.

2戈

【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是

解题的关键.

20.（10分）（2017•营口）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其

正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.

D

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不

放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对

称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说

明理由（纸牌用A、B、C、D表示）.

【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；

（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若

摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢

的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平.

【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正

面是中心对称图形的纸牌的概率是上；

4

（2）列表得:

ABCD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的

有6种，

•••P(两张都是轴对称图形)=上，因此这个游戏公平.

2

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率.判断游戏公平性就要计算

每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

四、解答题(21题12分，22小题12分，共24分)

2L(12分)(2017•营口)某中学开展"汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与

情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图

1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)这四个班参与大赛的学生共100人;

(2)请你补全两幅统计图；

(3)求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中

参与这次活动的大约有多少人.

【分析】(1)根据乙班参赛30人，所占比为20%,即可求出这四个班总人数;

（2）根据丁班参赛35人，总人数是100,即可求出丁班所占的百分比，再用整

体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以参赛得总人数，

即可得出丙班参赛得人数，从而补全统计图；

（3）根据甲班级所占的百分比，再乘以360。，即可得出答案；

（4）根据样本估计总体，可得答案.

【解答】解：（1）这四个班参与大赛的学生数是：

304-30%=100（人）；

故答案为100；

（2）丁所占的百分比是：旦X100%=35%,

100

丙所占的百分比是：1-30%-20%-35%=15%,

则丙班得人数是:100X15%=15（人）；

（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%X360°=108°；

（4）根据题意得：2OOOXJM=125O（人）.

160

答：全校的学生中参与这次活动的大约有1250人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不

同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每

个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.（12分）（2017•营口）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75。

方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这

时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中

与码头C的最近距离.（结果精确到0.1海里，参考数据如心1.41,A/3^1.73）

N,北

C

A

【分析】过点C作CELAB于点E,过点B作BDLAC于点D,由题意可知：船在

航行过程中与码头C的最近距离是CE,根据NDAB=30。，AB=20,从而可求出BD、

AD的长度，进而可求出CE的长度.

【解答】解：过点C作CELAB于点E,过点B作BDLAC于点D,

由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE,

AB=30X也=20,

60

VZNAC=45",ZNAB=75°,

，NDAB=30°,

.,.BD=JjXB=10,

2

由勾股定理可知：AD=10A/3

BC〃AN,

AZBCD=45°,

.,.CD=BD=10,

.,.AC=10V3+10

VZDAB=30°,

.•.CE=1AC=5折5=13.7

2

答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里

北

N+

C

【点评】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾

股定理，本题属于中等题型.

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23.（12分）（2017•营口）如图，点E在以AB为直径的。。上，点C是前的中

点，过点C作CD垂直于AE,交AE的延长线于点D,连接BE交AC于点F.

（1）求证：CD是。。的切线；

是。O的直径可得出AD,BE,进而可得出AD〃OC,再根据AD，CD可得出OC

±CD,由此即可证出CD是。。的切线.

（2）过点。作OM，AC于点M,由点C是前的中点利用圆周角定理可得出ZBAC=

NCAE,根据角平分线的定理结合cosNCAD=4可求出AB的长度，在RtAAOM

5

中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度.

【解答】（1）证明：连接OC,如图1所示.

:点C是宛的中点，

CE=BG

AOCXBE.

VAB是。O的直径，

AAD±BE,

.•.AD〃OC.

：ADLCD,

AOCXCD,

/.CD是。O的切线.

(2)解：过点。作OMLAC于点M,如图2所示.

・••点C是宛的中点，

**•CE=BC-ZBAC=ZCAE,

•EF-BF

••而AB-

COSZCAD=A,

5

•••EF-,-3--,

AE4

.\AB=-1BF=2O.

3

在Rt^AOM中，ZAMO=90°,AO=17XB=10,COSZOAM=COSZCAD=A,

25

.\AM=AO«cosZOAM=8,

.\AC=2AM=16.

图2

【点评】本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定

理、圆周角定理以及角平分线的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找

出OCLCD；（2）根据角平分线的性质求出AB的长度.

24.（12分）（2017•营口）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单,

要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任

务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于

机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产

的所有空调，平均每台成本就增加20元.

