2019-2020学年江苏省某中学附中九年级上学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年江苏省泰州中学附中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题

1.（cos30°）T的值为（）

A.2B.—C.返D.

223

2.下列说法正确的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的内心到三个顶点的距离相等

C.外心和内心重合的三角形一定是等边三角形

D.直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°

3.下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频

率越接近概率；③事件发生的率与实验次数有关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的

概率为表示3次这样的试验必有1次针尖朝上.其中正确的是（）

O

A.①②B.②③C.①③D.①④

4.如图1,在5c中，AB=BC,AC=m,D,E分别是A5,5c边的中点，点尸为AC

边上的一个动点，连接尸。，PB,PE.设AP=x,图1中某条线段长为y,若表示y与x

的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）

A.PDB.PBC.PED.PC

5.ZkABC中，ZC=90°,内切圆与45相切于点O,AD=2,BD=3>,则△A5C的面积

为()

A.3B.6C.12D.无法确定

6.若二次函数y=-f+px+g的图象经过A(.1+m,it)、B(0,ji)、C(3-/n,")、O

22

(m-2m+5,j2)、E(,2m-tn-5,j3),则yi、j2>为的大小关系是()

A.J3<J2<J1B.J3<J1<J2c.yi<y2<y3D.j2<j3<ji

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相

应位置上）

7.二次函数y=2f+4x+l图象的顶点坐标为.

8.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则sinA的值为.

9.数据3000,2998,3002,2999,3001的方差为.

10.某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人.设该病毒一人平均每轮传染x

人，则关于x的方程为.

11.一元二次方程有一个根为2-依，二次项系数为1,且一次项系数和常数项都是非0

的有理数,这个方程可以是.

12.若与*2为关于x的方程x+2mx+m=0（小手0）的两个实数根，则」一+」-的值为_____.

X1x2

13.A、3为OO上两点，C为上一点（与A、B不重合），若NAC8=100°,则NA03

的度数为°.

14.如图，与矩形A5C。的边43、C。分别相交于点E、尸、G、H,若AE+CH=6,

则BG+DF为.

15.如图，半圆。的直径AB=18,C为半圆。上一动点，NCA5=a,点G为△A5C的重

心.则GO的长为

16.用正五边形钢板制作一个边框总长为40c机的五角星（如图），则正五边形的边长为

c/n（保留根号）.

三、解答题

17.(1)计算：J(tan30。_])2+sin60。-tan45°;

(2)解方程：2(x-1)2=M(x-1)

18.已知：关于x的方程X?-(wi+1)x+m2-1=0,根据下列条件求nz的值.

(1)方程有一个根为1;

(2)方程两个实数根的和与积相等.

19.我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试.其中有这样一题：

如图，分别以线段30的端点8、。为圆心，相同的长为半径画弧，两弧相交于A、C

两点，连接A3、AD.CB、CD.若4B=2,BD=2^＞求四边形ABC。的面积.

统计我市学生解答和得分情况，并制作如下图表：

各解答类型人数百分率条形统计图

(1)求学业水平测试中四边形4BCZ)的面积;

(2)请你补全条形统计图；

(3)我市该题的平均得分为多少？

(4)我市得3分以上的人数为多少？

20.证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

已知：如图，B'C,相似比为A,

求证：.(先填空，再证明)

证明:

21.如图，的半径为2a,A、3为。。上两点，C为内一点，ACJ.BC,

BC=a.

(1)判断点0、C、b的位置关系；

22.一次函数y=3x+6的图象与X轴相交于点A,与y轴相交于点5,二次函数5

图象经过点A、B,与x轴相交于另一点C.

(1)求a、b的值；

(2)在直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(3)求NA5C的度数.

（1）如图①，点。在斜边45上，以点。为圆心，长为半径的圆交于点。，交

BC于点、E,与边AC相切于点F.求证：N1=N2;

（2）在图②中作OM,使它满足以下条件：

①圆心在边A5上；②经过点8;③与边AC相切.

（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

24.某软件开发公司开发了A、8两种软件，每种软件成本均为1400元，售价分别为2000

元、1800元，这两种软件每天的销售额共为112000元，总利润为28000元.

（1）该店每天销售这两种软件共多少个？

（2）根据市场行情，公司拟对4种软件降价销售，同时提高3种软件价格.此时发现，

A种软件每降50元可多卖1件，3种软件每提高50元就少卖1件.如果这两种软件每

天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少？

25.定义：点尸在△A5C的边上，且与△ABC的顶点不重合.若满足△尸48、APBC.△

PAC至少有一个三角形与△△5c相似（但不全等），则称点P为△△5c的自相似点.

