2024初中数学培优竞赛例题+练习：三角形（7个）（学生版+解析版）

专题30三角形中的边和角

一、三角形三边的不等关系

【典例】周长为P的三角形中，最长边，〃的取值范围是（）

A.-<mB.-<m<^C.-<m<^D.-<m<

32323232

【解答】解：三边相等时，，”=生

三边不相等时，最长边山V与

所以，<m

故选：A.

【巩固】已知等腰三角形ABC.

（1）若其两边长分别为2和3,求aABC的周长；

（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18,求AABC的腰长.

二、三角形的三线

【学霸笔记】

1.三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或

其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心；

2.三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心；

3.三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相交于同一点，这

个点叫作内心.

【典例】如图，AD为AABC的中线，BE为AABD的中线.若aABC的面积为60,BD=5,则ABDE的

BD边上的高是（）

【解答】解：:AD是AABC的中线，SAABC=60,

11

x

1*.SAABD=2sAABC=260=30,

VBE>AABD的中线,

SABDE=^SAABD=:x30=15,

设BD边上的高为〃，BD=5,

11

A--BDh=-x5X/z=15,

22

：.h=6.

故选：D.

【巩固】如图，^ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG：GD=2：若SAABC=12,则图

中阴影部分的面积是―.

三、三角形的角平分线

【典例】如图，BD和CE分别是NABC和NACB的平分线且NDBC=NECB=31°.求NABC和NACB

的度数，它们相等吗？(写出简单过程)

由BD与CE分别是/ABC和/ACB的平分线，可得

ZABD=ZDBC=|ZABC,ZACE=ZECB=jzACB,

由NDBC=NECB=31°,可得NABC=NACB=62°,

.\ZABC=ZACB.

【巩固】

如图，点D是NABC的角平分线上的一点，过点D作EF〃BC,DG〃AB.

(1)若ADJ_BD,/BED=130°,求/BAD的度数.

(2)DO是4DEG的角平分线吗？请说明理由.

A

巩固练习

1.己知三角形三边长小b,c都是整数，并且aWbVc,若b=7,那么这样的三角形共有（）个.

A.21B.28C.49D.14

2.如图，在aABC中，ZC=90°，点D在AC上，DE〃AB,若NCDE=160°，则NB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如图，点D,E分别是aABC的边AC,AB上的点，直线BD与CE交于点E已知aCDF,ABFE,

△BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是.

4.如图，在锐角AABC中，ZBAOZC,BD、BE分别是aABC的高和角平分线，点F在CA的延长线

上，FH_LBE交BD于点G,交BC于点H,下列结论：①NDBE=/F；②2/BEF=/BAF+/C；③

(ZBAC-ZC)；④NBGH=NABD+NEBH.其中正确的是(填序号).

5.当三角形中一个内角B是另外一个内角a的手寸，我们称此三角形为“友好三角形”，a为友好角.如

果一个“友好三角形”中有一个内角为54°,那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数

为.

6.在AABC中，ZB=90°,AB=8cs,BC=6cwz,点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以

每秒2c小的速度运动到B.当点P的运动时间f=秒时，4PCD的面积为6a”2.

DB

7.如图1,AD是aABC的角平分线，E是AD延长线上一点，ZEBC=90°-1zABC,ZECB=90°-1z

ACB.

(1)若NBAC=78°,求NBEC的度数；

(2)若NABC=42°,则NAEC=度，若/ACB=64°,则NAEB=度；

(3)如图2.若CF平分NACB交AD于点F,求证：CF±CE.

图1图2

8.如图所示，在AABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M,Z

ADE的平分线与NABC的平分线交于点P,NACB的平分线与/DEC的平分线交于点Q,求证：ZP=Z

9.(1)如图1,NBAD的平分线AE与/BCD的平分线CE交于点E,NABC=60°,NADC=140。，

则NAEC的大小是；

(2)如图2,NBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,NABC=a,NADC=B(a>3),

求/AEC的大小；(用含a,B的代数式表示)

(3)如图3,在aABC中，ZACB=a,ZABC=B(a>p),AD是aABC的角平分线，点E是AD

/AEF

延长线上一点，作ERBC与点F,请叱7的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理

由.

10.在Rf^ABC中，NC=90°,D,E分别是aABC边AC,BC上的点，P是一动点，令NPDA=N1,

ZPEB=Z2,ZDPE-Za.

