2022届高考数学（文）二轮复习教学案 一 集合及其运算

专题一集合及其运算

【回顾过去，把握未来】

一.真题再现

1.【2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学广东，文1】若

集合M={-1,1},N={-2,1,0},则MN=()

A.{0,-1}B.{0}C.{1}

D.{一1,1}

【答案】C

【解析】MN={1},故选C.

2.【2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东，文1】已

知集合A={x|2<x<4},8={x|(x—l)(%-3)<0},则()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)((2,3)(D)(2,4))

【答案】C

【解析】因为5={x[l<x<3},所以

AnB={x|2<x<4}n{x|l<x<3}=(2,3),故选C.

3.【2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学重庆，文1】已

知集合A={1,2,3},B={1,3},则ACB=()

(A){2}(B){1,2}(C){1,3}(D)

{1,2,3}

【答案】C

4.【2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷)】设

集合Af={x|./=%},N={x|lgx<0},则M|JN=()

A.[0,1]B.(0,1]G.[0,1)D.(-oo,l]

【答案】A

5.【2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科(四川卷)】设

集合4={川一1VxV2},集合8={X|1VxV3},则4U8=()

(4){x|TVxV3}(8){x|-1VxV1}(0{x|K%<2}

(〃){x|2VxV3}

【答案】A

【解析】集合4=(—1,2),8=(1,3),故4U8=(—1,3),选

A

6.[2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工

类)】已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合

5={1,3,4,6,7},则集合=

(A){2,5}(B){3,6}(C){2,5,6}(D){2,3,5,6,8}

【答案】A

【解析】23={2,5,8},所以4口63={2,5},故选A.

7.[2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】设集合

A/={X|X2=X},N={x|lgx<0},则MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)

D.(-oo,l]

【答案】A

【解析】M={x,=x}={0,1},N=|x|lg%<0}=|%|0<x<l|,所以

MIJN=[0,1],故选A.

8.[2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(福建卷)】

若集合A=(/是虚数单位)，5={1,-1},则等于

()

A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0

【答案】C

【解析】由已知得A={i,-1,T1},故4门3={1,-1},故选析

9.【2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)】

已知集合人=仅|26<4},B={x|(x-1)(x-3)<0],则AcB=()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

【答案】C

【解析】因为3={x[l<x<3},所以Ac3=(2,3),故选C.

10.【2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)】

已次口集合A={X|^2-4X+3<0},B={X|2<%<4},则AC\B=

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

解析：A={A|X2-4X+3<0}={X|1<X<3},AA5=(2,3),答案选(C)

11.[2015年普通高等学校招生全国统一考试文数(安徽卷)】设全

集。={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B=[2,3,4},则4=©3)=()

(A){1,2,5,6}(B){1}(C){2}(D){1,2,3,4}

【答案】B

【解析】：Q5={1,5,6}AAn(QB)={l}.,.选B

12.[2015届普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标II

卷)】已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},

贝“AAB=()

(A){—1,0}⑻{0,1}(C){-1,0,1}(D){,0,,1,

2)

【答案】A

【解析】由已知得8=卜卜2<x<l},故AB={-1,0},故选A

二.高考研究

【考纲解读】

1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语

言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题.

2.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在

具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的

含义，会求两个简单集合的并集与交集.理解在给定集合中一个子集

的补集的含义，会求给定子集的补集.能使用韦恩(Venn)图表达集

合的关系与运算.

3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能

力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数

形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.

【命题规律】

从近几年高考题来看，集合的运算考查比较频繁，新课标用韦恩

图表达集合的关系与运算，高考试卷中的相应内容页明显增加，应引

起足够的重视.有时也会出现一块创新的“试验田”.全称命题与特

称命题，是新课标教材的新增内容，是考查的重点.

高考题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现.

【夯实基础，厚积薄发】

一.基础知识整合

（―）集合的概念及表示

1.集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的

总体叫做集合（简称集）.

2.集合中元素的3个性质：互异性、确定性、无序性.

3.集合的3种表示方法：列举法、描述法、图像法.

4.集合的分类：无限集、有限集。

5.集合的表示方法：列举法、特征性质描述法.集合的表示方法是

可以相互转化的.

6.常用数集符号

数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集

符号N*NZQRC

（二）.集合间的基本关系

1.集合与元素的关系：如果a是集合A中的元素可表示为aeA;如

果a不是集合A中的元素可表示为awA.

2.集合与集合的关系

如果集合A是集合3的真子集，可表示为

如果集合A是集合3的子集，可表示为4=3.

3.集合相等

如果两个集合4、5中的元素完全相同，则这两个集合相等。

表TF为A'=B.

集合A与集合5满足A=3且A35,则4=3.

4.空集的性质：用0表示.空集是任何集合的子集.空集是任何非

空集合的子集.