如图①，已知点A、5、C的坐标分别为（1,0）、（3,0）、（0,1）.

（1）若点尸的坐标为（2,0）,求证：点尸是△A5C的自相似点；

（2）求除点（2,0）外△△3c所有自相似点的坐标；

（3）如图②，过点3作Z>JB_L5C交直线AC于点O,在直线AC上是否存在点G,使

（1）试判断函数山的图象是否经过点C,并说明理由；

（2）若山为任意实数时，函数”的图象始终经过点C,求a的值；

（3）在（2）的条件下，存在不唯一的x值，当x增大时，函数%的值减小且函数以

的值增大.

①直接写出机的范围；

②点P为x轴上异于原点O的任意一点，过点P作y轴的平行线，与函数”的图象

分别相交于点。、E.试说明迈的值只与点尸的位置有关.

AB

0

C

参考答案

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（cos30°）T的值为（）

A.2B.—C.返D.

223

1仄

【分析】根据负整数指数森：ap=—（“于0,p为正整数），COS300=工亘计算即可.

ap2

解：原式=（虫）T=2返，

23

故选：D.

2.下列说法正确的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的内心到三个顶点的距离相等

C.外心和内心重合的三角形一定是等边三角形

D.直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°

【分析】利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可.

解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；

5、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；

C、外心和内心重合的三角形一定是等边三角形，正确；

。、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135°,错误；

故选：C.

3.下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频

率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数有关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的

概率为表示3次这样的试验必有1次针尖朝上.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

【分析】①根据不可能事件发生的概率为0,但是概率为0的事件不一定是不可能事件;

②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；

③事件发生的概率与实验次数无关；

④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为《，是偶然事件，不一定3次这样的试验必有

O

1次针尖朝上.

解：①不可能事件发生的概率为0,但是概率为0的事件不一定是不可能事件，还有可

能是检测的手段问题，不能说明该事件是不可能事件，这个和测度论有关，

所以①正确；

②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，正确；

③事件发生的概率与实验次数有关，错误；

④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为《，是偶然事件，不一定3次这样的试验必有

O

1次针尖朝上，故本选项错误；

故选：A.

4.如图1,在△A3C中，AB=BC,AC=m,D,E分别是AB,BC边的中点，点尸为AC

边上的一个动点，连接PZ>,PB,PE.设图1中某条线段长为y,若表示y与x

的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）

A.PDB.PBC.PED.PC

【分析】观察图2,确定x为何值取得最小值即可一一判断.

解：A错误，观察图2可知尸£>在》=处取得最小值.

4

B、错误.观察图2可知尸5在取得最小值.

C,正确.观察图2可知PE在取得最小值.

4

。、错误.观察图2可知PC在丫=机取得最小值为0.

故选：C.

5.△A3C中，ZC=90°,内切圆与A8相切于点O,AD=2,BD=3>,则△△5c的面积

为（）

A.3B.6C.12D.无法确定

【分析】根据切线的性质和三角形的面积公式解答即可.

解：设△ABC的内切圆分别与AC.BC相切于点E、F,CE的长为

根据切线长定理，得AE=AD=2,BF=BD=3,CF=CE=x.

根据勾股定理，得(x+2)2+(x+3)2=(2+3)2.

整理，得f+5x=6.

所以SAABC=/4C.BC

=—(x+2)(x+3)

2

=—(X2+5X+6)

2

=--X(6+6)

2

=6.

故选：B.

6.若二次函数y=-尸+0计4的图象经过A(1+M，〃)、5(0,ji)、C(3-m,n)、D

2

(m-2m+5,j2)、E{2m-m-5,丁3),则力、力、了3的大小关系是()

A.J3<J2<J1B.J3<J1<J2C.J1<J2<J3D.J2<J3<J1

【分析】由点A(1+m,〃)、C(3-m,n)的对称性，可求函数的对称轴为x=2,再

22

由6(0,ji)、D(m-2m+5,y2)、E(2m-m-5fj3),与对称轴的距离，即可判

断)1>丁2>为

解：:■经过A(1+m,n)、C(3-m,n),

...二次函数的对称轴x=2竽工=2,

Vm-2m+5=(m-1)2+4^4,2m-m2-5=-(m-1)2-4^-4,

:.(川2-2机+5-2)-[2-(2m-m2-5)]=-4<0,

••D点离对称轴x=2比E点离对称轴x=2近,

.".B(0,ji)、D(.m2-2m+5,J2)、E(2m-m2-5,万)与对称轴的距离E最远，B

最近，

Va=-l<0,

.*.J1>J2>J3；

故选：A.

