2024年高考数学押题预测模拟卷4（新高考九省联考题型）含答案

决胜2024年高考数学押题预测卷04

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知集合/中尸中2山82寸，则"5=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|x>-l}D.{x|x>-l}

2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为

“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，

一定符合该标志的是（）

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3।D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

3.己知落B均为单位向量.若|5』|=1，则2在B上的投影向量为（）

4.已知加，”是两条不同的直线，a,分是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若如〃“，且“ua,则7w//aB.若且"ua,则加J_a

C.若加//a,且m///?,则a//〃D.若加_La,且加工人则a///7

5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统

文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法

中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°

等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图

乙），测得43=3,8。=4,/C=40=2,若点的好在边应Lt,请帮忙计算sinN4功的值（）

113岳11

AB.C.D.

-IU1616

6.已知a为锐角，且tana+tan（乌一=则包工色土i=（

（4）3cos2a

1£

A._aB.-2C.-D.

J32

22

7.已知过原点徽直线/与双曲线仁=1（4〉0/>0）交于力,方两点（点/在第一象限），尺,

ab

与分别为双曲线珊左.右焦点，延长/5交奸点G若忸周二|4。|,ZF}BF2=^则双曲线珊

渐近线方程为（）L

Ay=±y/2xB.x=±V2yC.y=±y/^xD.x=土道y

111

=

8.已知log^u—flog4b=q,c=（］+e）e,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知复数百=1—3i,z2=（2-i）,23=斗詈，则（）

的实部依次成等比数列

A.Zj+z2=4+7iB.4/2/3

C.VlOlzJ=2|Z2|D.4/2/3的虚部依次成等差数列

10.已知函数/(力=121“3%+7「1,则(

B./（x）的定义域是，|"；+左，keZ

A./(x)的一个周期为2

C./(x)的图象关于点［川对称

D./（x）在区间［1,2］上单调递减

11.已知函数〃x）及其导函数/'（x）的定义域均为R,且———x）=2x—2,/'（x）的

图象关于点（1,0）对称，则（）

A./（0）=1

B.y=y（x）-尤为偶函数

c./（X）的图象关于点（1,0）对称

D,广（2024）=—2023

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线C:/=8x的焦点为尸，过产的直线/与曲线。交于48两点，点A的横坐标为6,则

13.已知随机变量X〜NR,4）,且尸（X<a）=尸（X21）,则尤-予的展开式中常数项为

14.在四面体48C。中，AB=5AD=BC=1,CD=巫,且N54D=N48C=|＞，则该四面

体的外接球表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个,

标号为3号的球有2个.现从这8个球中任选2个球.

(1)求选出的这2个球标号相同的概率；

(2)设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布列与数学期望.

16.设函数/(x)=lnx+&左eR.

(1)若曲线N=/(尤)在点(e,/(e))处的切线与直线X—2=0垂直，求左的值；(其中e为自然对数的

底数)

(2)在(1)的条件下求/(x)的单调区间和极小值.

17.在三棱台。M—4BC中，。9，平面48。，AB1BC,且R4=3C,AC=2DF,M为

/C的中点，P是CR上一点，且d=丝9=彳(2>1).

DFCP

B

(1)求证：CDJ_平面尸；

(2)已知CP=1,且直线3C与平面尸瓦0的所成角的正弦值为逅时，求平面跳川与平面必屈

6

所成夹角的余弦值.

18.在平面直角坐标系X。中，动点雁(J点/(1,0)的距离与到直线x=4的距离之比为

(1)求动点谕迹的勺方程；

(2)过点用勺两条直线分别交吁4晒点和0/两点，线段/反口的中点分别为RQ.设直线力笈CD

11,

的斜率分别为左，后2,且7+r=1，试判断直线网是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，

/v2

请说明理由.

19.已知有穷数列/：%，％，…，之3)中的每一项都是不大于”的正整数.对于满足14加〈”的

整数加，令集合/(加)={4%=机，左=1,2,…，〃}.记集合4(")中元素的个数为s(m)(约定空集

的元素个数为0).