(1)若点P在线段AB上，如图1,且Na=40°,则Nl+N2=；

(2)若点P在边AB上运动，如图2,则Na,Z1,/2之间的关系为；

(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3,则Na,Z1,/2之间有何关系？猜想并说明理由;

(4)若点P运动到AABC外部，如图4,则Na,Z1,/2之间的关系为.

BAB

图3图4

11.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4）,OC=4OB.

（1）若4ABC的面积为20,分别求点B、C的坐标；

（2）如图②，向x轴正方向移动点B,使/ABC-NACB=90°,作NBAC的平分线AD交x轴于点D,

求/ADO的度数；

（3）如图③，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q,作NDQP=NAQM,它们的边分别交y、x轴于

点P、M两点，作NFMG=NDMQ,试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由.

专题30三角形中的边和角

一、三角形三边的不等关系

【典例】周长为P的三角形中，最长边，〃的取值范围是（）

A.-<mB.-<m<^C.-<m<^D.-<m<

32323232

【解答】解：三边相等时.，相=生

三边不相等时，最长边山V与

所以，<m

故选：A.

【巩固】已知等腰三角形ABC.

（1）若其两边长分别为2和3,求aABC的周长；

（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18,求AABC的腰长.

【解答】解：（D当2为底时，三角形的三边为3,2,3,可以构成三角形，周长为：3+2+3=8；

当3为底时，三角形的三边为3,2,2,可以构成三角形，周长为：3+2+2=7.

△ABC的周长为8或7.

（2）设三角形的腰为x,如图：

△ABC是等腰三角形，AB=AC,BD是AC边上的中线，

则有AB+AD=9或AB+AD=18,分下面两种情况解.

a：x+^x=9,

««x=6>

，三边长分别为6,6,15,

V6+6<15,不符合三角形的三边关系，

舍去；

1

b：彳+2式=18,

Ax=12,

J三边长分别为12,12,3.

综上可知：这个等腰三角形的腰长为12.

二、三角形的三线

【学霸笔记】

1.三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或

其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心；

2.三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心；

3.三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相交于同一点，这

个点叫作内心.

【典例】如图，AD为aABC的中线，BE为4ABD的中线.若aABC的面积为60,BD=5,则4BDE的

【解答】解：：AD是aABC的中线，SAABC=60,

•,-SAABD=|SAABC=gx60=30,

VBE^AABD的中线，

SABDE=|SAABD=Ix30=15,

设BD边上的高为/?,BD=5,

11

A--BD-h=~x5X/?=15,

22

:.h=6.

故选：D.

【巩固】如图，AABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG：GD=2：1,若SAABC=12,则图

【解答】解：•.,△ABC的三条中线AD、BE,CF交于点G,AG：GD=2：1,

；.AE=CE,

11

.'.SACGE=SAAGE=^SAACF,SABGF=SABGD=2SABCF,

11

VSAACF=SABCF=2sAABC=.X12=6,

1iii

..SACGE=2SAACF=gx6=2,SABGF=@x6=2,

；・S阴影nS4CGE+SaBGFMd.

故答案为：4.

三、三角形的角平分线

【典例】如图，BD和CE分别是NABC和NACB的平分线且NDBC=NECB=31°.求NABC和NACB

的度数，它们相等吗？(写出简单过程)

【解答】解：相等,

由BD与CE分别是NABC和NACB的平分线，可得

NABD=NDBC=*ABC,/ACE=/ECB=//ACB,

由/DBC=/ECB=31°,可得/ABC=NACB=62°,

二ZABC=ZACB.

【巩固】

如图，点D是/ABC的角平分线上的一点，过点D作EF〃BC,DG〃AB.

(1)若ADJ_BD,ZBED=130°,求/BAD的度数.

(2)DO是4DEG的角平分线吗？请说明理由.

/.ZEBC=50°,ZAEF=50°,

又；BD平分/EBC,

ZEBD=NBDE=ZDBC=25°,

又：ADJ_BD,

NBDA=90°,

ZBAD=90°-25°=65°；

(2)DO是aDEG的角平分线，

理由：；EF〃BC,DG〃AB,

...四边形BGDE是平行四边形，

VEF/7BC,

，NEDB=NDBG,

VBD平分NABC,

AZEBD=ZGBD,

AZEBD=ZEDB,

・・・EB=ED,

・・・四边形BGDE是菱形，

，BD平分NEDG,

ADO是ADEG的角平分线.