二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相

应位置上)

7.二次函数y=2x，4x+l图象的顶点坐标为(-1,-1).

【分析】用配方法把二次函数的解析式化成顶点式便可求得顶点坐标.

解：,：y=2x2+4x+l=2(X2+2X)+1=2[(X+1)2-1]+1=2(X+1)2-1,

.•.二次函数的图象的顶点坐标为(-1,-1),

故答案为：(-1,-1).

A

8.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则sinA的值为

5一

【分析】先利用勾股定理计算出A3的长，然后根据正弦的定义即可求解.

解：VZC=90°,AC=6,BC=8,

AAB=VAC2+BC2=10,

故答案为：告.

5

9.数据3000,2998,3002,2999,3001的方差为2.

【分析】先求出平均数，再根据方差的计算公式进行计算即可.

_1

解：x=—(3000+2998+3002+2999+3001)=3000,

5

S2=—[(3000-3000)2+(3000-2998)2+(3000-3002)2+(3000-2999)2+(3000

5

-3001)2]=—X10=2;

5

故答案为：2.

10.某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人.设该病毒一人平均每轮传染x

人，则关于x的方程为l+x+(1+x)x=121.

【分析】等量关系为：1+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数=121,把相关数值代入

即可求得所求方程.

解：人患流感，一个人传染x人，

...第一轮传染X人，此时患病总人数为1+X；

.•.第二轮传染的人数为(1+x)X,此时患病总人数为l+x+(1+x)X,

•经过两轮传染后共有121人患了流感，

二可列方程为：l+x+(1+x)x=121.

故答案为：l+x+(1+x)x=121.

11.一元二次方程有一个根为2-代，二次项系数为1,且一次项系数和常数项都是非0

的有理数，这个方程可以是*24工-1=0.

【分析】直接利用一元二次方程的根以及一次项系数和常数项都是非0的有理数，结合

已知得出符合题意的方程.

解：•.•这个一元二次方程的二次项系数是1,

二设一元二次方程为：(x-2-，门)(.X-2+[^)=0,

整理为：x2-4x-1=0.

故答案为：x2-4x-1=0.

,11

12.若Xi、初为关于X的方程1+2mx+ffi=0(桃丰0)的两个实数根，则—+——的值为_二

X1x2

2.

11X,+Xn

【分析】根据根与系数的关系得出xi+x2=-2m,xi'x2=m,再将---+---变形为-------

X1x2x/2

即可求解.

解：Vxi，为关于x的方程¥+2“a+，”=0(nz=#0)的两个实数根，

/.Xi+X2=_2m,Xi*xi=m,

x+x

AJ_,Jl2_-2m__2.

Xx

**12Xjx2m

故答案为：-2.

13.A、3为OO上两点，C为。。上一点(与A、8不重合)，若NACB=100°,则NA05

的度数为160°.

【分析】如图，在优弧定上取一点。，连接A。，BD.求出NAO3,再利用圆周角定理

解决问题即可.

解：如图，在优弧:而上取一点D,连接AD,BD.

VZADB+ZACB=180°,

/.ZADB=1SO°-ZACB=180°-100°=80°,

AZAOB=2ZADB=160°.

故答案为160.

14.如图，。。与矩形4BCD的边Ab、CD分别相交于点£、RG、H,若AE+CN=6,

贝IBG+DF为6.

【分析】作OM_LGH于M,OM爻EF于N,如图，先证明0M利用垂径定理得

到EN=FN,GM=HM,利用四边形AbMN和四边形MNDC为矩形得到AN=5M,

DN=CM,然后根据等线段代换得到5G+Z＞尸=4£+CH.

解：作OM_LGH于M,OM交EF于N,如图，

9：EF//GH,

：.OM1.EF,

:・EN=FN,GM=HM,

易得四边形A5MN和四边形MNDC为矩形，

：.AN=BMfDN=CM,

：.BG+DF=BM-GM+DN-NF

=AN-HM+CM-EN

=AN-EN+CM-HM

=AE+CH

=6.