(1)若4:6,3,2,5,3,7,5,5,求4(5)及s(5)；

11-1

(2)若=",求证：为,小，…，％互不相同；

s(%)s(g)s(a“)12n

(3)已知%=a,%=6,若对任意的正整数i，刀与，，+/<")都有i或，+/€，(%),求

%+。2■1----!■%的值.

决胜2024年高考数学押题预测卷04

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知集「卜，38+2]”{用"2个，则）

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|x>-l}D.{x|x>-l}

【答案】B

【解析】由—/+8+220,得/一彳一2<0，-l<x<2,即/={x|—1Wx<2},

由y=2工T>0,得3={巾〉0},

故Nc3={x|0<xW2}.

故选：B

2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为

“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，

一定符合该标志的是（）

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

【答案】D

【解析】由于甲地总体均值为3，中位数为4,即中间两个数（第£6天）人数的平均数为4,因此后

面的人数可以大于7,故甲地不符合.乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总数为10,又由

于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7,故乙地不符合，丙地中中位数为

2,众数为3，3出现的最多，并且可以出现8,故丙地不符合，故丁地符合.

故选：D

3.己知洒B均为单位向量.若1-力|=1，则3在B上的投影向量为（）

AqaB.-aC.—bD.-b

■2222

【答案】D

ri——1

【解析】由口=1,可得/_21石+片=1，所以

则）在b一上的投影向量为G.空b6f=±T一6.

b22

故选：D

4.已知加，”是两条不同的直线，a,1是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若加〃“，且〃ua,则加//&B.若m_L"，且"ua,则加_La

C.若加//a,且机//£,则a///?D.若羽_La,且机_L/7,则a//〃

【答案】D

如图所示正方体，

对于A,若叽",1对应直线与平面N8CD,显然符合条件，但加ue,故A错误；

对于B,若叽",1对应直线/瓦与平面/BCD,显然符合条件，但加ue,故B错误；

对于C,若叽。，尸对应直线48与平面“GCQ,平面在，显然符合条件，但0ca=HG,故

C错误；

对于D,若掰，a,且加，/7,又夕，分是两个不同的平面，则a//〃，故D正确.

故选：D

5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统

文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法

中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°,45。，60°,90°,120°,150°

等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△/劭（如图

乙），测得4s=3,5。=4,/C=40=2,若点小合好在边应Lh,请帮忙计算sin/4675的值（)

AD?+BD?-AB?4+16-9_11

【解析】由题意，在△N8D中，由余弦定理可得,cosZ.ADB=

2AD-BD2x2x4-16

因为/ADBG(0,7i),所以sin/ADB=71-cos2ZADB=3^/15

16

在△4CZ)中，由ZC=4D=2得sin44cZ)=sin/4D5=竺5,

16

故选：c

6.已知a为锐角，且+则s‘n』"+1=（）

（4）3cos2a

11

A._QB.—2C.—D.一

J32

【答案】A

_._,_1—tana5__p.1、、…卜，小

【解析】tanad------------=—,「.tana=2或——，。为锐角，tana=2

1+tana33

sin2a+1（sina+cosapsina+cosatana+13

-7•0—；————D

cos2acosa-sinacosa-sina1-tana-1

故选：A

7.已知过原点说勺直线/与双曲线£:[—/=l（a>0,b〉0）交于4晒点（点/在第一象限），耳,

用分别为双曲线加勺左.右焦点，延长加;交汗点4若忸用=|/C|,NF"弋,则双曲线瑚

渐近线方程为（）__

Ay=+41xB.x=±y/2yC.y=±y/3xD.x-土垂）y

【答案】A

【解析】如下图所示：

连接/耳,。与，

由直线/过原点。并利用双曲线的对称性可知，48关于原点对称，片,鸟也关于原点对称;