巩固练习

1.己知三角形三边长小b,c都是整数，并且。WbVc,若b=7,那么这样的三角形共有（）个.

A.21B.28C.49D.14

【解答】解:：根据己知，得

a的可能值有1,2,3,4,5,6,7.

根据三角形的三边关系，得

当a=1时，则。不存在；

当a=2时，则c=8；

当4=3时，则c=8,9；

当a=4时，则c=8,9,10；

当a=5时，则c=8,9,10,11；

当a=6时，则c=8,9,10,11,12：

当4=7时,则c=8,9,10,11,12,13.

则这样的三角形有21个.

故选：A.

2.如图，在aABC中，ZC=90°,点D在AC上，DE//AB,若NCDE=160°，则NB的度数为（)

D.70°

【解答】W：VZCDE=160°,

AZADE=20°,

・；DE〃AB,

.\ZA=ZADE=20°,

/.ZB=180°-ZA-ZC=180°-20°-90°=70°.

故选：D.

3.如图，点D,E分别是AABC的边AC,AB上的点，直线BD与CE交于点F,已知ACDF,ABFE,

△BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是

【解答】解：如图，连接AF,

VACDF,ABFE,Z\BCF的面积分别是3,4,5,

.S"8F_里S^BFC_竺_三S&BCF_5

ShADF。尸'S^CDF3,S^BEF屋

.S“EF+4_S—EF+SaBFEBFS&BCF_g

SbAFD尸。FDSbCDF3

S—RD+3_S—FD+SACD尸CFS&BCF_9

SAAEFSbAEFFES&BEF4

_108c_96

斛1守：尸-»^hAFD_13-

四边形AEFD的面积是SAAEF+SAADF=+患=

故答案为：.

13

4.如图，在锐角AABC中，ZBAOZC,BD、BE分别是AABC的高和角平分线，点F在CA的延长线

上，FH_LBE交BD于点G,交BC于点H,下列结论：①NDBE=NF；②2NBEF=NBAF+NC；③NF=4

(NBAC-NC)；④NBGH=NABD+NEBH.其中正确的是(填序号).

・・・NFGD+NF=90°,

VFH1BE,

・・・NBGH+NDBE=90°,

VZFGD=ZBGH,

・・・NDBE=NF,故①正确；

〈BE平分NABC,

・・・NABE=NCBE,

ZBEF=ZCBE+ZC,

A2ZBEF=ZABC+2ZC,

ZBAF=ZABC+ZC,

，2NBEF=/BAF+NC,故②正确；

VZABD=90°-ZBAC

ZDBE=ZABE-ZABD=ZABE-90°+NBAC=NCBD-ZDBE-90°+ZBAC,

VZCBD=90°-ZC,

.・・ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

AZF=ZBAC-ZC-ZDBE,

・・・2NF=NBAC-ZC,

AZF=1(ZBAC-ZC),故③正确；

VZBGH=ZABD+ZBTG,ZCBE=ZABE,BEITH,

・・・NBTG+NABE=NBHG+NCBE=90°,

.\ZBTG=ZBHT,

显然NCBE与NBHT不一定相等，故④错误，

故答案为：①②③.

5.当三角形中一个内角P是另外一个内角a的手寸，我们称此三角形为“友好三角形”，a为友好角.如

果一个“友好三角形”中有一个内角为54°,那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数

为.

【解答】解：①54°角是a，则友好角度数为54°；

1

贝HU-a=n

②54°角是P,J2p54

所以，友好角a=108°；

③54°角既不是a也不是8,

则a+8+54°=180°,

1

所以，a+5a+54。=180°,

解得a=84°,

综上所述，友好角度数为54°或84°或108°.

故答案为：54°或84°或108°.

6.在AABC中，NB=90°,AB=8cm,BC=6cm点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以

每秒2a”的速度运动到B.当点P的运动时间/=秒时，4PCD的面积为6a/.

【解答】解：•••点D是AB的中点，

AD=BD=*AB=4CVM,

，1

又SAPCD=6C，”2,即-PDXBC=6,

2

解得PD=2cm,

当点P在点D左侧时，

PD=2cw,则AP=AD-PD=4-2=2(cm),

此时点P的运动时间t\=孥=同

当点P在点D右侧时，

PD=2cm,则AP=AD+PD=4+2=6(cm),

AD

此时点P的运动时间/2=等=3s,

综上，点P的运动时间为1或3s.