15.如图，半圆。的直径A3=18,C为半圆。上一动点，NCAB=a,点G为△△5c的重

心.则GO的长为3.

【分析】根据圆周角定理和重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1即可

求解.

解：连接0C,

•.•半圆。的直径43=18,

：.0C=9,

•.•点G为△ABC的重心，

.♦.OC经过G,

：.GO=^OC=3.

3

故答案为：3.

16.用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为

2盗+2cm（保留根号）.

【分析】由五边形ABCDE为圆内接正五边形，得出AB=BC=CD=DE=AE，则NBAS

=108°,NHAN=NAEH=NBAC=NDAE=NABE=L/BAE=36。,易求NEAH

3

=NEHA=NANH=NAHN=72°,得出AE=HE,AAEHsAAHN,则岖=旭，

ANHN

4n

求出AH=AN=EN=/=4,HN=HE-NE=AE-4,代入即可得出结果.

解：二•五边形A3C0E是正五边形，

二五边形ABCDE为圆内接正五边形，

^—

••AB=BC=CD=DE=AE>

:.ZBAE='5_2''A18U—=108°,ZHAN=NAEH=NBAC=ZDAE=ZABE=^-

53

ZBAE=^X108°=36°,

3

AZEAH=ZBAN=36°+36°=72°,

AZAHE=180°-72°-36°=72°,ZANB=1SO0-72°-36°=72°,

:.NEAH=NEHA=TT,ZANH=ZAHN=12°,

：.AE=HE,NEAH=NEHA=NANH=NAHN,

：.AAEH^>/\AHN,

•AE=AH

••屈一而

...五角星的边框总长为40cm,

40

：.AH=AN=EN=—=4,HN=HE-NE=AE-4,

10

.AE_4

,•4AE-4,

整理得：(AE-2)2=20,

，AE=2旄+2(cm),

故答案为：2J亏+2.

三、解答题

17.(1)计算：i/(tan30°-l)2+sin60°-tan45";

⑵解方程：2(x-1)2=-7s(x-D

【分析】(D将特殊锐角三角函数值代入、根据二次根式的性质去根号，再取绝对值,

最后计算加减即可得；

(2)根据方程的特点利用因式分解法求解可得.

解：(1)原式=|tan30°-1|+苧-1

=|返

32

=1-^4■遮—1

32

(2)V2(x-1)2-«(x-1)=0,

/.(x-1)(2X-2-73)=0,

则x-1=0<2x-2-依=0,

解得X=1或X=

2

18.已知：关于x的方程f-(m+1)x+m2-1=0,根据下列条件求/n的值.

(1)方程有一个根为1;

(2)方程两个实数根的和与积相等.

【分析】(1)根据一元二次方程的解的定义把x=l定义方程得到关于机的一元二次方

程，然后解此方程即可得到机的值；

(2)根据根与系数的关系得到关于m的一元二次方程，然后解此方程即可得到m的值.

解：(1)依题意有1-(/n+1)+m2-1=0,

2

m-m-1=0,

解得.=1土遥;

2

(2)依题意有机+1=/T,

2

m-m-2=0,

解得m=-1或2,

当机=2时△V0,方程无实数根，故m=-L

19.我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试,其中有这样一题:

如图，分别以线段BD的端点B.D为圆心，相同的长为半径画弧，两弧相交于A、C

两点，连接A3、40、CB、CD.若A5=2,3。=2愿，求四边形A3C。的面积.

统计我市学生解答和得分情况，并制作如下图表：

解答类型及得分情况表

得分序号解答类型

0A没有作答

B解答不正确

2C连接AC交30于点0,正

确求出BO;

3D正确计算出AO的长；

E结论正确，过程不完整；

4F正确，与参考答案一致；

G用其他方法，完全正确.

各能答类型人数百分率条形统计图

(2)请你补全条形统计图；

(3)我市该题的平均得分为多少？

(4)我市得3分以上的人数为多少？

【分析】(1)根据画法可知四边形ABC。是菱形，连接对角线，利用勾股定理求出0A,

进而求出对角线AC的长，再根据菱形的面积计算方法进行计算即可;

（2）求出“F组”所占的百分比，即可补全条形统计图；

（3）根据加权平均数的计算方法计算即可；

（4）先求出“3分及以上”的人数所占的百分比，即可求出答案.

