2021-2022学年北京市海淀区九年级上期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年北京市海淀区九年级上期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.

1.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（)

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(3,-1)

2.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点尸(4,3）,。尸与尤轴正半轴的夹角为a,则tana

B.1C.1D.1

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3.方程X2-x+3=o的根的情况是（)

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

4.如图，一块含30°角的直角三角板A8C绕点C顺时针旋转到△A8C,当B,C,A在一

条直线上时，三角板48c的旋转角度为（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，8是反比例函数y=2（x>0）的图象上的一点，则矩

x

形Q48C的面积为（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图，在△A8C中，DE//BC,且QE分别交AB,AC于点。，E,若AD：AB=2：3,

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则△AOE和△ABC的面积之比等于（）

C.4：5D.V2：V3

7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与8

之间的距离为10。小双翼的边缘AC=BO=54aw,且与闸机侧立面夹角/PCA=

=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

A.(54>/3+10)cmB.(54r\/2+10)cmC.64cmD.54cm

8.在平面直角坐标系尤0y中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1

的是（

A.yiB.yiC.*D.y4

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.方程/-3x=0的根为.

10.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为.

11.已知抛物线的对称轴是x="，若该抛物线与无轴交于（1,0）,（3,0）两点，则”的

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值为.

12.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与>=区gO）的图象有两个交点，则发

x

的取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，有两点A（2,4）,B（4,0）,以原点0为位似中心，

把△0A8缩小得到△0A8.若夕的坐标为（2,0）,则点A的坐标为.

14.已知（-1,ji）,（2,”）是反比例函数图象上两个点的坐标，且yi>”，请写出一个

符合条件的反比例函数的解析式.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3,0）,判断在M,N,P,。四点中，满足到

点。和点A的距离都小于2的点是.

16.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，尸是直线y=2上的一个动点，OP的半径为1,直线

OQ切。尸于点Q,则线段0Q的最小值为.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23〜26题，每小题5分；第27~

28题，每小题5分）

17.（5分）计算：cos45°-2sin30°+（-2）°,

18.（5分）如图，与BC交于。点，NA=NC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的长.

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19.（5分）已知x=n是关于尤的一元二次方程mx2-4x-5=0的一个根，若mn2-4n+m=

6,求机的值.

20.（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数无（单位：度）的函数，下表记

录了一组数据

X（单位：度）・・・100250400500・・・

y（单位：米）・・・1.000.400.250.20・・・

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是______;

2

,1Rv_100-13nX1319

A.y-x；LJ.y—；C.y----v+'；L）.y--------------+•

-100X2002400008008

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为_______米.

21.（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图1,。。及O。上一点P.

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图2,

①作射线OP-,

②在直线OP外任取一点A,以点A为圆心，AP为半径作04,与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与交于点C；

④作直线PC-,

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：是OA的直径，

.1.ZBPC=90°（）（填推理的依据）.

：.OP±PC.

又是O。的半径,

•..PC是的切线（）（填推理的依据）.

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22.（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的

风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧

道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛

相连的大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直

的方向航行，到达尸点时观测两个人工岛，分别测得出，P8与观光船航向尸。的夹角

ZDE4=18°,/DPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离尸。的长.

ci）.

（1）求上的值；

（2）设点P（加，n）是双曲线y=X"上不同于A的一点，直线PA与无轴交于点B。，0）.

x

①若相=1,求6的值；

②若PB=2AB,结合图象，直接写出6的值.

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y\

5.

4-

3■

2■

1-

-5T-3T-Q-12345x

24.(6分)如图，A,B,C为。。上的定点.连接AB,AC,〃为AB上的一个动点，连接

CM,将射线绕点M顺时针旋转90°,交。。于点。，连接若AB=6qw,AC

=2cm,记A,M两点间距离为尤cm,B,D两点间的距离为yc〃z.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量X的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了尤与y的几组值，如下表，补全表格：

xlcm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.76—1.660

(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当8D=AC时，AM的长度约为cm.

25.(6分)如图，AB是OO的弦，半径P为的延长线上一点，PC与。。相

切于点C,CE与AB交于点F.

(1)求证：PC=PF；

(2)连接。2,BC,若OB〃PC,BC=3近,tanP=3,求用的长.

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E

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=4x2-SaxUa2-4,A（-1,0）,

N(n,0).