故答案为：1或3.

11

7.如图1,AD是AABC的角平分线，E是AD延长线上一点，ZEBC=90°一*ABC,ZECB=90°一拉

ACB.

(1)若/BAC=78°,求/BEC的度数；

(2)若NABC=42°,则NAEC=度，若NACB=64°,则NAEB=度；

(3)如图2.若CF平分NACB交AD于点F,求证：CF1CE.

【解答】解：(1)VZBAC=78°,

AZABC+ZACB=180°-ZBAC=102°.

11

VZEBC=90°一*ABC,ZECB=90°一/NACB,

1i

.\ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-(90°-*NABC)-(90°NACB)=180°-90°-90°

(ZABC+ZACB)=51°.

(2)VZABC+ZBAE=ZBDE,NAEC+NDCE=NBDE,

ZABC+ZBAE=ZAEC+ZDCE,

/.ZAEC=ZABC+ZBAE-ZDCE.

VAD是/ABC的角平分线，

1

AZBAE=^ZBAC.

VZECB=90'>-1ZACB,ZABC=42°,

11

ZAEC=ZABC+jZBAC-(90°-1ZACB)

ii

=42°+1ZBAC-90°+1ZACB

=1(ZBAC+ZACB)+48°

=1(180°-NABC)+48。

=21。.

"?ZACB+ZDAC=ZEDC,ZEBC+ZBEA=ZEDC,

/ACB+/DAC=NEBC+/BEA,

.\ZAEB=ZACB+ZDAC-ZEBC.

VAD是/ABC的角平分线，

/.ZDAC=|ZBAC.

VZEBC=90°-1ZABC,ZACB=64°,

11

・・・NAEB=NACB+*NBAC-(90°-JZABC)

11

=64°-90°+^ZBAC+^ZABC

=64°-90°(1800-ZACB)

=32。.

故答案为：21,32；

(3)YCF平分NACB,

/.ZFCB=|ZACB.

1

VZEBC=90°-*ABC,

11

AZFCE=ZFCB+ZECB=1ZABC+(90。-|ZABC)=90。，

ACFICE.

8.如图所示，在AABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M,Z

ADE的平分线与NABC的平分线交于点P,NACB的平分线与NDEC的平分线交于点Q,求证：ZP=Z

【解答】证明：：/ADM是ABDIVI的外角，

二ZBMD=ZADM-ZABM.

VZADE的平分线与NABC的平分线交于点P,

AZADP=|ZADM,ZABP=jzABM,

ZADP是4BDP的外角，

1111

・・・NP=NADP-NABP=*ADM-*ABM=*(ZADM-ZABM)=*NBMD,

同理可得，ZQ=1ZCME,

又；/BMD=NCME,

.".ZP=ZQ.

9.(1)如图1,/BAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,ZABC=60°,ZADC-140°,

则NAEC的大小是；

(2)如图2,NBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,/ABC=a,NADC=B(a>p),

求/AEC的大小；(用含a,p的代数式表示)

(3)如图3,在AABC中，NACB=a,/ABC=B(a>p),AD是aABC的角平分线，点E是AD

延长线上一点，作EFLBC与点F,请问出要的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理

a-p

由.

【解答】解：(1)如图，延长CD,与AB交于点H,过点E作射线BF,

VZADC=ZDAH+ZAHD,ZADC=140°,

AZDAH+ZAHD=140°,

・・・ZAHD=NABC+NBCD,

AZABC+ZBCD+ZDAH=140°,

VZABC=60°,

・・・NBCD+/DAH=80°,

ZBAD的平分线AE与/BCD的平分线CE交于点E,

AZBCE+ZBAE=40°,

,:NCEF=ZCBE+ZBCE,NAEF=ZABE+BAE,

AZAEC=ZCEF+ZAEF=ZBCE+ZCBE+ZABE+ZAEF=ZABC+ZBCE+ZBAE=600+40°=100°,

故答案为：100°;