解：（1）连接4c交50于点。；由作图可知A5=5C=CZ）=ZM,

.♦.ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,0B=0D=^BD=M，

在RtAAOB中，0A=62_（匾）2=i,

：.AC=2OA=2,

.\Sg_»）=-^AC*BD=2./3；

（2）100-1.4-6.7-9.2-28.7-10.8-8.9=34.3,补全条形统计图如图所示:

（3）2X1.4%+3X（6.7%+9.2%）+4X（34.3%+28.7%）=3.025（分）

答：我市该题的平均得分为3.025分；

（4）2000X（6.7%+9.2%+34.3%+28.7%）=1578（人）.

答：我市得3分及以上的人数有1578人.

20.证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

已知：如图，B'C，相似比为k,4。、A'0分别是和△4'

B'C的角平分线.

求证：T7r7-=k.（先填空，再证明）

-AD----

证明:

【分析】画出图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得NB=N8',

ZBAC=ZB,A'C,再根据角平分线的定义求出N3AO=N5'A'D',然后利用

两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可.

解：已知：如图，△ABC^>AA/B'C,相似比为k,AD.A'D'分别是△ABC和

△A'B'C'的角平分线.

求证：、*—=4.（先填空，再证明）

AU

证明：VAABC^AA7B'C,

/.ZB=ZBf,NBAC=NB'A'C,

"：AD.A'D'分别是△ABC和△△'B'C的角平分线，

AZBAD=^ZBAC,NB，AfD'=[N5'A'C',

/.ZBAD=ZB,AfD',

：.AABD^AAfB'D',

.ADAB.

・・—;-----;-=—；-----；—=k.

ND'A'By

故答案为：AD.AfD'分别是△ABC和△&'B'C'的角平分线；吗=k.

AU

21.如图，O。的半径为2a,A、5为OO上两点，C为。0内一点，AC±BC,AC=J区,

5C=〃・

（1）判断点。、C、3的位置关系；

（2）求图中阴影部分的面积.

cT

【分析】（1）求出AB=2a,则△045为等边三角形，可得点C在线段03上，则可得

出结论；

（2）可用扇形AO5的面积和SAOW,即可得出答案.

【解答】（1）解：0、C、B三点在一条直线上.

证明：连接。4、OB、OC,

在RtZkABC中，AB=hc2+Bc2=2a,

：.ZABC=60°,

.,.OA=OB=AB,

:.△OAB是等边三角形，

AZABO=60°,

故点C在线段上，

即0、C、5三点在一条直线上.

⑵vS=z€>C*AC=yxV3a=^J

A0ACa1・2

乙乙乙

SM4.B=60・7lX（2a）2=^.

3603

二阴影部分的面积为空-a2二&a?=（2L心、2

丁）a.

323

22.一次函数y=3x+6的图象与X轴相交于点A,与y轴相交于点仅二次函数y=af+x+b

图象经过点A、B,与x轴相交于另一点C.

（1）求“、》的值；

（2）在直角坐标系中画出该二次函数的图象;

(3)求NA5C的度数.

【分析】(1)先利用一次函数解析式确定A、3点的坐标，然后利用待定系数法求抛物

线解析式得到a、b的值；

(2)利用配方法得到y=-(x+—)2+空，则抛物线的顶点坐标为(-工，型)；解

2424

方程-f+x+6=o得c(3,0),然后利用描点法画图象；

(3)作于H,如图，利用勾股定理计算出5c=3遥，再利用面

积法求出A7f=2代，然后利用正弦的定义求出NA8〃=45°.

解：(1)当y=0,y=3x+6=6,则3(0,6)；

当x=0时，3x+6=0,解得x=-2,则A(-2,0),

把3(0,6),A(-2,0)代入尸修+.+二得6,解得'

(4a-2+b=0Ib=6

(2)抛物线解析式为y=-X2+X+6,

''y="X2+X+6=-(x+-^-)2+-^-

抛物线的顶点坐标为(-工，—)；

24

当y=0时，-¥+^+6=0,解得刈=-2,X2=3,

・••抛物线与x轴的交点坐标为A(-2,0),C(3,0),

如图,

AB=722+62=2"/10,

•AC=—•A77»BC,

2

需=2代，

在RtZ\A377,sinZABH=-=■

AB2V102

AZABH=45°,

即NA8C=45°.

23.在Rt2\ABC中，ZC=90".