(1)当a—1时,

①求抛物线G与无轴的交点坐标;

②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求”的取值范围;

（2）若存在实数处使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出”的取

值范围.

y

5

4

2

1

12345x

27.（7分）己知在△ABC中，AB^AC,/BAC=a,直线/经过点A（不经过点2或点C）,

点C关于直线/的对称点为点。，连接B。，CD.

（1）如图1,

①求证：点8,C,。在以点A为圆心，为半径的圆上.

②直接写出N3OC的度数（用含a的式子表示）为.

（2）如图2,当a=60°时，过点。作2。的垂线与直线/交于点E,求证：AE=BD；

（3）如图3,当a=90°时，记直线/与CD的交点为R连接BF将直线/绕点A旋

转，当线段8尸的长取得最大值时，直接写出tan/FBC的值.

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D

D

AD

夕7/c7

BCBCBC

图1图2图3

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,a）和点B（b,0）,给出如下定义：

以AB为边，按照逆时针方向排列A,B,C,。四个顶点，作正方形A8CD,则称正方形

ABCD为点A,B的逆序正方形.例如，当。=-4,6=3时，点A,B的逆序正方形如

图1所示.

（1）图1中点C的坐标为；

（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变（填“横”

或“纵”），它的值为；

（3）已知正方形ABC。为点A,8的逆序正方形.

①判断：结论“点C落在x轴上，则点。落在第一象限内（填“正确”或“错

误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；

②OT的圆心为TG,0）,半径为1.若。=4,b>Q,且点C恰好落在OT上，直接写

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2021-2022学年北京市海淀区九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.

1.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（3,-1）

【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.

【解答】解：抛物线y=（尤-1）2+3的顶点坐标是（1,3）.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点尸（4,3）,。尸与无轴正半轴的夹角为a,则tana

的值为（）

【分析】过尸作PNLx轴于N,PM±y轴于根据点P的坐标求出PN和ON,解直

角三角形求出即可.

过尸作PALLx轴于N,轴于则/PNO=90°,

•.“轴_1/轴，

，ZMON=ZPMO=/PNO=90°,

，四边形MONP是矩形，

：.PM=ON,PN=OM,

VP(4,3),

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：.0N=PM=4,PN=3,

故选：C.

【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键.

3.方程/-x+3=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【分析】把。=1,6=-1,c=3代入△=启-4a进行计算，然后根据计算结果判断方

程根的情况.

【解答】解：b--1,c—3,

；.△=/-4ac=（-1）2-4X1X3=-11<0,

所以方程没有实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程o?+6x+c=0QWO,a,"c为常数）的根的判别式

△=/-4ac.当时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等

的实数根；当时，方程没有实数根.

4.如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△ABC,当8,C,4在一

条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案.

【解答】解：：将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A3C,

；.8C与8C是对应边，

旋转角NBC8=180°-30°=150°.

故选：A.

【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,

正确得出对应边是解题关键.

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5.如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y=2（尤＞0）的图象上的一点，则矩

x

形Q48C的面积为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】因为过双曲线上任意一点引尤轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即5=

因.

【解答】解：：点2在反比例函数y=2（尤＞0）的图象上，

x

，矩形OABC的面积S=|川=2,

故选:B.

【点评】本题主要考查了反比例函数y=K中左的几何意义，即过双曲线上任意一点引x

x

轴、y轴垂线，所得矩形面积为因.

6.如图，在△ABC中，DE//BC,且。E分别交AB,AC于点。，E,若A。：AB=2：3,

则△AOE和△ABC的面积之比等于（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.72:V3

【分析】由。E〃8C,利用“两直线平行，同位角相等”可得出ZAED

=ZACB,进而可得出△ADES/XABC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即

可求出结论.

【解答】,：DE//BC,

/ADE=ZABC,NAED=ZACB,

：.AADE^^XABC,

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.SAADE_，皿2_4

••瓦嬴一短~9

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.

7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与2

之间的距离为10c",双翼的边缘AC=BD=54cM1,且与闸机侧立面夹角NPCA=/BDQ

=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

闲机■闲机看

图1图2

A.（5473+10）cmB.（54>/2+10）cmC.64cmD.54cm

【分析】过A作AE，CP于E,过B作2尸，。。于凡则可得AE和3尸的长，依据端点

4与8之间的距离为10。"，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.

【解答】解：如图所示，过A作AELCP于E,过2作于R则

RtzXACE中，AE=LC=LX54=27（cm）,

22

同理可得，BF=21cm,

又：点A与8之间的距离为lOc/77,

...通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm）,

故选：C.