可得四边形AF{BF2为平行四边形，所以忸叫=|/与|=|/C|,

由双曲线定义可得以片|一以闾=2。,即|/。|一|/以|=|%]=2a,

又国=2a,可得|C片|=4a,

由NRBF?=y可得/与/工=g,又=以。可得△AFXC为正三角形，

所以|月周=|C耳|=|/C|=4a,可得出阊=2®=2c,即。=百°；

又+b2=3。2，所以。2=2°2,即b=

可得渐近线方程为y=±一工=±也工；

a

故选：A

111

8.已知味6。="log"=],c=0+e尸,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】由log6a=；，得到q=6：，又bg4b=；，所以b=4《，

所以d=(6]产=216，产=(4町2=256，又256>216,

所以62>42,又。>0,6>0,得到人a,

111.11X1

令y=(l+xA(x〉l)，则lny=：n(l+x),所以=-”ln(l+x)+而面，

得到了=[-4ln(l+x)+—^―](1+%)'=粤-(1+x)ln(l+初，

Xx(l+X)X(1+x)

令h(x)=x-(1+x)ln(l+x),则h\x)=1-ln(l+x)-1=-ln(l+%)<0在区间(L+8)上恒成立,

所以A(x)=x-(l+x)ln(l+x)在区间(1,+8)上单调递减,

又〃(1)=1—(l+l)ln(l+l)=l—21n2=l—ln4<0,当XE(1,+OO)时，Q+x)“、0,

x2(l+x)

得到/=尸七[%-(1+x)ln(l+⑼<0在区间(1,+⑹上恒成立，

x(1+x)

1

所以y=(1+无>在区间(L+8)上单调递减，

11

又e<3,所以c=(l+e尸〉(1+3)3=6，得到

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知复数Z[=l-3i,z2=(2-i),Z3=8；15,则()

A.Z]+Z2=4+7iB.4/2/3的实部依次成等比数列

C.而团=2艮|D.4/2/3的虚部依次成等差数列

【答案】ABC

/、28+10i(8+10i)(l-i)c..

【解析】因为Z2=(2—i)=3—4i,Z3=——=z..J../=9+i,所以Z1+Z2=4—71,所

1+1(1+11(1-1)

以Z]+z2=4+7i,故A正确；

因为z「z2,Z3的实部分别为1,3,9,所以4，z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确；

因为z-Z2，Z3的虚部分别为-3,-4,1,所以Z],Z[,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误;

=

A/TO1^IV1OxV1+9=2|z21=2x5=10,故C正确.

故选:ABC.

10.已知函数/(x)=tan[51+4J+l,则()

A./(x)的一个周期为2B./(x)的定义域是+左，左eZ

C./(x)的图象关于点g,1对称D./(X)在区间[1,2]上单调递减

【答案】AC

/兀71jr\7=—=2

【解析】对于A,由/(力=tan二+]+1可知其最小正周期7T，故A正确;

2

717171717rI

对于B,由/(x)=tan—x+—+1可知一xH—w—Fku=>xw—F2k,keZ,

242422

故B错误;

71711l兀兀兀

对于C,由/(%)=tan—xH—+l可知x=-n—x+—=—

(242242

此时/(x)的图象关于点对称，故C正确;

7171I4jci兀兀3兀5兀

对于D,由/(x)=tan—xH—|+1可知XG[1,2j—X+—G

124T5T

又三anx在I，|上递增，显然我3兀5兀u

44rf,故口错误•

故选：AC

11.已知函数/(X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,且〃x—l)—/(l—x)=2x—2,/'(x)的

图象关于点(1,0)对称，则()

A.r(o)=i

B.y=/(x)-x为偶函数

C./(X)的图象关于点(1,0)对称

D./(2024)=-2023

【答案】ABD

【解析】由/(x-l)_/(l_x)=2x_2,可得/(x)—/(—x)=2x,则_f(x)+_f(—x)=2,令

x=0,得/'⑼=1,A正确.