（2）过点C作射线AG,如图，

ZBCD=ZBCG+ZDCG=ZB+ZBAC+ZD+ZDAC=a+0+ZBAD,

：/BAD的平分线AE与/BCD的平分线CE交于点E,

11111

ZBAF=5/BAD,ZBCE=5NBCD=+杯+^BAD,

■:NBFE=NB+NBAF=a+|zBAD,

11111

/.ZAEC=ZBFE-ZBCE=a4-iZBAD-（二+鼻口+=）。一夕）；

Z_AEF1

（3）一厂的值不变，恒为：;・理由如下：

a-/?2

VZACB=a,ZABC=P,

.\ZBAC=180°-a-p,

VAD是4ABC的角平分线，

111

AZBAD=ZCAD=^ZBAC=90°一加一开，

1i1I

・・・NEDF=NB+NBAD=B+90。一8一杯=90。一扣+那，

VEF1BC,

1

AZAEF=90°-ZEDF=1（a-P）,

.乙4EF_1

•*a-p2

故我学的值不变，恒为a

10.在RfaABC中，ZC=90°,D,E分别是AABC边AC,BC上的点，P是一动点，令NPDA=N1,

ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若点P在线段AB上，如图1,且/a=40°,贝!!/1+N2=；

（2）若点P在边AB上运动，如图2,则/a,Zl,N2之间的关系为；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3,则/a,Zl,N2之间有何关系？猜想并说明理由；

（4）若点P运动到AABC外部，如图4,则Na,Zl,N2之间的关系为

c

图3图4

【解答】解:(1)VZ1+ZCDP=18O°,

.'.NCDP=180°-Zl,

同理：ZCEP=180°-Z2,

根据四边形的内角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360°,

VZC=90°,

.•.180°-Zl+a+180°-Z2+90°=360°,

.•.Zl+Z2=90°+a=90°+40°=140°,

故答案为：130°；

(2)VZl+ZCDP=180°,

.".ZCDP=180°-Zl,

同理：NCEP=180°-Z2,

根据四边形的内角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360°,

；NC=90°,

，180°-Zl+a+180--Z2+900=360°,

...Nl+N2=90°+a；

故答案为：ZI+Z2=90°+a；

(3)如图3,VZl+ZCDF=180°,

E

图3

.".ZCDF=180°-Zl,

VZCFD=Z2+a,

根据三角形的内角和得，ZC+ZCDF+ZCFD=180°,

.\90°+180°-Zl+Z2+a=180°,

.,.Zl=90°+N2+a,

故答案为：Nl=90°+Z2+a；

(4)如图4,：NPGD=/EGC,

，Z2=ZC-ZEGC=90°-ZPGD.

...NPGD=N2-90°,

,/ZPDG=180°-Zl,

根据三角形的内角和得，ZDPG+ZPDG+ZPDG=180°,

，a+180°-Z1+Z2-90°=180°,

/.Z2=90°+Z1-a.

故答案是：N2=90°+Z1-a.

图4

11.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4）,OC=4OB.

（1）若AABC的面积为20,分别求点B、C的坐标；

（2）如图②，向x轴正方向移动点B,使/ABC-/ACB=90°,作NBAC的平分线AD交x轴于点D,

求/ADO的度数；

（3）如图③，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q,作NDQP=NAQM,它们的边分别交＞、x轴于

点P、M两点，作NFMG=/DMQ,试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由.

1

由题意得，-x5aX4=20,解得，a—2,

2

则0B=2,则0C=8,

...点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(8,0)；

(2)VZABC-ZACB=90°,

/.ZABC=90°+ZACB,

AZACB+900+NACB+/BAC=180°,

ZBAC=I8O°-90°-2ZACB

=90°-2ZACB,

：AD是/BAC的平分线，

1

.\ZDAC=iZBAC=45°-ZACB,

则/ADO=NDAC+NACB=45°-ZACB+ZACB=45°；

(3)FM1PQ,

理由如下：延长FM交QP于H,

设/DQP=NAQM=x,ZFMG=ZDMQ=y,

则/DMH=/FMG=y,

ZAQM=ZQMD+ZQDM,即x=y+45°,

，/1=180°-NDQP-/ADO=90°-y,

则N2=N1=9O°-y,

AZ2+ZDMH=y+90°-y=90°,

图3

专题31三角形全等模型

一、倍长中线

【典例】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC

【解答】解：如图，延长FD到G,使DG=DF,连接CG.

VAD是BC边的中线，

；.BD=CD.

在4BDF和4CDG中

BD=CD

乙BDF=4CDG,

DF=DG

.,.△BDF^ACDG（SAS）,

；.BF=CG,NBFD=/G.

VAE=EF,

/EAF=NEFA=ZBFD,

.*.ZG=ZCAG,

；.AC=CG,

；.BF=AC.