（1）如图①，点。在斜边AB上，以点。为圆心，03长为半径的圆交4B于点O,交

BC于点、E,与边AC相切于点足求证：N1=N2：

（2）在图②中作OM,使它满足以下条件：

①圆心在边45上；②经过点3;③与边AC相切.

（尺规作图，只保留作图痕迹，不妥求写出作法）

【分析】（1）连接。死可证得。歹〃8C,结合平行线的性质和圆的特性可求得N1=N

0FB=Z2,可得出结论；

（2）由（1）可知切点是NA3C的角平分线和AC的交点，圆心在的垂直平分线上,

由此即可作出OM.

解：（1）证明：如图①，连接0K

:.OE±AC9

VZC=90°,

：.OE//BC9

:.ZI=ZOFB9

■:OF=OBf

:・NOFB=N2,

・・・N1=N2.

(2)如图②所示OM为所求.

②作5方的垂直平分线交Ab于M,以MB为半径作圆,

即OM为所求.

证明：在如F的垂直平分线上，

：.ZMBF=ZMFB,

又；BF平分NABC,

:.NMBF=NCBF,

：.ZCBF=ZMFB,

：.MF//BC,

,.-ZC=90",

：.FM±AC,

.•.OM与边AC相切.

24.某软件开发公司开发了4、5两种软件，每种软件成本均为1400元，售价分别为2000

元、1800元，这两种软件每天的销售额共为112000元，总利润为28000元.

(1)该店每天销售这两种软件共多少个？

(2)根据市场行情，公司拟对4种软件降价销售，同时提高5种软件价格.此时发现，

A种软件每降50元可多卖1件，3种软件每提高50元就少卖1件.如果这两种软件每

天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少？

【分析】(1)由4、3两种软件每天的营业额为112000元，总利润为28000元建立方

程组即可；

(2)设出A种软件多卖出机个，则B种软件少卖出机个，最后建立利润与A种软件多

卖出的个数的函数关系式即可得出结论.

解：(1)设每天销售A种软件x个，3种软件y个.

上wof2000x+1800y=112000

由题意得：.、，

I(2000-1400)x+(1800-1400)y=2800(

解得：J'-",20+40=60.

[y=40

...该公司每天销售这两种软件共60个.

(2)设这两种软件一天的总利润为W,A种软件每天多销售，”个，则3种软件每天少

销售m个.

W=(2000-1400-50m)(20+m)+(1800-1400+50/n)(40-my

=-100(m-6)2+31600(OWmW12).

当机=6时，W的值最大，且最大值为31600.

二这两种软件一天的总利润最多为31600元.

25.定义：点尸在△ABC的边上，且与△A3C的顶点不重合.若满足△PA3、APBC、△

产AC至少有一个三角形与△ABC相似(但不全等)，则称点尸为△A3C的自相似点.

如图①，已知点4、5、C的坐标分别为（1,0）、（3,0）、（0,1）.

（1）若点P的坐标为（2,0）,求证：点尸是△△5c的自相似点；

（2）求除点（2,0）外△A5C所有自相似点的坐标；

（3）如图②，过点5作交直线AC于点O,在直线AC上是否存在点G,使

△G5O与△G5C有公共的自相似点？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）通过证明△APCsaCAB,可得点尸是△△3c的自相似点；

（2）由题意可得点尸只能在上，分两种情形：若△CP/s^cAB,若△A5P”s4

P''BA,利用相似三角形的性质分别求解即可.

（3）存在.当点G的坐标为（5,-4）时，△G5O与△GBC公共的自相似点为S（3,

-2）.利用数形结合的思想证明三角形相似解决问题即可.

【解答】证明：（D连接c尸，

图①

VA（1,0）,B（3,0）,C（0,1）,P（2,0）,

：.AP=1,AC=y/2,AB=2,

.AP=1=返AC_V2

"AC"V2瓶丁，

APAC

且NPAC=NCAB,

ACAB

:.AAPCSACAB,

.•.点P^AABC的自相似点；

(2)由题意可得点尸只能在上,

图①

VA(1,0),5(3,0),C(0,1),

:.AC=M，5c=773，AB=2,

如图，若

.CA_CPy

''C5=CA

.\2=VioxCP,,

:.CP'=^^,

5

.CPZ_1

,

，，"BC-一后

.•.点P'(3X&IX当，即点P坐标(-1，当；

5555

若△AKP"s2\p”8A,

.P"B_AB

ABW

**-4=710*P'S

...P"3=设亘

5

.P"B2

BC

.•.点p"烂，4)；