（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变

量x的取值范围.

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为

每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求

工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.

【分析】（1）根据接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调

都比前一天多2台，直接得出生产这批空调的时间为x天，与每天生产的空调为

y台之间的函数关系式；

（2）根据基本等量关系：利润=（每台空调订购价-每台空调成本价-增加的其

他费用）X生产量即可得出答案.

【解答】解：（1）.••接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空

调都比前一天多2台，

...由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x

（lWxWlO）；

(2)当1WXW5时，W=(2920-2000)X(40+2x)=1840x+36800,

V1840>0,

.'.W随x的增大而增大，

当x=5时，W最大值=1840X5+36800=46000；

当5<x<10时，

W=[2920-2000-20(40+2x-50)]X(40+2x)=-80(x-4)2+46080,

此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整

数，

/.当x=6时，W最大值=45760元.

V46000>45760,

・•.当x=5时，W最大，且W最大值=46000元.

衿fl840x+36800(l<x<5)

综上所述：W=J。.

-80(x-4)2+46080(5<x<10)

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数，如何分段，怎样表达每

个分段函数，并比较确定最大值是解本题的关键.

六、解答题(本题满分14分)

25.(14分)(2017•营口)在四边形中ABCD,点E为AB边上的一点，点F为对

角线BD上的一点，且EFLAB.

(1)若四边形ABCD为正方形.

①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系DF=，2AE

②将4EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE,DF,猜想AE与DF

的数量关系并说明理由；

(3)如图3,若四边形ABCD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将^EBF绕

点B顺时针旋转a(0。<。<90。)得到△EBF',连接AE)DF,请在图3中画出

草图，并直接写出AE与DF的数量关系.

【分析】（1）①利用正方形的性质得4ABD为等腰直角三角形，则BF=&AB,

再证明^BEF为等腰直角三角形得到BF=&BE,所以BD-BF=&AB-«BE,从

而得到DF=A/2AE;

②利用旋转的性质得NABE=NDBF,加上型=毁=加，则根据相似三角形的判定

BEAB

可得到△ABEs^DBF,所以更=更_=、叵；

AEBE

（2）先画出图形得到图3,利用勾股定理得到BD=6^EAB,再证明ABEFsa

BAD得到巫=里，则里=股=「77，接着利用旋转的性质得NABEG/DBF,

BE，=BE,BF=BF,所以里_=坨=，二），然后根据相似三角形的判定方法得到4

BEBAYl+m

ABE^ADBF-,再利用相似的性质可得匹・=毁=、几二2

AE'BAVm

【解答】解：（1）①•••四边形ABCD为正方形，

...△ABD为等腰直角三角形，

.,.BF=V2AB,

VEFXAB,

•••△BEF为等腰直角三角形，

BF=J^BE,

ABD-BF=V2AB-&BE,

即DF=&AE；

故答案为DF=V2AE；

②DF=&AE.理由如下：

VAEBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，

AZABE=ZDBF,

•.•风心孙加,

BEAB

ABF=BD；

**BEAB;

.,.△ABE^ADBF,

••需评

即DF=&AE；

(2)如图3,：四边形ABCD为矩形，

•.AD=BC=mAB,

'•BD=VAB2+AD2=Vl+m2ABJ

.•EF±AB,

•.EF〃AD,

,.△BEF^ABAD,

•BE-BF

*BA丽，

•#BEF_BDA_心/--+-mo，

.•△EBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到△E'BF,

•.NABE'=NDBF',BE'=BE,BF'=BF,

•BF'=BD_I---n

•BE，BA"1+m'

,.△ABE,^ADBF,,

•DF'=BD_I---n

…皿，一BA也+m，

【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性

质；灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系.

七、解答题（本题满分14分）

26.（14分）（2017•营口）如图，抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,与x

轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为（-2,0）,点P为抛物线上

的一个动点，过点P作PD，x轴于点D,交直线BC于点E.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一

点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱

形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,A(-2,0)在抛物线

上，于是列方程即可得到结论；

(2)根据函数解析式得到B(4,0),C(0,-2),求得BC的解析式为y=lx

2

-2,设D(m,0),得到E(m,-km-2),