【巩固】（1）方法呈现：如图①：在AABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点，

求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至IJ点E,使DE=AD,再连接BE,可证△ACDgaEBD,从而把AB、AC,2AD

集中在4ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写

出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；

(2)探究应用:

如图②，在aABC中，点D是BC的中点，DELDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC

于点F,连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；

(3)问题拓展:

如图③，在四边形ABCD中，AB〃CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点，

若AE是NBAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由.

二、一线三等角模型

【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

(1)如图1,NBAD=90°,AB=AD,过点B作BCAC于点C,过点D作DEJ_AC于

点E.由/l+N2=/2+ND=90°,得/1=ND.又/ACB=NAED=90°,可以推理得

到△ABCgADAE.进而得到AC=,BC=.我们把这个数学模型称为“K

字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

(2)①如图2,/BAD=NCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC_LAF

于点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点；

②如图3,在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,6),点B为平面内任一点.若4

AOB是以0A为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标.

【解答】(1)解：VZ1+Z2=Z2+ZD=9O°,

・・・N1=ND,

在aABC和4DAE中，

=ZD

\^LACB=Z.DEAf

{AB=AD

.•.△ABC^ADAE(SAS),

AAC=DE,BC=AE,

故答案为：DE,AE；

(2)①证明：如图2,作DM_LAF于M,EN_LAF于N,

・・・NBFA=NAMD=90°,

VZBAD=90°,

・・・N1+N2=N1+NB=9O°,

・・・NB=N2,

在4ABF与aDAM中，NBFA=NAMD,

ZBFA=ZAMD

zF=z2'

AB=AD

AAABF^ADAM(AAS),

，AF=DM,

同理，AF=EN,

，EN=DM,

VDM1AF,EN1AF,

AZGMD=ZGNE=90°,

在△DMG与4ENG中，

(ZDMG=NENG

J4DGM=乙EGN，

{,DM=EN

/.△DMG^AENG(AAS),

，DG=EG,即点G是DE的中点；

②解：如图3,△ABO和AAB'O是以OA为斜边的等腰直角三角形,

图3

过点B作DCJ_x轴于点C,过点A作DELy轴于点E,两直线交于点D,

则四边形OCDE为矩形，

；.DE=OC,OE=CD,

由①可知，AADB^ABCO,

；.AD=BC,BD=OC,

，BD=OC=DE=AD+2=BC+2,

；.BC+BC+2=6,

解得，BC=2,OC=4,

.,.点B的坐标为（4,2）,

同理，点B'的坐标为（-2,4）,

综上所述，aAOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4,2）或（-2,4）.

【巩固】如图1,ZkABC中，AB=AC,NBAC=90°,AE是过A点的一条直线，且B、

C在DE的异侧，BD_LAE于D,CEJ_AE于E.

D

D

DE

B图2

（1）Z\ABD与4CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由.

（2）如图2,若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BDVCE）时，其余条件不变，则

BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）.

（3）如图3,若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD>CE）时，其余条件不变，则

BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）.

三、角含半角模型

【典例】正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且NEAF=45°,将4ABE

绕点A逆时针旋转90°,得至IJZ^ADG.求证：EF=BE+DF.

BA

【解答】证明：如图，由题意得：AABE^AADG,

.,.ZBAE=ZDAG,AE=AG,BE=DG；

・・・FG=BE+DF；

・・・/BAE+NFAD=ZFAD+ZDAG；

VZEAF=45°,ZBAD=90°，

・・・NBAE+NFAD=90°>45°=45°,

，NFAG=45°，NEAF=NFAG；

在AEAF与AGAF中，

AE=AG

Z.EAF=Z.GAF,

AF=AF

AAEAF^AGAF(SAS),

・・・EF=FG,而FG=BE+DF,

・・・EF=BE+DF.

如图1,四边形ABCD中，BC=CD,ZBCD=120°,E、F分别为AB、AD上的点，Z

ECF=ZA=60°.求证：EF=BE+DF；

如图2,将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出

EF和BE,DF之间的数量关系并证明；

如图3,将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写

出EF和BE,DF之间的数量关系为.