5.有限集合A,则：A的子集个数是2";A的真子集个数是2"一

1；

A的非空子集个数是2'—1;A的非空真子集个

数是2"—2.

（三）.集合的基本运算及性质

1.运算关系

集合幺与集合8的交集可表示为力n

集合/与集合B的并集可表示为力uB.

若[为全集，集合工的补集可表示为

'Ap\B^A,A^B^B,AC]B^I,Ap\A=A,AC\0=0.

2.逻辑关系=AAU5=5,AU/=/,AUA=A,AU0=A.

牖（幽4）=4施。=0,"0="0桐=0皿VA=U.

3.集合运算中的常用结论

交换律：Ap[B=B^A,A\jB=B\JA;

名吉合律：An（BnC）=（AnJB）nC,AU（BUQ=（AUB）UC；

分酉己律：An（Buc）=（AnJB）u（Anc）,Au（Bno=（AUB）n（Auc）；

吸收律：AU（AnB）=A,An（AUB）=A;

反演律（德摩根律）：瘤（ACB）=…（AUB）=瘠An

4.AC\B=A^A\JB=B^A^B.

5.对两个有限集A、B有:card(AUB)-card(A)+card(B)一

card(APlB).

(四)疑难知识导析

1.符号口，凄，,二，表示集合与集合之间的关系，其中“口”

包括“展”和“二”两种情况，同样“3”包括和“二”两种

情况.符号e,e表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符

号的区别.

2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在

表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什

么范围.用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是

并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的

子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式3cA

中，B二0易漏掉的情况.

5.｛巾=/(%)｝、｛小=/(%)｝、｛(%,y)|y=/(%)｝、｛x|g(x)之/(%)｝分别表示函

数y=/(x)定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式g(x)2/(x)的

解集.

6.要注意应用8、408=44U8=8、CCA40([㈤=0

这五个关系式的等价性

7.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的

图形是什么，用数形结合法解之.

8.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不

遗漏，并检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异

性”而导致结论错误.

9.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关

集合直观地表示出来.

10.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联

系与综合使用.

二、高频考点突破

题型一集合的含义

1.[2016届云南省师大附中高三适应性月考二理科数学试卷】已知

集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yeZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<3,x,yGZ},

设集合M={(Xi+x2,yi+y2)I(x1,yl)eA,(x2,y2)eB},则集合M中元

素的个数为.

【答案】59

【解析】由题意知，A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1)},B中有5x7=35

个元素，当(占，％)=(0,0)时，B中的元素都在M中；当(孙％)=(-1,0),(1,0)

时，M中元素各增加7个；当(孙^)=(0,-1),(0,1)时，M中元素各增加5

个，所以M中元素共有35+7+7+5+5=59个.

2.【精华学校2015-2016届全日制沙河校区第二次统练数学试卷】已

知集合A={x|y—x—2<0},B={%|—1<x<1},则()

(A)A5B(B)B/(C)A=B(D)ADB=0

【答案】B

题型二集合的运算

1.[2016届江苏省清江中学高三周练数学试卷】设集合A={O,1,2},

B={x|x<2},则ACB=.

【答案】{0』}

【解析】由题意得：AnB={x|x<2}n{0,l,2}={0,l}

2.[2016届江西省临川一中高三上学期期中文科数学试卷】已知集

合加=卜|2»11,N={y|y=l—必},则A/CN=().

A.(YO,2]B.(0,1]C.(0,2]D.[0,1]

【答案】B

【解析】因为M={x[0<x<2},N={y|y<l},所以AfAN=(0,1],故选

B.

题型三集合与其他知识的结合

1.【四川省成都外国语学校2015届高三高考考前自测数学(理)模

拟试卷】Z•是虚数单位，若集合S={-1,0,1},则

(1回丫

A.i3eSB.i6eSC.——+—i口S

【答案】：B

题型四集合中的创新问题

1.已知集合S={P\P=(xi,x2,x3),xie{0,1},/=1,2,3}对于A=(ai,a2,a3),

B=(bvbvb3)eS,定义A与5的差为A-8=(|%-4也1』〃3-41)，定义A与5

3

之间的距离为d(A,B)=Zlq-2I.对于VA,B,C£S,则下列结论中一定

i=l

成立的是()

A.d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)B.

d(A,C)+d(B,C)>d(A,B)

C.d(A—C,B—C)=d(A,B)D.d(A—C,B—C)>d(A,B)

【答案】C

【解析】由题意

—cj、回—C]卜]。2—。2卜忸,—02卜|。3—。3卜|03—03卜伍卜|。2—〃,卜|。3~'/l者B0

1所以

A-C=-c2|,|a3-c3|,)B-C=(瓦-仇涉2-c2|,|Z?3-c3|,)