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它

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可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

8.在平面直角坐标系尤。丫中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1

的是（）

A.yiB.yiC.y3D.j4

【分析】先确定”的二次项系数为1,然后根据二次项系数的绝对值大，图象开口反而

小即可得出结论.

【解答】解：由图象可知：开口都是向上，二次项系数都大于0,函数yi的开口最大，

大于y2,函数小的开口小于了2,函数y4的开口等于＞2

:抛物线”的顶点为（0,-1）,与尤轴的一个交点为（1,0）,根据待定系数法求得中

=X2-1,则二次项的系数为1,

故解析式中的二次项系数一定小于1的是yi

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解

析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.方程x2-3x=0的根为xi=0,X2=3.

【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，

然后解得原方程的解.

【解答】解：因式分解得，x（尤-3）=0,

解得，xi=0,X2=3.

故答案为：XI—0,X2=3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下

是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二

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次方程的一种简便方法，要会灵活运用.

10.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为TT.

【分析】根据扇形面积公式求出即可.

【解答】解：扇形的面积是X2:=e,

360

故答案为亿

【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键.

11.已知抛物线的对称轴是x=w,若该抛物线与X轴交于（1,0）,（3,0）两点，则"的

值为2.

【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程.

【解答】解：.••抛物线与x轴交于（1,0）,（3,0）两点，

.•.抛物线的对称轴为直线=2.

即〃的值为2.

故答案为2.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=o?+灰+c（a,b,c是常数，

。/0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考

查了二次函数的性质.

12.在同一平面直角坐标系尤0y中，若函数y=尤与>=区0）的图象有两个交点，则Z

x

的取值范围是1>0.

【分析】联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角

坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0,列出关于左的不等式，求出不等式的

解集即可得到人的范围.

y=x

【解答】解：联立两解析式得：k，

y=­

X

消去y得：/-k=0,

•••两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，

：.X=R-4ac=4k>0,即k>0.

故人的取值范围是％>0.

故答案为：k>0.

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，

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熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键.

13.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，有两点A(2,4),B(4,0),以原点O为位似中心,

把△OA8缩小得到△0AE.若8的坐标为(2,0),则点A的坐标为(1,2).

【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算.

【解答】解：点B的坐标为(4,0),以原点。为位似中心，把缩小得到△OA9,

8的坐标为(2,0),

以原点。为位似中心，把△048缩小工，得到△。48,

2

:点A的坐标为(2,4),

.•.点A的坐标为(2X-1,4xX),即(1,2),

22

故答案为：(1,2).

【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变

换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于％或-k.

14.已知(-1,yi),(2,*)是反比例函数图象上两个点的坐标，且yi>”,请写出一个

符合条件的反比例函数的解析式y=-2,答案不唯一.

x

【分析】先根据题意判断出左的符号，再写出符合条件的解析式即可.

【解答】解：：(-1,yi),(2,”)是反比例函数图象上两个点的坐标，且yi>”，

...函数图象的分支在二四象限，则上<0.

故答案为：y=-2,答案不唯一.

x

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决

此题的关键是确定上的符号.

15.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点A(3,0),判断在M,N,P,。四点中，满足到

点。和点A的距离都小于2的点是点A/与点N.

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【分析】分别以点0和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点。和点A的距离

都小于2的点.

【解答】解：如图，分别以点。和点A为圆心，2为半径画圆，

可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点〃与点N,

故答案为：点〃与点N.

【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时,

点到圆心的距离小于圆的半径.

16.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，尸是直线y=2上的一个动点，OP的半径为1,直线

0Q切。尸于点Q,则线段0Q的最小值为—在

【分析】连接PQ、0P,如图，根据切线的性质得PQLOQ,再利用勾股定理得到0Q

=Vop2-r利用垂线段最短，当。尸最小时，。。最小，然后求出。尸的最小值，从而

得到OQ的最小值.

【解答】解：连接P。、OP,如图,

:直线切。尸于点Q,

J.PQLOQ,

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在Rt△。尸0中，02=j0p2_pQ2=1yop2

当。尸最小时，OQ最小,

当。尸，直线y=2时，。尸有最小值2,

：.OQ的最小值为亚W=«.

故答案为

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27~

28题，每小题5分）

17.（5分）计算：cos45°-2sin30°+（-2）°.

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幕法则计算即可求出值.

【解答】解：原式=返-2义工+1=返-1+1=返.

2222

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（5分）如图，与BC交于。点，ZA=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的长.