图1图2图3

巩固练习

I.如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,Z1=25°,Z2=30°,连接BE,点D

恰好在BE上，贝!|N3=()

2.如图，在aABC与AAEF中，AB=AE,BC=EF,ZABC=ZAEF,ZEAB=40°,

AB交EF于点D,连接EB.下列结论：①NFAC=40°；②AF=AC；③NEFB=40°；

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在aABC中，AD_LBC于点D,BE_LAC于点E,AD,BE交于点F,AADC

丝△BDF,若BD=4,CD=2,则AABC的面积为()

A.24B.18C.12D.8

4.如图，方格中AABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点

三角形，图中可以画出与AABC全等的格点三角形共有（）个.（不含△ABC）

A.28B.29C.30D.31

5.如图，在aABC中，/ABC=45°,CD_LAB于点D,BE平分/ABC,且BE_LAC于

点E,与CD相交于点F,DH1BC于点H,交BE于点G.下列结论：①BD=CD；②AD+CF

=BD；③CE=^BF；®AE=CF.其中正确的是（填上正确结论的序号）.

6.如图，在AABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，DF_LDE交AC于F,延

长ED至G,使ED=GD.

（1）求证：BE=CG；

(2)求证：BE+CF>EF.

BDC

7.如图，点C在线段AB上，DA1AB,EB1AB,FC1AB,且DA=BC,EB=AC,FC

=AB,ZAFB=51°，求NDFE度数.

8.如图1,在R"\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D为AABC内一点，将线段AD绕

点A逆时针旋转90°得到AE,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.

(1)求证：BD=CE,BD1CE；

(2)如图2,连接AF,DC,已知NBDC=135°,判断AF与DC的位置关系，并说明理

由.

9.如图(1),AB=4CTM,AC_LAB,BD1AB,AC=BD=3c?n.点P在线段AB上以ICTM/S

的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间

为t(.s').

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当f=l时，4ACP与4BPQ是否全等，

并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)如图(2),将图(1)中的“AC_LAB,BD_LAB”改为“NCAB=NDBA=60°”，

其他条件不变.设点Q的运动速度为xcwi/s,是否存在实数x,使得4ACP与4BPQ全等?

10.如图，等腰RfZ\ABC中，/ABC=90°,点A、B分别在坐标轴上.

(1)如图I,若C点的横坐标为5,求B点的坐标；

(2)如图2,若BC交x轴于点M,过C点作CDLBC交y轴于D点.求证：BC-CD=

MC；

(3)如图3,若点A的坐标为(-4,0),点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB、

AB为直角边在第一、第二象限作等腰RrZMDBF,等腰RrZ\ABE,连接EF交y轴于P点，

当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB

的取值范围.

专题31三角形全等模型

一、倍长中线

【典例】如图，已知在aABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E,且AE=

【解答】解：如图，延长FD到G,使DG=DF,连接CG.

VAD是BC边的中线，

，BD=CD.

在△BDF和4CDG中

BD=CD

乙BDF=乙CDG,

DF=DG

/.△BDF^ACDG(SAS),

.\BF=CG,NBFD=/G.

VAE=EF,

/EAF=NEFA=ZBFD,

.\ZG=ZCAG,

；.AC=CG,

；.BF=AC.

【巩固】(1)方法呈现：如图①：在AABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点，求BC边上的

中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE,可证4ACD丝AEBD,从而把AB、AC,2AD集中在AABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1VADV5(直接写出范围即可).这种解

决问题的方法我们称为“倍长中线法”；

(2)探究应用:

如图②，在aABC中，点D是BC的中点，DELDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接

EF,判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；

(3)问题拓展:

如图③，在四边形ABCD中，AB〃CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点，若AE是/BAF

的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由.

【解答】解：(1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,

：D是BC的中点，

；.BD=CD,

VZADC=ZBDE,

.,.△ACD^AEBD(SAS),

；.BE=AC=4,

在4ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

A6-4<AE<6+4,

.\2<AE<10,

A1<AD<5,

故答案为：1<AD<5；

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示.

同(1)得：Z\BMD丝ZXCFD(SAS),

；.BM=CF,

VDE1DF,DM=DF,

；.EM=EF,

在4BME中，由三角形的三边关系得:

BE+BM>EM,

.".BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如图③，延长AE,DF交于点G,

.,.ZBAG=ZG,

在4ABE和4GCE中，

CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

/.△ABE^AGEC(AAS),

；.CG=AB,

：AE是NBAF的平分线，

；./BAG=/GAF,

.".ZFAG=ZG,

；.AF=GF,

：FG+CF=CG,

；.AF+CF=AB.

二、一线三等角模型

【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

(1)如图1,ZBAD=9