令g(x)=/(x)-x,则g(—x)=/(—x)+x=/(x)-x=g(x),故y=/(x)-x为偶函数，B正确.

假设/(x)的图象关于点(1,0)对称，则/(x—+—x)=0,

则/'(x—l)—/'(l—x)=0,即/'(0一/'(一无)=0,则/。)=1,

这与/'(X)的图象关于点(1,0)对称矛盾，假设不成立，C不正确.

因为/'(X)的图象关于点(1,0)对称，所以/'(l+x)+/'(l—x)=0,

令人(x)=+,则〃(x)=/,(l+x)+/,(l-x)=0,

则Mx)=/(+x)-/(-x)=C(C为常数),则/(x-l)_/(x+l)=2x_2_C,

从而/'(x_l)_/'(x+l)=2,即/'(x+2)=/'(x)_2,

由/'(0)=1,得/''(2024)=/'(0)—2x2012=—2023,D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线=8x的焦点为尸，过尸的直线/与曲线。交于48两点，点A的横坐标为6,则

\AB\=-

322

【答案】一##10—

33

【解析】由题意可得抛物线C:/=8x的焦点为E(2,0),

由抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，则点3在第四象限，

因为点A的横坐标为6,

所以「=8x6=48,解得＞=±4百，不妨设/(6,46)，

所以心=述二2=百，所以直线/的方程为y=道(x—2),

6—2

j=V3(x-2)

设5(乙,%),联立＜,'7，可得3--20x+12=0,

y=8x

202

所以A>0,9+6=,解得/=1，

所以=J1+36--=—

32

故答案为：—

3

13.已知随机变量X〜N(2,〃)，且「(XWa)=P(X»l),则卜一?1I的展开式中常数项为

【答案】1215

【解析】X~N(2Q2),尸(X<0=尸(X21),

.。+1c

•—2,..a=3.

16—2

6-，(-3Y”二晨(-3)”丁

r=4,或(一3>=15x81=1215.

故答案为：1215.

14.在四面体48C。中，AB=C，AD=BC=1,CD=4^），且NB4D=N4BC=£,则该四面

体的外接球表面积为.

【答案】7兀

「O

【解析】

H\二（

R

如图，作平面N3C,连接AH,HB,HC,易得。77，/8因，

ADcDH=D,AD,DHu平面DAH,

所以481平面平面ZU”,故48，/〃，

由题可得/B/C=30°，/C=2,则N/£4C=120°.

不妨设AH=x,DH=h,贝U有/+r=1①，

在△E4C中，由余弦定理，//C2=x2+4-2x2%cosl20°=X2+2X+4.在△〃DC中，

/J+X2+2X+4=6②，

1n

将两式相减化简即得：X=—,h=—.

22

取线段ZC中点E,过点E作OEL平面/3C,其中点。为外接球的球心，设外接球半径为R,

117

由余弦定理求得9=一+i—2x—cosl20°=—,

424

在直角梯形"EOD中，OF?=R2_1,由火2=（JR2一1_立）2+L计算可得:M=L,则该四面

244

体的外接球表面积为77r.

故答案为：7兀

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个,

标号为3号的球有2个.现从这8个球中任选2个球.

（1）求选出的这2个球标号相同的概率；

（2）设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布列与数学期望.

127

【答案】（1）一（2）分布列见解析，—.

428

222

r+r+r71

【解析】（1）依题意，选出的这2个球标号相同的概率为上拶--=^=T.

（2）X的所有可能取值为0,1,2,

尸(X=0)=；,尸(X=l)=里吃邑=茅P(X=2)=C；C；_63

Cg-28

4C8Zo14

X的分布列如下：

X012

153

P

42814

15327

册数学期望E(X)=—+—=

28728

16.设函数/(x)=lnx+&,左eR.

(1)若曲线y=/(尤)在点(e,/(e))处的切线与直线x-2=0垂直，求左的值；(其中e为自然对数的

底数)

⑵在⑴的条件下求>x)的单调区间和极小值.