【分析】由N4=/C,可得出利用相似三角形的性质

可得出胆=9_,代入AO=4,CO=2,CD=3即可求出AB的长.

CDCO

【解答】解：VZA=ZC,/AOB=NCOD,

：.△AOBsXcOD,

•AB_AO即AB=4

，-，

'CDCO~T~T

：.AB=6.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题

的关键.

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19.（5分）已知x="是关于x的一■元二次方程/nr2-4x-5=0的一个根，mn2-4n+m=

6,求小的值.

【分析】把x=w代入方程求出机层-4〃的值，代入已知等式求出m的值即可.

【解答】解：把x="代入方程得：根"2-4〃-5=0,即机层-4〃=5,

代入已知等式得：5+m=6,

解得：机=1.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

20.（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记

录了一组数据:

X（单位：度）•••100250400500

y（单位：米）•・・1.000.400.250.20

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是2；

x21319

A.y=—―x；B.y=；C.y=-1x4-|sDy

'100x-20040000^SOO-X8

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为.।-1米.

一2一

【分析】（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数无（单位：度）

成反比例，依此即可求解;

（2）将x=200代入（1）中的解析式，求出y即可.

【解答】解：（1）根据表格数据可得，100X1=250X0.4=400X0.25=500X0.2=100,

所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数无（单位：度）成反比例,

所以y关于x的函数关系式是里.

x

故选：B.

(2)将x=200代入

X

得尸也”

2002

故答案为工.

2

【点评】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关

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键.

21.（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图1,及。。上一点P.

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图2,

①作射线0P；

②在直线0P外任取一点A,以点A为圆心，AP为半径作OA,与射线0P交于另一点B；

③连接并延长BA与OA交于点C；

④作直线PC-,

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：是OA的直径，

.,.ZBPC=90°（圆周角定理）（填推理的依据）.

：.OP±PC.

又：OP是。。的半径，

图1图2

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理得到/8PC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；

（2）证明：是OA的直径，

：.ZBPC=9Q°（圆周角定理），

：.OP±PC.

又：OP是。。的半径,

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.••PC是o。的切线（切线的判定）.

故答案为：圆周角定理，切线的判定.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.

22.（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的

风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧

道，西人工岛上的A点和东人工岛上的8点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛

相连的大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直

的方向航行，到达尸点时观测两个人工岛，分别测得PA,PB与观光船航向PD的夹角

ZZ）B4=18°,/DPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离尸。的长.

参考数据：sinl8°*0.31,cosl8°心0.95,tanl8°-0.33,sin53°^0.80,cos53°"0.60,

【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在RtAPAD中利用正切的定义得到

tanl8°=工，即y=0.33x,同样在RtAPDB中得到y+5.6=1.33x,所以0.33x+5.6=1.33x,

x

然后解方程求出X即可.

【解答】解：设尸。的长为X千米，D4的长为y千米，

在中，tan/D81=地，

DP

即tanl8°=—,

x

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/.y=0.33x,

在RtZkPOB中，tanZDPB=^~,

PD

即tan53。=迄殳，

X

Ay+5.6=1.33x,

・・・0.33x+5.6=1.33x,解得x=5.6,

答:此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或

边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.

23.(6分)在平面直角坐标系尤Oy中，已知直线y=L与双曲线>=上■的一个交点是A(2,

2x

a).

(1)求上的值；

(2)设点尸("z,n)是双曲线>=区上不同于A的一点，直线出与x轴交于点2(6,0).

x

①若相=1,求b的值；

②若尸8=2AB,结合图象，直接写出6的值.

【分析】(1)由直线解析式求得A(2,1),然后代入双曲线y=K中，即可求得上的值;

(2)①根据系数上的几何意义即可求得〃的值，得到尸的坐标，继而求得直线也的解

析式，代入B(b,0)即可求得。的值；②分两种情况讨论求得即可.

【解答】解：(1),•,直线>=工■尤与双曲线y=K的一个交点是A(2,a),

2x

.，.a=」X2=l,

2

AA(2,1),

第21页共33页

.\k=2X1=2；

(2)①若相=1,则P(1,〃)，

•・•点尸(1,〃)是双曲线>=区•上不同于A的一点,

x

••nk~~~21

：.P(1,2),

VA(2,1),

则直线B4的解析式为y=-x+3,

•.•直线与x轴交于点8(6,0),

；.0=-b+3,

."=3；

②如图1,当P在第一象限时，

\"PB=2AB,A(2,1),

；.尸点的纵坐标时2,

代入y=2求得x=l,

x

：.P(1,2),

由①可知，此时6=3；

如图2,当尸在第，三象限时，

•；PB=2AB,A(2,1),

二尸点的纵坐标时-2,

代入y=Z求得x=-1,

x

：.P(-1,-2),

VA(2,1)

则直线PA的解析式为y=x-1,

*.b=\,

综上，6的值为3或1.