都属于5,所

d(A-C,B-C)=1%_C||一|/?[_Cj|+|_1^2_|+|。3_。3I一弧3—。3|

=|%一仇|+|tZo—优|+|tZj—Z^j|~'d(A,B)

2.设S是至少有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即

对任意的a,bcS,对于有序实数对(。力)在S中有唯一确定的元素a*。

与之对应)若对任意的a,Z?eS,有=/?,则对任意的a,Z?eS,

下列等式中不恒成立的是()

A.(a*b^*a=aB.b*{b*b)=b

C.[a*0*a)]*(a*Z?)=aD.(a*8)*[b*(a*b)]=b

【答案】A

【跟踪练习，触类旁通】

1.设集合4={""|-1<%<3},8={2},则满足条件的集合

M的个数为()

A.1B.2C.3D,4

【答案】D

【解析】A={xeN|—l<x<3}={0,l,2},又B^M^A,故

/={2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4个，故选D.

2.已知全集U={xeN+|x<9},(CuA)cB={l,6},An^B)={2,3},

Cu(AU3)={5,7,8},则5=()

A.[2,3,4}B.[1,4,6)C.{4,5,7,8}

D.[1,2,3,6}

【答案】B

【解析】由题意得，。={123,4,5,6,7,8},所以画出集合运算的韦恩图

可知，集合3={1,4,6}.

3.已知集合加={0,1,2}3={小=2兄46"},则集合McN=()

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】D

【解析】由题意，得双={0,2,4},所以MnN={0,2},故选D.

5.已知全集U=H,集合M={M>-I)(x+3)<O},N={M%|W1},则下图阴影

部分表示的集合是()

A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-OO,3)U[-1,+QO)

D.(-3,-1)

【答案】D

【解析】M={%|-3<x<l},N=k|-1G<1}显然阴影部分表示的集合为

MnCRN={x|-3<x<-l},故选D.

6.集合A={x|尤2+X20},3={X|3,23},则AC3=()

A.<-11B.x>-1}

C.D.|x>0}

【答案】C

【解析】A={x|x2+x>0}={x<-l^a>0},B={x|3v>3}={x>l},所以

AnB={x>l},故选C.

7.已知4={123,4},5={2,4},。={1,2,3,4,5},则。乂人口为二()

A.{1,3,5}B.{1,3,5}0.{2,4}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【解析】由已知得4门5={2,4},所以用(4门3)={1,3,5}.故选B.

8.设U是全集，M，P，S是。的三个子集，则阴影部分所示的集合为

A（McP）cSB.(McP)u(CuS)

C（AfcP）uSD.(McP)c(CuS)

【答案】D

【解析】由图知，阴影部分在集合,中，在集合尸中，但不在集合S

中

故阴影部分所表示的集合是(McP)c(GS)

故答案为(MAP)nous

10.若。={1,2,3,4},〃={1,2}^={2,3},则G(/cN)=()

A.{1,2,3}B.{1,3,4}C.{2}D.{4}

【答案】B

【解析】；U={1,2,3,4},McN={2},:.CV(McN)={1,3,4}

11.已知集合A={x|x2_x—12>。},B=|x|x>mj.若AP|B={H尤>4},则

实数机的取值范围是()

A.(T,3)B.[-3,4]C.(-3,4)

D.(TO,4]

【答案】B

【解析】集合A={x|尤<-3§Jtx>4},AP|B={x|x>4},-3<zn<4,故

选B.

12.设集合4=口|二一21},集合5={y|y=2\x<0},则Ac5=()

x+1

A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-l,+oo)

【答案】C

【解析】A={x|-l<x<l},5={y|0<y<l},则Ac3=(0,l)

13.已知集合A={a/},则满足AU5={a,b,c}的集合3的个数是()

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】AUB={a,b,c},所以集合B中一要含有元素c,而集合A

中的两个元素可以在B中也可不在，故满足条件的集合B有他也c},

{a,c},{b,c},©共4个；

故选C

14.设全集U=R,集合A={4og2x<2),B={4%-3XX+1)>0},则

(C*)cA=()

A.(-oo-1]B.(-oo-l]u(0,3)C.(0,3)D.[0,3)

【答案】C

【解析】

A={x|log2x<2}={x|0<x<4},B=1%|(x-3)(x+l)>0}={x|x23处W—l},

所以CuB={x|-L<x<3},所以(C*)cA={九[0<x<3},故选C.

15.设A={x[2<6},B=[x\2a<x<a+3},若8=A,则实数a的取值

范围是()

A.[1,3]B.[3,+oo)C.[l,+8)

D.(1,3)

【答案】C

【解析】因为83A,所以先考虑3=0,此时a+3<2a得：a>3若300,

2<2a

<Q+3«6解得：所以故选C.

2a<a+3

16.已知集合加={3,1082力，N={a,b},若MnN={。},则MljN=()

A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3)

【答案】B

【解