【答案】(1)k=e(2)的单调减区间是(O,e),单调增区间是(e,+8),极小值为2

k1k

【解析】⑴由/(x)=lnx+—可得/''(%)=——?(x>0),

XXX

因为V=以X)在点(e,/(e))处的切线与X—2=0垂直，

所以此切线的斜率为0,即/'(e)=』—4=0,解得左=e；

ee

1pY—p

(2)由(1)可得/(x)=±—三=一(尤>0),

XXX

由/'(x)<0得o<x<e，由/'(x)〉0得％>e,

所以/(x)的单调减区间是(0,e),单调增区间是(e,+8),

e

所以当％=e时，/a)取得极小值/(e)=lne+-=2

e

17.在三棱台DE尸一48。中，平面48C,AB1BC,且R4=BC,AC=2DF,M为

/C的中点，。是CF上一点，且竺二如=；1(2>1).

DFCP

(1)求证：CD,平面尸；

(2)已知CP=1,且直线5C与平面尸瓦0的所成角的正弦值为逅时，求平面硒必与平面尸团以

6

所成夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）2叵

15

【解析】（1）BA=BC,且刊是/C的中点，则阳

•.•。/，平面A8C,BMu平面N5C,CFLBM.

又CF口4。=G/Cu平面ACFD，二BM1平面ACFD,

因为。Cu平面/CFO,

DC，W.①

KFDSAMCP,则ZPMC=NFCD.

7T兀

•••ZACD+ZFCD=-,：.ZPMC+ZACD=-,

22

在平面ACFD中DC，尸M.②

BMnPM=M,BM,PMu平面PBM,

由①②知DC1平面PBM.

（2）由题意得。M7/CF,CFL平面48C,

平面ABC.

由（1）可知故M为坐标原点.

如图，以MB,MC,及ffi＞所在直线分别为x,V,z轴，建立空间直角坐标系.

CM=DF=九,DM=CF=汇.

.-.M（0,0,0）,5（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,22）.

•/AC=IDF,

..•由棱台的性质得数=2而，芯=（—440）,

35'

由（1）可知平面尸瓦0的一个法向量为丽，且函=（0,-4分）.

直线5c与平面的所成角的正弦值为逅，

6

麻•西.逐

.-.|COSSC,CD|=(2>0)

同.西一6(2>0)

即』kr?解得人"

..・平面P氏W的一个法向量为丽，且丽=(0,—血,2b

平面EW的法向量为为=(x,y,z).

•：ME=卓丰，2,MF=（0,42,2）,

-T7rV2-„C/T

n-ME=----x-\------y+2z=0y--y/2z

<22,即「

ii-MF=y/2y+2z=0[x=—j2z

当z=—l时，x=V2,y=A/2.

...平面MEF的一个法向量为万=(V2,V2,-1).

I-不|五。|2+22a

cos〃，CD\=j-7=4=—7=——f=-------.

11|H||CD|V6XV515

•♦・平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值2叵.

15

18.在平面直角坐标系x6(冲，动点施J点歹。,0)的距离与到直线x=4的距离之比为

(1)求动点谕迹的勺方程；

(2)过点用勺两条直线分别交吁4晒点和0/两点，线段/反口的中点分别为RQ.设直线/笈CD

11,

的斜率分别为左，k,且7+厂=1,试判断直线网是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，

2/v2

请说明理由.

【答案】⑴:+；=1⑵直线胤过定点(0,—1).

【解析】(1)设点嫡坐标为(XJ),由题意可知，J(xT)

I2

化简整理得，卿］方程为三+匕=1.

43

22

(2)由题意知，设直线/阴勺方程为y=^(x-l),与相勺方程土+匕=1联立可得,

43

(46+3)/_酝x+4灯_12=0,

8左2

设，(斗必)，/%,%)，由韦达定理得，+X—All'

2iJ

贝IJ必+%=6(为+%)—2左=4,213

所以，点用勺坐标为,_4^=22+^3