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【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的

关键.

24.(6分)如图，A,B,C为OO上的定点.连接AB,AC,M为AB上的一个动点，连接

CM,将射线绕点M顺时针旋转90°,交。。于点。，连接8D若AB=6CHI,AC

=2cm,记A,M两点间距离为无cmB,。两点间的距离为

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了尤与y的几组值，如下表，补全表格：

x/cm00.250.47123456

第23页共33页

y/cm1.430.6601.312.592.762.411.660

(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当AC时,AM的长度约为1.38或4.62cm.

【分析】(1)描出图象后，测量x=4时，y的值，即可求解；

(2)描点即可；

(3)当3£(=AC时，即：y=2,即图中点A、8的位置，即可求解.

【解答】解：(1)描出后图象后，x=4时，测得y=2.41(答案不唯一),

故答案是2.41；

(2)图象如下图所示:

当尤=4时，测量得：y—2Al；

(3)当时，y=2,

即图中点A、B的位置，

从图中测量可得：XA=1.38,XB=4.62,

故：答案为：1.38或4.62(本题答案不唯一).

【点评】本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的

长度.

25.(6分)如图，是。。的弦，半径OELAB,P为A8的延长线上一点，PC与。。相

切于点C,CE与AB交于点?

(1)求证：PC=PF；

(2)连接。8,BC,若OB〃PC,BC=3A/2，tanP=3,求尸8的长.

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E

【分析】（1）连接OC,根据切线的性质以及0E_LA8,可知NE+NEE4=NOCE+N/。尸

=90°,从而可知/£刚=//。尸，由对顶角的性质可知NC尸尸=NbCP,所以尸。=尸尸;

（2）过点8作8G_LPC于点G,由于05〃PC,且O5=OC,8C=3加,从而可知03

=3,易证四边形05GC是正方形，所以O8=CG=8G=3,所以弛=3,所以PG=4,

PG4

由勾股定理可知：尸3=5,所以FB=PF-PB=7-5=2.

【解答】解：（1）连接OC,

・・・尸。是OO的切线，

.\ZOCP=90°,

OE=OC,

：./E=/OCE,

uJOELAB,

：.ZE+ZEFA=ZOCE+ZFCP=9Q°,

：.ZEFA=ZFCP,

•：/EFA=/CFP,

:・/CFP=NFCP,

：.PC=PF；

(2)过点3作BG_LPC于点G,

OB//PC,

：.ZCOB=90°,

VOB=OC,8C=3&,

・・・OB=3,

•：BGLPC,

：.四边形OBGC是正方形，

・・・OB=CG=BG=3,

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\'tanP=—,

4

.BG3

••--------,

PG4

.•.PG=4,

由勾股定理可知：PB=5,

•：PF=PC=1,

：.FB=PF-PB=1-5=2.

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定,

锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：j=4x2-8ax+4a2-4,A（-1,0）,

N（7i,0）.

（1）当（7=1时，

①求抛物线G与尤轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求〃的取值范围；

（2）若存在实数a,使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出“的取

值范围.

【分析】（1）①把。=1代入二次函数表达式得：y=4/-8x,令y=0,即可求解；

②抛物线G与线段AN只有一个交点，贝鼠=-1时，y20（已经成立），尤=〃时，y<0,

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且-1,即可求解；

(2)由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，贝Ux=-1时，x=〃时，y20,

即可求解.

【解答】解：⑴①把。=1代入二次函数表达式得：y=4f-8x,

令y=0,即4A2-8x=0,解得：x=0或2,

即抛物线G与x轴的交点坐标为：(2,0)、(0,0)；

②抛物线G与线段AN只有一个交点，

则尤=-1时，y^O(已经成立)，x—n时，y<0,且n>-1,

4«2-8«<0,解得：0<n<2,

故：0Ww<2；

(2)由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，

贝ijx=-l时，y^O,尤="时，yNO,

Bn(4+8a+4a2-4)。副但(a>0或a<-2

即：〈0，解得：一、，

-2an+a-l>0或n?a